3 x

1. Granica i ciągłość funkcji — odpowiedzi
Zadanie 1.1. Obliczyć granice
√
1− 3x
√ = 3,
(c) lim
x→1 1 −
x
x2 − 5x + 6
1
(b) lim 2
=− ,
x→1 x − x − 6
3
x2 + 2x − 3
= 4,
(a) lim
x→1
x−1
√
x2 + 1 − 1
(d) lim √
= 5,
x→0
x2 + 25 − 5
1
1 − cos x
= ,
(g) lim
x→0
x2
2
(e) lim
4x
x→0 sin 2x
= 2,
(f) lim
sin 5x
x→0 sin 3x
√
24
9 + 2x − 5
p
=− ,
(h) lim √
x→8 3 x −
5
x/2
=
5
,
3
(i) lim (1 + 3x)1/x = e3 .
x→0
Zadanie 1.2. Obliczyć granice
(a) lim (x3 − 2x2 − 3x − 1) = ∞,
x→∞
x4 + 1
= ∞,
x→∞ 4x2 − x
√
9 + 2x − 5
p
(g) lim √
= −2,
x→∞ 3 x −
x/2
(d) lim
x2 − 5x + 6
= 0,
x→∞ x3 − x − 6
p
p
x2 + 1 − x2 − 1 = 0,
(e) lim
x→∞
x+2
x−1
(h) lim
= e−4 ,
x→∞ x + 3
(b) lim
1
1 − 3x3
= ,
3
x→−∞ (1 − 3x)
9
√
√ (f) lim sin x + 1 − sin x = 0,
x→∞
2x−5
4
3x − 1
(i) lim
= e− 3 .
x→−∞ 3x + 1
(c)
lim
Zadanie 1.3. Obliczyć granice jednostronne
|x − 1|
|x − 1|
1
(a) lim+
= 1,
(b) lim−
= −1,
(c) lim+ 2
= 0,
1/x
x−1
x−1
x→1
x→1
x→0 x + 22
1
(−1)bxc (x − 3)
1
1
(−1)bxc (x − 3)
=
,
(f)
lim
=− .
(d) lim− 2
=
1,
(e)
lim
1/x
2
2
2
+
−
x −9
6
x −9
6
x→3
x→0 x + 2
x→3
Zadanie 1.4. Czy funkcjom
2
sin x
1
(a) f (x) = 2−1/x (tak),
(c) h(x) =
(nie),
(b) g(x) = arc tg (nie),
x
|x|
można nadać wartość w punkcie x = 0 tak, aby były funkcjami ciągłymi na R?
Zadanie 1.5. Zbadać ciągłość funkcji
(
cos πx
gdy |x| ≤ 1
2 ,
(a) f (x) =
,
|x − 1|,
gdy |x| > 1
(b) g(x) = x − bxc,
(c) h(x) = bxc + b−xc.
(a) jest ciągła, (b) i (c) są nieciągłe w Z.
Zadanie 1.6. Niech
fn (x) :=
xn+1 − (n + 1)x + n
,
n2 (x − 1)2
x ∈ R, |x| < 1, n ∈ N,
i niech
an := lim fn (x),
x→1
Obliczyć limn→∞ an =
1
2
n ∈ N,
f (x) := lim fn (x),
n→∞
|x| < 1.
i limx→1 f (x) = 0.
Zadanie 1.7. Zbadać ciągłość funkcji
1
fn (x) :=
, n ∈ N (ciągła),
f := lim fn (nieciągła w 1).
n→∞
1 + x2n
Zadanie 1.8. Niech funkcja f : R → R spełnia warunek
lim (f (x + h) − f (x − h)) = 0,
h→0
x ∈ R.
Czy warunek ten pociaga ciągłość f ? Nie.
Zadanie 1.9. Niech f ∈ C([0, 1], [0, 1]). Wykazać, że istnieje x ∈ [0, 1] taki, że f (x) = x.
2. Pochodne. Reguła de l’Hospitala. Asymptoty — odpowiedzi
Zadanie 2.1. Wyznaczyć pochodne funkcji cyklometrycznych, hiperbolicznych
hiperbolicznych).
