LISTA 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO

LISTA 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO
1. Sprawdzić, że funkcje dane po prawej stronie spełniają podane równania różniczkowe:
a) y 0 + y = 0,
1
b) y 00 = √
,
1 − t2
c) y 00 = y 0 ,
d) (1 + t2 )y 0 = ty,
e) t + y y 0 = 0,
f) t2 y 00 + 2ty 0 + y = ln t + 3t + 1,
y = e−t ;
y = t arc sin t +
y
y
y
y
√
1 − t2 ;
= e√t + 2;
= √1 + t2 ;
= 16 − t2 ;
= ln t + t.
2. ∗ Uzasadnić, że równanie ty 2 − e−y − 1 = 0 definiuje funkcje uwikłane na pewnych przedziałach i że są one rozwiązaniami równania
(ty 2 + 2ty − 1)y 0 + y 2 = 0.
3. Wykreślić po kilka krzywych z podanych rodzin i znaleźć równania różniczkowe, dla których są one krzywymi całkowymi:
a) rodzina okręgów o środku (0, 0) i dowolnym promieniu;
b) rodzina okręgow o ustalonym promieniu i środku na osi Ot;
c) rodzina parabol o wierzchołku w punkcie (0, 0), których osią symetrii jest oś Oy;
d) rodzina parabol o ognisku w początku układu i wierzchołku na osi Ot (Wsk. Jeśli
y 2 = 2p(t − t0 ), to parabola ma wierzchołek w punkcie t0 na osi Ot, a ognisko w
punkcie t0 + p2 .)
4. Rozwiązać równania:
a) y 0 = y + 2;
b) (1 + ey )yy 0 = et ;
c) t sin y dy = cos y dt;
y
d) y 0 =
;
(y + 2)t
y2 − 1
;
(t + 2)y
√
√
f ) 2 t y0 = 1 − y2.
e) y 0 =
5. Znaleźć rozwiązania zagadnień początkowych:
a) y 0 + y = 0, y(1) = 1;
√
√
b) t 1 − y 2 dt + y 1 − t2 dy = 0, y(0) = 1;
c) y 0 = et−y , y(0) = 0;
d) y 0 sin t = y ln y, y(π/2) = e;
e) y 2 y 0 = t(y − 1), y(0) = 0.
6. Rozwiązać równania:
√
a) ty 0 = y + t2 − y 2 ;
b) ty 0 = y(ln y − ln t);
c) ty 0 − y = t tg yt ;
d) (t2 − y 2 )dt + ty dy = 0;
y
e) (y + te t )dt − tdy = 0;
t + 3y
.
f ) y0 =
3t + y
7. Znaleźć rozwiązania zagadnień początkowych:
√
a) (t2 + y 2 )dt − 2tydy = 0, y(1) = 2;
4y 2 − t2
, y(1) = 1;
2ty
y2
c) y 0 =
, y(1) = 1;
yt + t2
√
y + t2 − y 2
1
0
d) y =
, y(1) = .
t
2
b) y 0 =
8. Rozwiązać równania:
a) ty 0 + y = t3 ;
2ty
= 1;
b) y 0 − 2
t +1
2
c) y 0 + 2ty = e−t ;
d) y 0 + 2y = sin t;
e) ty 0 + y = t sin t;
2y
2t + 1
f ) y0 −
=
;
t+1
t
sin t
g) y 0 + 2
y = sin t;
cos t
ty
1
h) y 0 +
.
= 2√
2
1+t
t 1 + t2
9. Rozwiązać równania:
a) ty 0 + y = y 2 ln t;
b) y 0 + y = ty 3 ;
√
c) ty 0 − 4y = 2t4 e2t y;
d) ty 0 − y(2y ln t + 1) = 0.
