Matematyka 2 (Budownictwo) Lista nr 5. Równania różniczkowe

Matematyka 2 (Budownictwo) Lista nr 5.
Równania różniczkowe zwyczajne.
1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego:
a. x(t) = tg (t), x0 = 1 + x2 ; b. x(t) =
(1 − t2 )x0 + tx = 2t.
sin t
,
t
tx0 + x = cos t; c. x(t) = 2 +
√
1 − t2 ,
Równania o zmiennych rozdzielonych
Równianie x0 = f (t, x) nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych, jeśli funkcja f (t, x)
jest iloczynem dwóch funkcji jednej zmiennej, tj. f (t, x) = g(t) · h(x).
2. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych:
a. y 0 = ex+y ; b. y 0 =
√
x
;
y
c. y 0 =
y+1
;
x+1
d. y 0 = (1 + x)(1 + y); e. y 0 = ex+y+3 .
3. Znaleźć ogólną postać rozwiązania równania:
a. x0 = cos 2t; b. x0 = (t + 1)2 ; c. x0 = 2tet ; d. x0 =
2 1 1
g. x0 = sin t(cos 2x − cos2 x); h. x0 = t+1
.
x
t ln x
t
;
t+1
e. x0 = 4 xt ; f. x0 =
2t
x
+ x1 ;
4. Rozwiązać zagadnienia:
a. x0 = sin t
e−x +1
,
1+cos t
2
)
x(0) = 0; b. x0 = − t(1+4x
, x(1) = 0; c. x0 =
1+t4
d. x0 = 2, x(0) = 2; e. x0 =
x
,
t
√
4t 1+x2
,
x
x(0) = 1;
x(1) = 5; f. x0 = −x2 et , x(0) = 1; g. txx0 = ln t, x(1) = 1.
5. Znaleźć całkę pierwszą następujących równań:
a. x0 = (t + x + 1)2 ; b. x0 =
c. x0 = sin(t + x).
1−t−x
;
t+x
Równanie postaci x0 = f ( xt ), gdzie f jest daną funkcją, nazywamy równaniem jednorodnym.
Jeżeli x jest rozwiązaniem równania jednorodnego, to funkcja v(t) = x(t)
spełnia równanie o
t
dv
zmiennych rozdzielonych t dt + v = f (v).
6. Rozwiązać równania jednorodne:
x
a. 2x + t − tx0 = 0; b. tx0 = x − te t ; c. tx0 = x cos(ln xt ); d. x0 =
1
2t2 x
.
3t3 +x3
Równania liniowe pierwszego rzędu.
Równanie postaci x0 + p(t)x = q(t), gdzie p(t) i q(t) są funkcjami zmiennej t ∈ (a, b),
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym 1-go rzędu. Jeśli q(t) ≡ 0, to równanie to
nazywamy liniowym jednorodnym, w przeciwnym przypadku liniowym niejednorodnym.
7. Znaleźć rozwiązanie ogólne równań liniowych mnożąc je przez odpowiedni czynnik całkujący:
a. x0 + x cos t = 0; b. x0 + t2 x = t2 ; c. x0 +
2t
x
1+t2
=
1
;
1+t2
d. x0 + x = tet .
8. Rozwiązać zagadnienia:
t
a. x0 + 2tx = sin t, x(0) = 1; b. x0 + 4 xt = t3 − t, x(1) = 1; c. x0 − 1+t
x=
d. x0 +
3t+1
x
t
= e−3t , x(1) = 1; e. x0 = 2x + t(e3t − e2t ),
t+t2
,
1+t
x(0) = 1;
x(0) = 2;
Równanie Bernouliego tj. równanie postaci x0 + a(t)x = b(t)xm , m ∈ R, m 6= 0, m 6= 1,
sprowadza się przez zamianę zmiennych z(t) = x(t)1−m do równania liniowego.
9. Rozwiązać równania Bernouliego lub zagadnienia początkowe dla równania Bernouliego:
a. x0 +
x
t
= x2 lnt t ; b. x0 = tx + t3 x2 ;
√
c. x0 − tx = −x3 e−t ; d. tx0 − 4x = t2 x;
e. x0 + tx = tx3 , x(0) = 2; f. 3tx0 − 2x =
t2
,
x2
x(1) = 2.
Zastosowania równań różniczkowych.
10. Prędkość wzrostu populacji bakterii jest proporcjonalna do masy kolonii. Wiemy, że
masa podwaja się co godzinę. W chwili t = 0 masa była równa 1 gram. Obliczyć masę po
100 minutach.
11. Prędkość spadku temperatury ciała jest proporcjonalna do różnicy między temperaturą
ciała i temperaturą otoczenia. W chwili t = 0 ciało miało temperaturę 100o C, po 20 minutach
jego temperatura była równa 60o C. Obliczyć, w jakiej chwili temperatura ciała będzie równa
30o C, jeśli temperatura otoczenia wynosi 25o C.
2
Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego
Równanie postaci x00 + p(t)x0 + q(t)x = f (t), gdzie p(t), q(t) i f (t) są funkcjami zmiennej t ∈
(a, b), nazywamy równaniem różniczkowym liniowym 2-go rzędu. Jeśli f (t) ≡ 0, to równanie
to nazywamy liniowym jednorodnym, w przeciwnym przypadku liniowym niejednorodnym.
12. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień:
a. x00 + x0 − 6x = 0, x(0) = 1, x0 (0) = 0;
b. x00 + x0 + 2x = 0, x(0) = 1, x0 (0) = −2;
c. 2x00 − x0 + 3x = 0, x(1) = 1, x0 (1) = 1;
d. 9x00 + 6x0 + x = 0, x(0) = 1, x0 (0) = 0.
13. Stosując metodę uzmienniania stałych znaleźć rozwiązanie następujących równań:
a. x00 − 4x0 + 4x = te2t ;
b. 2x00 − 3x0 + x = (t2 + 1)et ;
c. 3x00 + 4x0 + x = e−t sin t.
14. Wykorzystując metodę przewidywań, znaleźć jedno szczególne rozwiązanie podanych
równań oraz podać postać ich rozwiązań ogólnych:
a. x00 + 2x + x = −2;
b. x00 − 4x0 + 4x = t2 ;
c. x00 + 3x = t3 − 1;
d. x00 + 4x0 + 4x = teat ;
e. x00 − x = t2 et ;
f. x00 + x0 + x = 1 + t + t2 ;
g. x00 + 4x = t sin 2t.
3