−1
1
1
,
(arc cos x)0 = √
,
(arc tg x)0 =
,
(arc sin x)0 = √
2
2
1
+
x2
1−x
1−x
1
(sinh x)0 = cosh x,
(cosh x)0 = sinh x,
(tgh x)0 =
,
cosh2 x
−1
1
1
,
(arcosh x)0 = √
,
(artgh x)0 =
(arsinh x)0 = √
,
2
2
1
−
x2
x +1
x −1
i area (odwrotnych do
−1
,
1 + x2
−1
(ctgh x)0 =
,
sinh2 x
1
(arctgh x)0 =
.
1 − x2
(arc ctg x)0 =
Zadanie 2.2. Wyznaczyć pochodną funkcji
x2 − 6x − 5
,
(x − 3)2
x2 + 2x − 23
,
(d) f 0 (x) = 2
(x − 8x + 15)2
x arc sin x
(f) f 0 (x) = √
3,
1 − x2
ctg x
(h) f 0 (x) =
.
2
cos ln sin x
(a) f 0 (x) = 2x (cos x + ln 2 sin x),
(b) f 0 (x) =
p
x cos(2x)
(c) f 0 (x) = √
− 2 x2 + 1 sin(2x),
x2 + 1
p
(e) f 0 (x) = a2 − x2 ,
0
(g) f (x) = x
xx −x
1
(1 + ln x) ln x −
x
,
Zadanie 2.3. Wykazać, że funkcja
(
f (x) =
x2 sin x1 ,
0,
gdy x 6= 0
gdy x = 0
jest różniczkowalna, ale nie ma pochodnej ciągłej.
Zadanie 2.4. Dowieść, że dla asteroidy x2/3 + y 2/3 = a2/3 , a > 0, długość odcinka stycznej zawartego
pomiędzy osiami układu współrzędnych jest stała.
Zadanie 2.5. Obliczyć granice korzystając z
√
x2 − x
= 3,
(b)
(a) lim √
x→1
x−1
ex−1 − e1−x − 2x + 2
(d) lim
= 2,
(e)
x→0 x − sin(x − 1) − 1
1
1
1
(g) lim
− 2 = ,
(h)
x→0 sin2 x
x
3
1
(j) lim x x = 1,
x→∞
reguły de l’Hospitala1
√
1 − cos x
1
lim
= ,
x→0
x2
4
cosh x − 1
lim
= 1,
x→0 1 − cos x
3
1
lim (cos 2x) x2 = 6 ,
x→0
e
3
(k) lim x 4+ln x = e3 ,
x→0+
ex
= ∞,
x→∞ x5
x
1
1
(f) lim
−
= ,
x→1 x − 1
ln x
2
x
x+1
(i) lim
= e2 ,
x→∞ x − 1
(c) lim
1
(l) lim (1 + sin x) x = e.
x→0
Zadanie 2.6. Wyznaczyć asymptoty funkcji
x2 + 3x − 4
,
x−3
2x
(d) f (x) = x ln
,
x−2
(a) f (x) =
(b) f (x) =
x2
x+1
,
− 8x + 15
1
(e) f (x) = xe x−2 ,
x2 + 1
,
(x + 1)2
πx2
(f) f (x) = x + cos
.
1 + x2
(c) f (x) =
(a) x = 3, y = x + 6,
(b) x = 5, x = 3, y = 0,
(c) x = −1, y = 1,
(d) x = 2, y = x ln 2 + 2,
(e) x = 2, y = x + 1,
(f) y = x − 1.
1Guillaume François Antoine, markiz de l’Hospital lub l’Hôpital (ur. w 1661 w Paryżu, zm. 2 lutego 1704 tamże) —
matematyk francuski.
y
15
10
5
2
4
6
x
8
-5
- 10
- 15
Rysunek 1. Wykres funkcji f (x) =
x+1
x2 −8x+15 .
3. Badanie przebiegu zmienności funkcji — odpowiedzi
Zadanie 3.1. Znaleźć a i b, jeśli wiadomo, że funkcja
ax + b
f (x) =
(x − 1)(x − 4)
osiąga w punkcie x = 2 ekstremum lokalne równe −1. Rozstrzygnąć, czy jest to maksimum czy minimum.
