Analiza Matematyczna 1 dla EMiF, lista 6 Zadanie 1. Korzystając z
Transkrypt
Analiza Matematyczna 1 dla EMiF, lista 6 Zadanie 1. Korzystając z
Analiza Matematyczna 1 dla EMiF, lista 6 Zadanie 1. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnij, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania: a) Wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy obwód. b) Wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość. Zadanie 2. Uzasadnij że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: sin x π a) x3 + 6x − 2 = 0, (0, 1), b) x sin x = 7, (2π, 5π ), c) 1 = + x, (0, ), 2 2 2 d) x100 + x − 1 = 0, ( 12 , 1), e) 3x + x = 3, (0, 1), f ) x2x = 1, (0, 1). Zadanie 3. Wyznacz rozwiązania równań a), d) i f ) poprzedniego zadania z dokładnością 0, 125. Zadanie 4. Korzystając z definicji zbadaj, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f (x) = |x − 1|, x0 = 1, b) f (x) = 2x − |x|, x0 = 0, c) f (x) = |x − π|3 sin x, x0 = π, ( ( ( x2 arctg x1 dla x 6= 0, x2 dla x ¬ 2, sin x dla x ¬ π2 , f ) f (x) = d) f (x) = e) f (x) = π x 1 dla x > 2 , 0 dla x = 0, 2 dla x > 2, π x0 = 2, x0 = 2 , x0 = 0. Naszkicuj wykresy funkcji a), b), d) i e). Zadanie 5. Korzystając z definicji, oblicz pochodne funkcji: 1 a) f (x) = x2 − 3x, gdzie x ∈ R, b) f (x) = , gdzie x 6= −1, x+1 √ c) f (x) = x, gdzie x > 0, d) f (x) = tg x, gdzie x 6= π2 + kπ dla k ∈ Z. Zadanie 6. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnij, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f (x) = x2 − x, x0 = 1, b) f (x) = sin x · sgn (x), x0 = 0, ( c) f (x) = tg x dla − π2 < x ¬ 0, sin x dla 0 < x < π2 , ( x0 = 0, d) f (x) = x(x−1) dla x < 1, √2 x − 1 dla x 1, x0 = 1. Zadanie 7. Zbadaj, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0: √ √ b) f (x) = tg 3 x, a) f (x) = 3 − 5 x, c) f (x) = q r | sin x|, d) f (x) = |x| + q |x|. Zadanie 8. Korzystając z reguł różniczkowania, oblicz pochodne funkcji: √ √ a) y = (x3 + x12 )ex , c) y = ex arctgx, b) y = (1 + 4 x) tg( x), d) y = ln(sin2 x + 1), e) y = 2 g) y = 2sin x , 3cos2 x q 3 arcsin(x2 ), h) y = xtg x , x f ) y = ee , √ i) y = x x. Zadanie 9. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, oblicz pochodną funkcji odwrotnej a) f (x) = x + ln x, y0 = e + 1, b) f (x) = cos x − 3x, y0 = 1, √ √ √ do f w punkcie y0 , jeżeli: c) f (x) = 3 x + 5 x + 7 x, y0 = 3, d) f (x) = x3 + 3x , y0 = 4. Zadanie 10. Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f (x) = arcsin x2 , (1, f (1)), c) f (x) = etg x , ( π4 , f ( π4 )), √ √ 2x e) f (x) = 1+x ( 2, f ( 2)), 2, b) f (x) = ln(x2 + e), (0, f (0)), √ d) f (x) = 2x + 1, (3, f (3)), √ f ) f (x) = x x, (e, f (e)). Zadanie 11. Korzystając z różniczki funkcji, oblicz przybliżone wartości wyrażeń: √ a) 3 7.999, b) ln 0.9993 c) ln 2001 , e) e0.04 , f ) arccos 0.499. 2000 0 00 Zadanie 12. Oblicz f , f , f a) f (x) = 4x7 − 5x3 + 2x, d) f (x) = arctgx, 000 funkcji: b) f (x) = x3 − x2 , e) f (x) = sin3 x + cos3 x, x c) f (x) = ex , f ) f (x) = x3 ln x.