zestaw_I_2

Zestaw zadań przygotowujących do kolokwium nr 2 (analiza I semestr)
1. Znaleźć wzór określający n-ty wyraz ciągu:
a) (an ) = (1, 3, 5, 7, 9, ...), b) (cn ) = (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ...),
c) (an ) = (1, 4, 27, 256, ...).
2. Znaleźć granice podanych
nciągów:
1
n
a) an = 3 , b) an = − 2 .
3. Obliczyć granice ciągów:
√ n
p
−2n3 + n2 − 2n + 4
4 +1
2
a) lim
, b) lim ( n + n − n), c) lim √
.
3 n
3
n→∞
n→∞
n→∞
5n − n + 7
8 +1
4. Obliczyć podane granice ciągów:
1 n
n − 1 2n+1
1 2n+1
a) lim 1 −
, b) lim 1 + 2
, c) lim
.
n→∞
n→∞ n + 3
n→∞
n
n
6. Obliczyć granice funkcji:
x5 − 1
(x + 1)3
x2 − 1
, b) lim
, c) lim √
.
a) lim 3
3
x→∞ x + 2
x→1
x→1 x − 1
1−x
7. Obliczyć podane granice:
1
1
.
a) lim (x4 − 1)2 , b) lim e x , c) lim
x→∞
x→0 sin x
x→1
8. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:
sin 5x
sin 3x
ln(1 − 2x3 )
a) lim
, b) lim x
, c) lim
.
x→0 sin 3x
x→0 e − 1
x→0
x3
(
x2 , x 6 2,
10. Zbadać ciągłość funkcji f (x) =
w punktach x = 1, x = 2.
2x, x > 2,
12. Obliczyć pochodne podanych funkcji:
√
a) f (x) = x4 − 2x2 − x12 + 3 x, b) f (x) = sin x cos x,
13. Obliczyć pochodne danych funkcji:
a) f (x) = sin3 (5x),
b) f (x) = esin
14. Obliczyć pochodne:
1
a) f (x) = (ln x)2x , b) f (x) = x x ,
√
x3 ,
c) f (x) =
c) f (x) =
x2 −1
x2 +1
5
ex +sin x
ex +4 .
.
c) f (x) = xsin x .
17. Obliczyć pochodne f 0 , f 00 , f 000 podanych funkcji:
2
a) f (x) = ex , b) f (x) = x ln x, c) f (x) = sin3 x.
15. Napisać równanie stycznej i normalnej do wykresu danej funkcji w danym punkcie:
√
a) f (x) = ex , (0, 1), b) f (x) = sin x, (π, 0), c) f (x) = 3 x, (8, 2).
16. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia:
√
a) 4 15, 99, b) e−0,01 , c) cos 0,02.
19. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice:
x10 − 1
x − sin x
ln cos x
a) lim 3
, b) lim
, c) lim
.
3
+
x→1 x − 1
x→0
x
x→0 ln cos 2x
20. Obliczyć granice:
a) lim x ln x, b) lim x2 e−x , c) lim (ex − x2 ).
x→0+
x→∞
x→∞
21. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji:
1
a) f (x) = 1+x
b) f (x) = −x3 + 4x − 3, c) f (x) =
2,
e) f (x) = x2 e−x .
x3
x−1 ,
d) f (x) =
ln
√x ,
x