Odp. a = 1, b = 0. Jest to maksimum.
Zadanie 3.2. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji
(a) f (x) = ln(1 + x4 ) − ln(1 + x2 ),
(b) g(x) = |x|e1/(x−2) .
p√
p√
p√
p√
Odp. f rośnie w −
2 − 1, 0 ,
2 − 1, ∞ , zaś maleje w −∞,
2 − 1 , 0,
2−1 . g
rośnie w przedziałach (0, 1), (4, ∞), zaś maleje w przedziałach (−∞, 0), (1, 2), (2, 4).
Zadanie 3.3. Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości dla funkcji
ex − 1
ex
(a) f (x) = x
,
(b) f (x) =
.
e +1
1 + e2x
Odp. (a)f ma punkt przegięcia w 0, f jes
w (0,
√ wypukła w (−∞, 0), f jest wklęsła √
√
∞).
(b) f ma punkt przegięcia w 21 ln(3 ± 2), f jest wypukła w −∞, 12 ln(3 − 2) i 21 ln(3 + 2), ∞ ,
√
√
f jest wklęsła w 12 ln(3 − 2), 12 ln(3 + 2) .
Zadanie 3.4. Zbadać przebieg zmienności (uwzględniając asymptoty, ekstrema, przedziały monotoniczności, punkty przegięcia i przedziały wypukłości) oraz naszkicować wykres funkcji
x+1
x2 + 3x − 4
,
(b)
f
(x)
=
,
x2 − 8x + 15
x−3
x4
1
(d) f (x) = 3
,
(e) f (x) = ln(x2 − 1) + 2
,
x +1
x −1
Odp. Wykresy przestawione są na rysunkach.
(a) f (x) =
(c) f (x) =
2x2
,
(2 + x)2
(f) f (x) = (x − 5)e2/(1−x) .
Zadanie 3.5. Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania
(x2 − 8x + 7)2 = c
w zależności od parametru c ∈ R.
Odp. Równanie ma
• 0 rozwiązań dla c < 0;
• 2 rozwiązania dla c = 0 lub c > 81;
y
60
40
20
- 10
-5
5
10
x
15
- 20
- 40
Rysunek 2. Wykres funkcji f (x) =
x2 +3x−4
x−3 .
y
7
6
5
4
3
2
1
-20
-10
10
Rysunek 3. Wykres funkcji f (x) =
20
x
2x2
(2+x)2 .
y
5
-3
-2
-1
1
2
-5
Rysunek 4. Wykres funkcji f (x) =
x4
x3 +1 .
3
x
y
7
6
5
4
3
2
1
-5
x
5
Rysunek 5. Wykres funkcji f (x) = ln(x2 − 1) +
1
x2 −1 .
y
-10
5
-5
10
15
x
-10
-20
-30
-40
Rysunek 6. Wykres funkcji f (x) = (x − 5)e2/(1−x) .
• 3 rozwiązania dla c = 81;
• 4 rozwiązania dla 0 < c < 81.
Zadanie 3.6.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji
f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 w przedziale [−1, 5],
3
f (x) = x
√ − 3x − 1 w przedziale [−2, 3],
f (x) = 100 − x2 w przedziale [6, 8],
f (x) = x2 ex w przedziale [−3, 1],
f (x) = sin 2x − x w przedziale [−π/2, π/2],
√ x w przedziale [1, e8/3 ],
f (x) = ln
x
√
2
(7) f (x) = e2x−x w przedziale [1 − 2/2, 2].
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Odp.
(1) Wartość najmniejsza to f (1) = −6, wartość największa to f (5) = 266.
Zadanie 3.7.
(1) Zaprojektować namiot w kształcie stożka o powierzchni bocznej równej 10 m2
tak, aby miał największą objetość.
(2) Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o maksymalnej objętości, jeśli chcemy do
jej produkcji zużyć 50 cm2 blachy?
(3) Należy sporządzić skrzynkę prostopadłościenną z pokrywką. Objętość skrzynki ma wynosić 72
cm3 , długości krawędzi podstawy mają być w stosunku 2 : 1. Jakiej długości powinny być krawędzie, aby powierzchnia całkowita skrzynki była najmniejsza?
