Seria 3. - zasady zachowania, praca

Seria 3. - zasady zachowania, praca
1. Wyznaczyć pracę wciągnięcia ciężaru po równi pochyłej, jeśli masa tego ciężaru wynosi m, długość równi - s, kąt nachylenia do poziomu - α, współczynnik tarcia - f .
Odp. W = mgs(sin α + f cos α)
2. Mały wózek stacza się bez tarcia po pochyłym torze zakończonym kołową pętlą o promieniu R.
Z jakiej wysokości H, mierzonej od najwyższego punktu pętli, musi staczać się wózek, aby nie
oderwać się od petli na całej jej długości.
Odp.: H = R/2
3. Ciało o masie m, którego predkość początkowa wynosiła v0 = 0, ześlizguje się po równi pochyłej
nachylonej pod kątem α do podłoża. Po zjechaniu z równi ciało porusza się dalej po podłożu,
zatrzymując się po pokonaniu odległości l liczonej od podstawy równi. Oblicz pracę wykonaną
przez siły tarcia podczas ruchu ciała, jeżeli współczynnik tarcia na całej drodze (równi i podłożu)
wynosi f .
mglf
Odp.: W = − 1−f
ctg α
4. Ciało zsuwa się po powierzchni nachylonej pod kątem α do poziomu. Współczynnik tarcia f
zależy od przebytej drogi przez ciało s i f (s) = bs, gdzie b jest dodatnim współczynnikiem. Wyznaczyć drogę s1 przebytą przez ciało do momentu zatrzymania się oraz maksymalną prędkość
ciała na drodze s1 .
Odp. s1 =
2 tg α
b ,
vmax = sin α
q
g
b cos α
5. Piłeczka pingpongowa po uderzeniu o podłogę traci 1/k części swojej energii kinetycznej. Znaleźć
całkowitą drogę, jaką przebędzie piłeczka zrzucona z wysokości h, aż do chwili zatrzymania się.
Współczynnik k > 1.
Odp. s = h(2k − 1)
6. Deska o masie m i długości l leży na granicy zetknięcia dwóch stołów, na stole pierwszym.
Jaką minimalną pracę należy wykonać, aby przesunąć ją ze stołu pierwszego na drugi, jeśli
współczynniki tarcia pomiędzy deską a stołem wynoszą f1 i f2 , odpowiednio dla pierwszego i
drugiego stołu.
Odp. Wmin =
mgl
2 (f1
+ f2 )
7. Na podłodze leży łańcuch o masie m i długości l. Jeden z jego końców podnosimy do góry
dopóki nie oderwie się od podłogi. Wyznaczyć minimalną wartość pracy jaką należy wykonać,
aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi w przypadku gdy: a) łańcuch jest
jednorodny b) łańcuch jest niejednorodny
i jego masa m zależy od odległości x od jednego z
2
końców według wzoru m(x) = m0 xl
Odp. Wa =
mgl
2 ,
Wb =
m0 gl
3
8. Kulka o masie m ześlizguje się bez tarcia po powierzchni kuli o promieniu R. W którym miejscu
i z jaką prędkością oderwie się od kuli?
Odp. cos α =
2
3
9. Piłka spada z wysokości h na podłogę i odbija się od niej wielokrotnie. Jaką prędkość początkową
v0 należy nadać piłce, aby po n odbiciach wzniosła się na pierwotną wysokość, jeżeli wiadomo,
że przy każdym odbiciu piłka traci k-tą część swojej energii.
Odp. v0 =
p
2gh[(1 − 1/k)−n − 1]
10. Na łodzi o masie M stoi człowiek o masie m. Człowiek idzie wzdłuż łódki i przechodzi odległość
l. O ile przesunie się łódka w przeciwną stronę? Siły oporu zaniedbać.
Odp.
ml
M +m
1
11. Łódź podwodna o masie m jest napędzana w taki sposób, że woda jest pobierana na dziobie
i wyrzucana przez rufę ze stałą prędkością u względem łodzi. Wydajność pompy jest stała i
wynosi µ = dmw /dt. W chwili t = 0 zostaje włączony napęd łodzi. Znaleźć zależność prędkości
łodzi od czasu: a) pomijamy opór wody b) opór wody wynosi −kv.
µt
Odp. a) v = u(1 − e− m ), b) v =
µu
µ+k (1
− e−
(µ+k)t
m
)
12. Ciało o masie M , na które działa siła F = a − bx (gdzie a i b to dodatnie stałe, a x to położenie
ciała), leży na doskonale gładkiej powierzchni w punkcie x0 = ab . W chwili początkowej t = 0 w
ciało uderza lecący równolegle do podłoża pocisk o masie m. Pocisk przeszywa ciało na wylot,
zmniejszając przy tym swoją prędkość o połowę. Jaka musi być początkowa prędkość pocisku
v0 , aby ciało uderzyło w murek położony w punkcie xmur = 3 ab ?
13. Pocisk o masie m, lecący równolegle do podłoża, trafił w leżące na murku o wysokości h ciało
o masie M i utkwił w nim. Jaka była prędkość początkowa pocisku, jeżeli po zderzeniu ciało
wraz z pociskiem spadło w odległości d od murku? O ile zmieniła się energia układu na skutek
zderzenia?
Odp. v =
d(M +m)
m
q
g
2h ,
2g
+m)d
∆E = − M (M4hm
14. Na jaką wysokość liczoną od położenia równowagi wzniesie się wahadło o masie M , gdy utkwi
w nim pocisk o masie m lecący z prędkością v.
Odp. h =
m
m+M
2
v2
2g
15. Na sznurku o długości l zawieszono ciało o masie m. Jaką minimalną prędkość początkową należy
nadać ciału, aby zatoczyło w powietrzu pełne koło?