10. Znaleźć rozwiązania zagadnień początkowych:
a) y 0 − y = et , y(0) = 0;
b) ty 0 − 2y = te−1/t , y(1) = 0;
2
2
c) y 0 + y = ln t, y(1) = ;
t
9
d) (t − sin y)dy + tg y dt = 0, y(1) =
1
y2
e) y 0 + y = , y(−1) = 1;
t
t
t3
f ) 3ty 0 − 2y = 2 , y(1) = 2;
y
0
2 2
g) ty + y = t y ln t, y(1) = 1;
π
6
(Wsk. Szukać rozwiązania w postaci t = t(y));
h) ty 0 + y = ty 2 ln t, y(1) = 0.
11. Rozwiązać równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego za pomocą
odpowiednich podstawień:
a) ty 00 + y 0 = ln t, y(1) = 0, y 0 (1) = 0;
1
b) ty 00 = y 0 (y 0 − 1), y(1) = ln 10, y 0 (1) = ;
2
t+1
c) y 00 = (y 0 + e)
, y(1) = −e, y 0 (1) = 0;
t
00
d) (y − 1)y = 2(y 0 )2 , y(1) = 2, y 0 (1) = 1;
e) y 00 + (y 0 )2 = 2e−y ;
f ) y 00 (1 − y 2 ) = −y(y 0 )2 , y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
ODPOWIEDZI
3. a) y 0 = −t/y; b) y 2 (y 0 )2 = r2 − y 2 ; c) y 0 = 2y/t; d) y(y 0 )2 + 2ty 0 − y = 0.
4. a) y(t) = Cet − 2; b) y 2 /2 + (y −√1)ey = et + C; c) y(t) = arc cos(C/t); d) ey y 2 = Ct;
e) y 2 = C(t + 2)2 + 1; f) y(t) q
= sin( t + C), y(t) ≡ 1, y(t) ≡ −1.
√
1−t
5. a) y(t) = e ; b) y(t) = 1 − (1 − 1 − t2 )2 , y(t) ≡ 1; c) y(t) = t; d) y(t) = etg(t/2) ; e)
y 2 (t)/2 + y + ln |y − 1| = t2 /2.
√
6. a) y(t) = t sin ln |Ct|; b) y(t) = teCt+1 ; c) y(t) = t arc sin(Ct); d) y(t) = ±t C − ln t2 ; e)
y
+ C; f) C(y + t) = (y − t)2 , y(t) = −t.
e− t = − ln |t| q
q
y
2
7. a) y(t) = t(t + 1), gdzie t > 0; b) y(t) = t 1+t
, gdzie t > 0; c) ye t = e; d) y(t) =
2
t sin(ln t + π6 ).
2
8. a) y(t) = t3 /4 + C/t; b) y(t) = (arc tg t + C)(t2 + 1); c) y(t) = (t + C)e−t ; d) y(t) =
2
t
sin t − 15 cos t + Ce−2t ; e) y(t) = sint t − cos t + Ct ; f) y(t) = (t + 1)2 ln | t+1
| − (t + 1) + C(t + 1)2 ;
5
1
√C .
g) y(t) = C cos2 t + cos t; h) y(t) = − t√1+t
2 +
1+t2
1
9. a) y(t) = ln t+1+Ct
, y(t) ≡ 0; b) y(t) = t+ 1/21+Ce2t , y(t) ≡ 0; c) y(t) = [( 2t − 14 )e2t +
C]2 t4 , y(t) ≡ 0; d) y(t) = C/t−21ln t−2 , y(t) ≡ 0.
10. a) y(t) = tet ; b) y(t) = (e−1/t − e−1 )t2 ; c) y(t) = 31 t ln t − 19 t + 3t12 ; d) 8t sin y = 4 sin2 y + 3;
√
1
e) y(t) ≡ 1; f) y(t) = 3 7t2 + t3 ; g) y(t) = t2 (1−ln
; h) y(t) ≡ 0.
t)
√
1
11. a) y(t) = t ln t−2t− t2 +3; b) y(t) = ln[5(1+t)]; c) y(t) = −et+tet −et ; d) y(t) = 1+ 3 3t − 2
e) y = C1 + (t + C2 )2 ; f) y(t) = sin t.