(4) Na kuli o promieniu R opisano stożek. Jaka będzie wysokość stożka o najmniejszej objętości?
(5) Który z punktów paraboli y 2 = 6x leży najbliżej prostej x − y + 5 = 0?
Zadanie 3.8. Wykazać, że dla dowolnych p, q ∈ R oraz dowolnej liczby nieparzystej n ∈ N wielomian
w(x) = xn + px + q
ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste.
Zadanie 3.9. Wykazać, że jeśli stałe aj ∈ R, j = 0, . . . , n, spełniają równość
a2
an
a1
+
+ ··· +
= 0,
a0 +
2
3
n+1
to równanie
a0 + a1 x + · · · + an xn = 0
ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty x0 ∈ (0, 1).
4. Ciągi i szeregi liczbowe — odpowiedzi
Zadanie 4.1. Obliczyć
2
2n − 1
= ,
n→∞ 3n + 1
3
p
1
2
(c) lim ( n + n − n) = ,
n→∞
2
1
12 + 22 + · · · + n2
= ,
(e) lim
3
n→∞
n
3
r
2
x
n
(g) lim
1 + |x|n +
= max{1, |x|},
n→∞
4
p
2
p
3
3
(i) lim n
n3 + n − n3 − n = .
n→∞
3
(a) lim
n2 − 5n + 3
= 0,
n→∞
n3
1
1 + 2 + ··· + n
= ,
(d) lim
2
n→∞
n
2
2 1
(f) lim n sin
cos n = 0,
n→∞
n
p
(h) lim n αn + β n = β, 0 6 α 6 β,
(b) lim
n→∞
Zadanie 4.2. Niech a > 1, k > 0. Wykazać, że
nk
= 0.
n→∞ an
lim
Zadanie 4.3. P jest punktem na jednym z ramion kąta ostrego α, P1 jest rzutem punktu P na drugie
ramię, P2 — rzutem punktu P1 na pierwsze ramię, itd. Oznaczając P P1 = s, znaleźć
sn := P P1 + P1 P2 + · · · + Pn−1 Pn
i wykazać, że
lim sn = (1 − cos α)−1 .
n→∞
Zadanie 4.4. Wykazać zbieżność ciagu (an )n∈N oraz znaleźć jego granicę, jeśli a1 :=
√
2 + an , n ∈ N.
√
2, an+1 =
Zadanie 4.5. Podać przykłady ciągów (an )n∈N , (bn )n∈N ⊂ R+ , aby limn→∞ an = 1, limn→∞ bn = +∞
oraz limn→∞ abnn = 2.
Zadanie 4.6. Naszkicować wykres funkcji
2nx + 3nx x + x2
.
n→∞
3nx + 1
f (x) = lim
Odp. Zauważmy, że

2

x ,
f (x) = 12 ,


x,
gdy x < 0
gdy x = 0 .
gdy x > 0
Zadanie 4.7. Obliczyć n-tą sumę i zbadać zbieżność szeregu
1
(a) an = n ,
2
P∞
n=1
an , jeśli
1
1
(b) an = ln 1 +
, (c) an = ln 1 − 2 ,
n
n
n > 2.
Odp.
1
(a) sn = 1 − n → 1,
2
(b) sn = ln(n + 1) → ∞,
(c) sn = ln
1
1
+
2 n
→ − ln 2.
Zadanie 4.8. Zbadać zbieżność szeregu
√
∞
∞ √
X
X
√
√
n+1− n
(a)
n + 1 − n,
(b)
,
n
n=1
n=1
(e)
∞
X
n2
,
2n
n=1
∞
X
((2n)!)(3n)!
(i)
,
n!(4n)!
n=1
(m)
∞
X
n=1
ln
(c)
∞
X
1
,
1 + 2n
n=1
(d)
∞
X
1
,
nn
n=1
∞
∞
X
X
(n!)2 (2n)!
n!(3n)!
,
,
(h)
(4n)!
((2n)!)2
n(n + 1)
n=1
n=1
n=1
n(n+1)
(n+1)!
∞ ∞
∞ X
X
X
n!
