pochodne - Fizyka UMK
Transkrypt
pochodne - Fizyka UMK
1 Pochadna funkcji Pochdona funkcji zdefiniowana jest jako granica f (x + h) − f (x) df = lim (1.1) dx h→0 h Geometrycznie pochodna funkcji w punkcie równa się współczynnikowi kątowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Twierdzenia, które są przydatne w rachunku różniczkowym: f 0 (x) = Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jest też ciągła w tym punkcie. Twierdzenie 2. Pochodna funkcji stałej równa się zero, tzn. f (x) = c, to f 0 (x) = 0 Twierdzenie 3. Pochodna iloczynu stałej przez funkcję równa się iloczynowi stałej przez pochodną funkcji, tzn. y = cf (x) to y 0 = c · f 0 (x) (1.2) Niech u = f (x) i v = g(x) oznaczają funkcje różniczkowalne, wówczas zachodzą podane wzory: Twierdzenie 4. Pochodna sumy funkcji. Jeżeli y = u + v to y 0 = u0 + v 0 (1.3) Twierdzenie 5. Pochodna iloczynu funkcji. jeżeli y = uv to y 0 = u0 v + uv 0 (1.4) Twierdzenie 6. Pochodna ilorazu. Jeżeli y = u/v i v 6= 0 to y0 = u0 v − uv 0 v2 (1.5) Twierdzenie 7. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli y = f g(x) to dy df dg = · dx dg dx (1.6) Przykład: Niech y = sin 2x, jest to złożenie funkcji sinus i funkcji 2x. Więc niech f (g(x)) = sin g(x), natomiast g(x) = 2x. Stąd df = cos g(x) (1.7) dg oraz g 0 (x) = 2, dlatego łącząc te wyrażenia mamy y 0 = cos g(x) · 2 = 2 cos 2x 1 (1.8) Twierdzenie 8. Pochodna funkcji odwrotnej. Niech y = f (x) i ma funkcję odwrotną x = φ(y), to pochodna funkcji odwrotnej równa się odwrotności pochodnej danej funkcji. dy dx =1: , dy dx jeżeli dy 6= 0 dx (1.9) Następnie należy przedstawić x = φ(y). Przykład: y = tan x, to pochodna y 0 wynosi 1 dy = (1.10) dx cos2 x Chcemy teraz obliczyć pochodną funkcji odwrotnej, czyli x = arctan y. Więc korzystając z powyższej metody mamy dx 1 = dy = cos2 x (1.11) dy dx 1 Prawą stronę przekształcamy w myśl znanej tożsamości cos2 x = 1+tan 2 x , i podstawiając y = tan x, otrzymujemy 1 1 dx 0 = , czyli (arctan y) = (1.12) dy 1 + y2 1 + y2 Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego (xa )0 = axa−1 , dla x > 0, a − dowolne (sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x 1 = 1 + tan2 x, dla cos x 6= 0 (tan x)0 = cos2 x 1 (cot x)0 = − 2 = −(1 + cot2 x), dla sin x 6= 0 sin x 1 1 1 , −1 < x < 1, − π ¬ arcsin x ¬ π (arcsin x)0 = √ 2 2 2 1−x −1 (arccos x)0 = √ , −1 < x < 1, 0π ¬ arccos x ¬ π 1 − x2 1 1 1 (arctan x)0 = , − π ¬ arctan x ¬ π 2 1+x 2 2 2 (1.13) (1.14) (1.15) (1.16) (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) −1 , 0π ¬ arctan x ¬ π 1 + x2 (ex )0 = ex (ax )0 = ax ln a, dla a > 0 1 (ln |x|)0 = , dla x 6= 0 x 1 1 = loga e, dla, a > 0, a 6= 1, x 6= 0 (loga |x|)0 = x ln a x Zadanie 1. Oblicz z definicji pochodną. (arc ctg x)0 = a(x) b(x) c(x) d(x) x+1 x2 ln x ex 1 f (x) = x = = = = (1.21) (1.22) (1.23) (1.24) (1.25) (1.26) (1.27) (1.28) (1.29) (1.30) Wstawiamy dane funkcje do definicji pochodnej (ta część z granicą!). W pierwszym otrzymujemy h (x + h + 1) − (x + 1) = lim = 1 (1.31) a0 (x) = lim h→0 h h→0 h drugi →0 z}|{ (x + h) − x x + 2xh + h − x 2xh + h2 = lim = lim = 2x h→0 h→0 h→0 h h h 2 b0 (x) = lim /2 2 2 /2 (1.32) trzeci x+h ln(x + h) − ln x 1 h h h1 = lim x = lim ln 1 + = lim ln 1 + = h→0 h→0 h h→0 h h→0 h x x 1 h hx x 1 h hx 1 1 = lim ln 1 + = lim ln 1 + = ln e = (1.33) h→0 h→0 x x x x | {z x } c0 (x) = lim →e czwarte ex+h − ex ex eh − ex eh − 1 = lim = lim ex = ex ln e = ex h→0 h→0 h→0 h h h d0 (x) = lim (1.34) Ostatnie 0 f (x) = lim h→0 1 x+h − h 1 x = lim h→0 x x−h / −/ x(x+h) h 3 −h 12 = − = −x−2 h→0 x2 h + xh2 x = lim (1.35) Zadanie 2. Oblicz pochodną f (x) = a sin(ax) x+1 f (x) = x−1 f (x) = xex √ f (x) = x2 − 4 (1.36) (1.37) (1.38) (1.39) 2 f (x) = ecos x f (x) = ln(sin x) (1.40) (1.41) Korzystając z twierdzeń pomocniczych i wzorów na pochodne otrzymujemy: Pierwsza f 0 (x) = a cos(ax) · a = a2 cos(ax) traktujemy całą funkcję jako funkcję złożoną. Następny przykład (x − 1) − (x + 1) −2 f 0 (x) = = 2 (x − 1) (x − 1)2 (1.42) (1.43) liczymy ze wzrou na pochodną ilorazu. Trzeci przykład, traktujemy jako pochodną iloczynu: f 0 (x) = ex + ex x = ex (1 + x) (1.44) Czwarty przykład znowu traktujemy jako funkcję złożoną, przedstawimy pierwiastek jako potęgę 12 , w celu ułatwienia rachunków 1 1 x f 0 (x) = (x2 − 4)− 2 · 2x = √ 2 2 x −4 (1.45) Następna funkcja to również funkcja złożona. 2 f 0 (x) = ecos x · (cos2 x)0 = ecos 2 x 2 · (−2 cos x sin x) = −ecos x sin 2x (1.46) ostatni przykład analogicznie. f 0 (x) = 1 · cos x = cot x sin x 4 (1.47)