Zapisz jako PDF

Zadanie 1
Stosując model wahadła matematycznego przedyskutować drgania tłumione w powietrzu kulki o
promieniu R = 1 cm wykonanej z:
a. korka o gęstości
b. ołowiu o gęstości
,
,
zawieszonej na nieważkiej nici o długości l = 1 m. Założyć, że siła oporu wyraża się wzorem Stokesa:
, gdzie współczynnik lepkości powietrza
.
Zadanie 2
Wahadło matematyczne składające się z kulki o masie m zawieszonej na druciku o długości L jest
elementem obwodu elektrycznego zawierającego opornik R, jak na rysunku:
RYSUNEK
Obwód znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym
skierowanym prostopadle do płaszczyzny
wahań. Wyprowadź równanie ruchu wahadła, przedyskutuj postacie rozwiązań w zależności od
wartości oporu R.
Zadanie 3
Znaleźć zależność czasową napięcia na kondensatorze i natężenia prądu płynącego przez opornik w
szeregowym obwodzie RLC, jeśli w chwili początkowej t = 0 obwód został zamknięty, zaś napięcie na
kondensatorze wynosiło
. Po jakim czasie energia układu spadnie do 10% energii
początkowej? Przyjąć następujace dane liczbowe: R = 1 Ω, L = 1 μH, C = 1 μF,
.
Zadanie 4
Dwa obwody RLC składają się z takich samych elementów: kondensatora o pojemności C = 10 μF i
cewki o indukcyjności L = 0.5H. Jeden obwód ma elementy połączone równolegle, a drugi
szeregowo.
a. znaleźć opór opornika odpowiadający tłumieniu krytycznemu dla każdego z obwodów,
b. podać zakres wartości opornika, aby w obu obwodach zachodziły drgania harmoniczne
tłumione,
c. dla jakich wartości oporu częstość drgań w obu obwodach będzie taka sama?
d. Dobrać tak wartość opornika, żeby częstość kołowa drgań w obwodzie szeregowym wynosiła
10 rad/s. Jaka będzie wówczas częstość drgań w obwodzie równoległym?
Zadanie 5
Jaką sumaryczną drogę w ośrodku tłumiącym przebędzie ciało o masie m, zawieszone na sprężynie o
stałej sprężystości k, do momentu zatrzymania, jeśli wychylenie początkowe z położenia równowagi
wynosi
, a logarytmiczny dekrement tłumienia Λ = 0,001?
Zadanie 6
Ciało o masie m = 2 kg wisi na sprężynie, którą siła 1 N wydłuża o 2 cm. W czasie ruchu ciało
napotyka opór proporcjonalny do prędkości równy 0.2 N przy prędkości 1 cm/s. W chwili
początkowej ciało odciągnięto z położenia równowagi na odległość
i puszczono bez
prędkości początkowej.
a. Obliczyć jaką maksymalną prędkość uzyska ciało i po jakim czasie to nastąpi.
b. W jakiej odległości od położenia równowagi będzie się ono wówczas znajdowało?
Zadanie 7
Jaką siłą
o częstości rezonansowej należy wymuszać ruch nietłumionego wahadła
matematycznego o masie 1 kg i długości 1 m, aby po czasie 100 s amplituda wahań wyniosła 15°?
Zadanie 8
Na ciało o masie m działa siła harmoniczna,
, siła oporu,
oraz siła
. Dla jakiej częstości średnia moc absorbowana przez ten układ osiąga największą
wartość? Ile wynosi szerokość połówkowa krzywej opisującej rezonans mocy?
Zadanie 9
Jaką siłą
o częstości rezonansowej należy wymuszać ruch rozważanych w zadaniu 3 wahadeł
matematycznych wykonanych z ołowiu i korka, tłumionych przez opór powietrza aby amplituda ich
wahań stacjonarnych wynosiła 15°? Jaką średnią moc należy dostarczyć wahadłom, aby podtrzymać
ich ruch?