((100n)!)2
n−1
, (l)
,
(j)
, (k)
(50n)!(150n)!
n+1
n! + 1
n=1
n=1
n=1
(f)
∞
X
1
,
p
(g)
∞
X
n+1
nπ
(−1)n n
cos
, (n)
.
n
2
n2 + 1
n=1
Odp. (a) rozbieżny
(b) zbieżny
(c) zbieżny
(d) zbieżny
(e) zbieżny
(f) rozbieżny
(g) zbieżny
(h) rozbieżny
(i) rozbieżny
(j) zbieżny
(k) zbieżny
(l) zbieżny
(m) zbieżny
(n) zbieżny warunkowo, ale nie bezwzględnie
Zadanie 4.9. Obliczyć sumę
∞
X
n=2
n2
1
= 1.
−n
5. Szeregi potęgowe — odpowiedzi
Zadanie 5.1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji zadanej szeregiem
∞
X
2n2 + 3n + 1
(x − 2)n ,
3
n
n=1
∞ √
X
n+1
(b) f (x) =
(2x − 9)n ,
2 3n
n
n=1
∞
X
n
(c) f (x) =
(x + 3)n ,
2
n
(n
+
1)(−2)
n=1
(a) f (x) =
Odp. (a) [1, 3),
(b) (3, 6),
(c) (1, 5],
(d) [−13],
(d) f (x) =
∞
X
n=1
∞
X
1
n2 (−2)n
(x − 1)n ,
2n
(x − π)n ,
n!
n=1
∞
X
(f) f (x) =
n!(x − e)n .
(e) f (x) =
n=1
(e) R,
(f) {e}.
6. Całki nieoznaczone — odpowiedzi
Zadanie 6.1. Stosując metody całkowania przez części i przez podstawienie zweryfikować wzory
Z
Z
tg x dx = − ln | cos x| + C,
ctg x dx = ln | sin x| + C,
Z
p
arc sin x dx = x arc sin x + 1 − x2 + C,
Z
p
arc tg x dx = x arc tg x − ln 1 + x2 + C,
Z
x
dx
√
= arc sin + C,
2
2
a
a −x
Z
p
dx
√
= ln |x + a2 + x2 | + C,
a 2 + x2
Z p
xp 2
a2
x
a2 − x2 dx =
a − x2 +
arc sin + C,
2
2
a
Z p
2
p
p
x
a
a2 + x2 dx =
a2 + x2 +
ln |x + a2 + x2 | + C.
2
2
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Zadanie 6.2. Obliczyć całki
Z
3
3
1
(x2 − 1)3
dx = x2 − x4 + x6 − ln x + C,
(1)
x
2
4
6
Z
1
2
5
2 6
(2) (x + 4) x dx =
(4 + x ) + C,
12
Z
x dx
1
(3)
=−
+ C,
2 + 3)6
(x
10(3
+
x2 )5
√
Z √
4
3
4
x x+ x
dx = − 3/4 + 3x1/3 + C,
(4)
2
x
3x
Z
√
32
216 5/4
3
4
(5) (3 + 2 x) dx = 27x +
x + 24x3/2 + x7/4 + C,
5
7
√
Z
3
2
3+5 x
9
15
√
(6)
dx = x2/3 + x4/3 + C,
3
2
4
x
Z
√
2
3/2
(7)
a + bx dx = (a + bx) + C,
3b
Z p
1
2
(8)
x 1 + x dx = (1 + x2 )3/2 + C,
3
Z
x−1
3
√
(9)
dx = (−4 + x)(1 + x)2/3 + C,
3
5
x
+
1
Z
x2 dx
5
√
(10)
(1 + x3 )4/5 + C,
=
5
3+1
12
x
Z
2
2
1
(11)
xe−x dx = − e−x + C,
2
Z
1
2
(12)
x sin(2x + 1) dx = − cos(1 + 2x2 ) + C,
4
Z
√
cos x
√
(13)
dx = 2 1 + sin x + C,
1 + sin x
Z
cos xesin x dx = esin x + C,
(14)
Z
tg x
1
dx = tg2 x + C,
2x
cos
2
Z
ln2 x
1 3
(16)
dx = ln x + C,
3
Z xx
e dx
1
= ln(1 + 2ex ) + C,
(17)
x+1
2e
2
Z p
2 + ln |x|
2
(18)
dx = (2 + ln |x|)3/2 + C,
x
3
(15)
Z
dx
(19)
x
Z
(20)
q
= arc sin ln |x| + C,
1 − ln2 |x|
2
xex (x2 + 1) dx =
1 x2 2
e x + C,
2
Z
dx
= ln arc tg x + C,
2 ) arc tg x
(1
+
x
Z
1
x dx
= arc tg x2 + C,
(22)
4+1
x
2
Z
2 x
(23)
x e dx = ex (2 − 2x + x2 ) + C,
Z
1
(24)
x4 e2x dx = e2x (3 − 6x + 6x2 − 4x3 + 2x4 ) + C,
4
Z
2
(25)
x cos x dx = 2x cos x + (−2 + x2 ) sin x + C,
Z
1
(26)
ex cos x dx = ex (cos x + sin x) + C,
2
Z
1 −x
2
2
2
−x
e (−9 cos x + 6 sin x) + C,
(27)
e cos x dx =
3
13
3
3
Z
(21)
ln3 |x| dx = −6x + 6x ln x − 3x ln2 x + x ln3 x + C,
(28)
Z
√
Z
√
ln2 x
√ dx = 2 x(8 − 4 ln x + ln2 x) + C.
