Zadanie 10a Dana jest funkcja: a) Wyznaczyć oraz zaznaczyć w

Zadanie 10a
Dana jest funkcja:
a) Wyznaczyć oraz zaznaczyć w układzie współrzędnych dziedzinę funkcji
b) Wyznaczyć oraz zaznaczyć w układzie współrzędnych warstwicę funkcji odpowiadającą
wartości 0
c) Wyznaczyć wszystkie punkty stacjonarne oraz
,
d) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
Odp.
a)
b)
c) Punkt stacjonarny:
.
d) Funkcja nie posiada ekstremów lokalnych.
Zadanie 10b
Dana jest funkcja
a) Wyznaczyć dziedzinę funkcji
b) Dla
oraz
, a następnie zaznaczyć ją w układzie współrzędnych
napisać równanie warstwic funkcji
, a następnie narysować
je w układzie współrzędnych
c) Obliczyć gradient funkcji
w punkcie (0,1)
d) Zbadać tempo zmian wartości funkcji
w otoczeniu punktu (0,1) ze względu na
zmienną y przy ustalonym x.
Odp.
a)
b)
,
,
c)
d) maleje coraz wolniej
Zadanie 10c
Dana jest funkcja
.
a) Dla jakiej wartości parametru a funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie (1,-3).
b) Dla jakiej wartości parametru a funkcja posiada ekstremum w punkcie (0,0)
Odp.
a) Dla
b) Nie ma takiej wartości parametru a
Zadanie 10d
Wyznaczyć wszystkie punkty stacjonarne, a następnie ekstrema lokalne funkcji
Wyznaczyć tempo zmian wartości funkcji
(przy ustalonym x)
w otoczeniu punktu (0,1) ze względu na zmienną y
Odp.
a) Punkty stacjonarne:
,
,
b) W punktach P1 oraz P2 brak ekstremów, w punkcie P3 jest min lokalne, w punkcie P4 jest max
lokalne
c) W otoczeniu punktu (0,1) ze względu na zmienną y funkcja maleje coraz szybciej
Zadania 10e
Wyznaczyć wszystkie punkty stacjonarne, a następnie ekstrema lokalne funkcji
Wyznaczyć, a następnie w układzie współrzędnych narysować warstwicę funkcji odpowiadającej
wartości 0.
Odp.
Punkty stacjonarne
,
. W punkcie
jest minimum lokalne, w punkcie
ekstremum. Warstwica odpowiadająca wartości 0:
nie ma
- punkt (0,0)
Zadanie 10f
Dana jest funkcja
oraz warstwicami
. Obliczyć pole obszaru ograniczonego prostymi
i
.
Odp. Pole obszaru wynosi 2.
,