√
Odp. v = 5gl
16. Pocisk uderza w klocek zawieszony na nierozciągliwej lince o długości l i przechodzi przez niego
na wylot, zmniejszając przy tym swoją prędkość o połowę. Jaka musi być początkowa prędkość
pocisku, aby klocek na lince zatoczył w powietrzu pełne koło? Stosunek masy klocka do masy
pocisku wynosi α.
√
Odp. v = 2α 5gl
17. Pocisk rozrywa się w najwyższym punkcie toru na wysokości h na dwie jednakowe części. Po
czasie τ od wybuchu jedna z tych części spada na Ziemię pod tym miejscem, w którym nastąpił
wybuch. W jakiej odległości s2 od miejsca wystrzału upadnie druga część pocisku, jeżeli pierwsza
spadła w odległości s1 od miejsca wystrzału? Oporu powietrza nie uwzględniamy.
Odp. s2 = s1 1 +
2
τ
q
2h
g
18. Dwie kule zderzają się, po czym poruszają się wzdłuż jednej prostej. Jedna z kul przed zderzeniem była w spoczynku, a druga poruszała się z prędkością v0 . Kula poruszająca się ma
masę trzykrotnie mniejszą od kuli spoczywającej. Wyznacz: a) prędkość kul po zderzeniu idealnie sprężystym, b) prędkość kul po zderzeniu idealnie niesprężystym, c) ubytek energii podczas
zderzenia idealnie niesprężystego.
Odp. ua =
v0
2 ,
ub =
v0
4 ,
∆E = 34 E0
19. Cząstka o masie m1 i prędkości v1 zderza się doskonale sprężyście z inną cząstką o masie m2 =
3m1 , znajdującą się w spoczynku (v2 = 0). Po zderzeniu cząstka o masie m2 porusza się pod
kątem Θ2 = 45o względem pierwotnego kierunku cząstki o masie m1 . Znajdź kąt odchylenia Θ1
masy m1 oraz końcowe prędkości cząstek u1 i u2 .
√
√
Odp. u1 = 14 10v1 , u2 = 21 2v1
20. Ciało o masie M spada z wysokości H. W połowie wysokości zostaje trafione poziomo lecącym
pociskiem, który wbija się w nie niesprężyście. Masa pocisku wynosi m, a jego prędkość wynosi
v. Obliczyć prędkość układu w momencie upadku na Ziemię.
2
Odp. vk =
r
m
m+M
2
v2 +
M
m+M
2
gH + gH
21. Energia kinetyczna cząstki poruszającej się po okręgu o promieniu R zależy od przebytej przez nią
drogi s w następujcy sposób: T = bs2 , gdzie b to dodatnia stała. Znajdź wartość siły działającej
na cząstkę w funkcji s.
p
Odp.: F = 2bs (s/R)2 + 1
Zasada zachowania momentu pędu
22. Jaką pracę musi wykonać miotacz młotem, jeżeli po nabraniu prędkości kątowej ω, pragnie
ściągnąć do siebie młot z odległości r1 na odległość r2 od osi obrotu? Zakładamy, że cała masa
młota m skupiona jest w kuli znajdującej się na jego końcu.
Odp. W = 21 mω 2 (r12 −
r14
)
r22
23. Pręt o długości l i masie M leży na gładkiej powierzchni. W koniec pręta uderza prostopadle
do niego z prędkością v punkt o masie m. Pręt jest umocowany tak, że może się obracać wokół
osi prostopadłej do niego przechodzącej przez jego drugi koniec. a) zderzenie jest doskonale
sprężyste. Znaleźć prędkość punktu i prędkość kątową pręta po zderzeniu. b) zderzenie jest
niesprężyste. Znaleźć prędkość kątową układu po zderzeniu.
24. Na brzegu talerza o masie M i promieniu R obracającego się wokół osi prostopadłej i przechodzącej przez jego środek, porusza się żuczek o masie m w kierunku ruchu wskazówek zegara.
Prędkość żuczka względem ziemi v. Talerz obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω. Jak zmieni się prędkość kątowa talerza, jeśli żuczek w pewnej
chwili zbliży się do środka talerza na odległość R/5, zmieni kierunek swojej prędkości i zacznie
poruszać się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością 3 razy większą?
25. Na brzegu talerza obracającego się wokół osi przechodzącej przez jego dno porusza się w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara karaluch o masie m. Promień talerza R, a jego moment
bezwładności I0 . Talerz obraca się bez tarcia. Prędkość karalucha względem ziemi v, podczas gdy
talerz obraca się w kierunku ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω. W pewnej chwili
karaluch znajduje na brzegu talerza okruch chleba i zatrzymuje się. Jaka jest prędkość kątowa
talerza w chwili, gdy karaluch zatrzyma się?
26. Na brzegu poziomego stolika o promieniu R i o masie M znajduje się człowiek o masie m. Układ
ten obraca się wokół osi pionowej przechodzącej przez środek stolika z prędkością kątową ω.
Obliczyć: prędkość kątową układu po przejściu człowieka na środek stolika; ile razy wzrośnie
energia kinetyczna po przejściu człowieka? Stolik traktować jako jednorodny walec o momencie
bezwładności I = 1/2M R2 , a masę człowieka jako punktową.
27. Największa odległość planety od Słońca wynosi R1 a najmniejsza R2 . Ile wynosi moment pędu
planety? Masa Słońca M , masa planety m.
28. Największa odległość komety Halleya od Słońca h = 35, 4Rzs (Rzs - odległość pomiędzy Ziemią
i Słońcem ), a najmniejsza l = 0, 59Rzs . Ile wynosi prędkość komety, gdy jest najbliżej Słońca,
a ile gdy znajduje się w punkcie najbardziej odległym od Słońca?
3