x
(29)
(30)
x ln3 |x| dx =
2 3/2
x (−16 + 24 ln x − 18 ln2 x + 9 ln3 x) + C,
27
Zadanie 6.3. Obliczyć całki z funkcji wymiernych
Z
dx
1
(a)
=
+ C,
4
(3x
−
2)
(9(2
−
3x)3
Z
2x − 3
(b)
dx = ln(3 − 3x + x2 ) + C,
2 − 3x + 3
x
Z
5
2x + 6
dx == 2 −2 ln(1 + x) + ln(1 + 2x) + C,
(c)
2
2
Z 2x + 3x + 1
4x − 5
2
(d)
dx = ln(3 − 5x + 2x ) + C,
2
Z 2x 5 − 5x + 3
3
7
6 x − 16
(e)
dx = − ln(3 − x) + ln(6 + x) + C,
2
2
3
Z x + 3x − 18
dx
1
1
(f)
dx = − ln(2 − 3x) + ln(3 − 2x) + C,
2 − 13x + 6
6x
5
5
Z
7x
7
2
(g)
dx =
ln(4 + 5x ) + C,
2
10
√
Z 4 + 5x
dx
1 ln( 5 − 1 + 2x)
√
(h)
dx = √
+ C,
2
5 ln( 5 + 1 − 2x)
Z 1+x−x
8
1
3x + 2
(i)
dx = ln(2 − x) + ln(1 + x) + C,
2
3 3
Z x −x−2
x−1
1
1
(j)
dx
=
+
ln(1
−
2x)
+ C,
2
4 −1 + 2x
Z 4x − 4x + 1
3x + 1
5
(k)
dx =
+ 3 ln(2 + x) + C,
2
2+x
Z (x + 2)
dx
1
1 + 3x
(l)
= √ arc tg √
+ C,
2
2
2
Z 3x2 + 2x + 1
2x + 7x + 20
15
3+x 5
(m)
dx = 2x −
arc tg
− ln(25 + 6x + x2 ) + C,
2 + 6x + 25
x
4
4
2
Z 3
x − 4x2 + 1
7
1 2
(n)
dx = −2 +
+ x − 4 ln(x − 2) + C,
(x − 2)2
−2 + x 2 Z
2x + 1
1
x−2
(o)
dx =
+ arc tg x + C,
(x2 + 1)2
2 (x2 + 1
2x3 − 19x2 + 58x − 42
14
dx = −4 −
− 3x + x2 + 2 ln(x − 4) + C,
x2 − 8x + 16
x−4
r !
Z
√
3
72x6
8
3
5
(q)
dx =
60x − 30x + 27x − 20 6 arc tg
x + C,
2
3x + 2
45
2
Z
17x2 − x − 26
5
10
4
11
(r)
dx = ln(1 − x) +
ln(2 − x) − ln(1 + x) −
ln(2 + x) + C.
2
2
(x − 1)(x − 4)
3
3
3
3
Z
(p)