4. Reguła de L`Hospitala

Transkrypt

4. Reguła de L’Hospitala
Grzegorz Kosiorowski
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
zima 2016/2017
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)
zima 2016/2017
1 / 15
Reguła de L’Hospitala - motywacja
Ta część wykładu poświęcona jest bardzo skutecznemu sposobowi
liczenia granic w sytuacjach, gdy licząc innymi metodami
otrzymujemy symbole nieoznaczone, czyli regule de L’Hospitala.
zima 2016/2017
2 / 15
Reguła de L’Hospitala - wypowiedź
Reguła de L’Hospitala
Jeśli funkcje f oraz g są różniczkowalne w otoczeniu x0 ∈ ℝ i
zachodzi: lim f (x) = lim g (x) = 0([ 00 ]) lub
x→x0
x→x0
lim f (x) = lim g (x) = ±∞([ ±∞
]) to
±∞
x→x0
x→x0
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0 .
g (x) x→x0 g (x)
Oczywiście, twierdzenie to działa też dla granic jednostronnych.
zima 2016/2017
3 / 15
Reguła de L’Hospitala - wypowiedź
Reguła de L’Hospitala
Jeśli funkcje f oraz g są różniczkowalne w otoczeniu x0 ∈ ℝ i
zachodzi: lim f (x) = lim g (x) = 0([ 00 ]) lub
x→x0
x→x0
lim f (x) = lim g (x) = ±∞([ ±∞
]) to
±∞
x→x0
x→x0
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0 .
g (x) x→x0 g (x)
Oczywiście, twierdzenie to działa też dla granic jednostronnych.
H
Zastosowanie reguły de L’Hospitala oznaczamy symbolem =.
zima 2016/2017
3 / 15
Reguła de L’Hospitala - przykład 1
Zadanie
Obliczyć granicę:
x 2 − 3x + 2
.
x→2
x2 − 4
lim
Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za
pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak:
x 2 − 3x + 2
=
x→2
x2 − 4
lim
zima 2016/2017
4 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
x 2 − 3x + 2
.
x→2
x2 − 4
lim
x 2 − 3x + 2 h 0 i H
=
=
x→2
x2 − 4
0
lim
zima 2016/2017
4 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
x 2 − 3x + 2
.
x→2
x2 − 4
lim
x 2 − 3x + 2 h 0 i H
2x − 3
=
= lim
=
2
x→2
x→2
x −4
0
2x
lim
zima 2016/2017
4 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
x 2 − 3x + 2
.
x→2
x2 − 4
lim
x 2 − 3x + 2 h 0 i H
2x − 3
1
=
= lim
= .
2
x→2
x→2
x −4
0
2x
4
lim
zima 2016/2017
4 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
sin x
x→0 x
lim
Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo
ważna (wręcz warto ją zapamiętać):
sin x
=
x→0 x
lim
zima 2016/2017
5 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
sin x
x→0 x
lim
h0i
sin x
H
=
=
x→0 x
0
lim
zima 2016/2017
5 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
sin x
x→0 x
lim
h0i
sin x
cos x
H
=
= lim
=
x→0 x
x→0
0
1
lim
zima 2016/2017
5 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
sin x
x→0 x
lim
h0i
sin x
cos x
1
H
=
= lim
= = 1.
x→0 x
x→0
0
1
1
lim
zima 2016/2017
5 / 15
Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu
więcej niż raz.
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
x→∞
x 2 − 3x + 2
.
x2 − 4
x 2 − 3x + 2
=
x→∞
x2 − 4
lim
zima 2016/2017
6 / 15
więcej niż raz.
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
x→∞
x 2 − 3x + 2
.
x2 − 4
x 2 − 3x + 2 h ∞ i H
=
=
x→∞
∞
x2 − 4
lim
zima 2016/2017
6 / 15
więcej niż raz.
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
x→∞
x 2 − 3x + 2
.
x2 − 4
2x − 3
x 2 − 3x + 2 h ∞ i H
=
lim
=
=
x→∞
x→∞
∞
2x
x2 − 4
lim
zima 2016/2017
6 / 15
więcej niż raz.
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
x→∞
x 2 − 3x + 2
.
x2 − 4
2x − 3 h ∞ i H
x 2 − 3x + 2 h ∞ i H
=
lim
=
=
=
x→∞
x→∞
∞
2x
∞
x2 − 4
lim
zima 2016/2017
6 / 15
więcej niż raz.
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
x→∞
x 2 − 3x + 2
.
x2 − 4
2x − 3 h ∞ i H
2
x 2 − 3x + 2 h ∞ i H
=
lim
=
=
lim
= 1.
=
x→∞
x→∞ 2
x→∞
∞
2x
∞
x2 − 4
lim
zima 2016/2017
6 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
ln(x − 1) − x + 2
.
x→2
2x 2 − 8x + 8
lim
ln(x − 1) − x + 2
=
x→2
2x 2 − 8x + 8
lim
zima 2016/2017
7 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
ln(x − 1) − x + 2
.
x→2
2x 2 − 8x + 8
lim
ln(x − 1) − x + 2 h 0 i H
=
=
x→2
0
2x 2 − 8x + 8
lim
zima 2016/2017
7 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
ln(x − 1) − x + 2
.
x→2
2x 2 − 8x + 8
lim
1
−1
ln(x − 1) − x + 2 h 0 i H
x−1
=
lim
=
=
x→2 4x − 8
x→2
0
2x 2 − 8x + 8
lim
zima 2016/2017
7 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
ln(x − 1) − x + 2
.
x→2
2x 2 − 8x + 8
lim
1
− 1 h0i H
ln(x − 1) − x + 2 h 0 i H
x−1
=
lim
=
=
=
x→2 4x − 8
x→2
0
0
2x 2 − 8x + 8
lim
zima 2016/2017
7 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
ln(x − 1) − x + 2
.
x→2
2x 2 − 8x + 8
lim
1
− 1 h0i H
ln(x − 1) − x + 2 h 0 i H
x−1
=
lim
=
=
=
x→2 4x − 8
x→2
0
0
2x 2 − 8x + 8
lim
H
= lim
x→2
1
− (x−1)
2
4
=
−1
.
4
zima 2016/2017
7 / 15
Reguła de L’Hospitala - symbol [0 · ∞]
Twierdzenie de L’Hospitala można zastosować również do innych
symboli nieoznaczonych niż [ ∞
] i [ 00 ].
∞
zima 2016/2017
8 / 15
Reguła de L’Hospitala - symbol [0 · ∞]
Twierdzenie de L’Hospitala można zastosować również do innych
symboli nieoznaczonych niż [ ∞
] i [ 00 ].
∞
Na przykład w sytuacji, gdy mamy do obliczenia granicę f (x) · g (x),
typu [0 · ∞], możemy ją przekształcić do postaci f (x)
(typu [ 00 ]) lub
1
g (x)
g (x)
1
f (x)
(typu
∞
])
[∞
.
zima 2016/2017
8 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim xe x .
x→−∞
lim xe x =
x→−∞
zima 2016/2017
9 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim xe x .
x→−∞
h
i
lim xe x = (−∞) · 0 =
x→−∞
zima 2016/2017
9 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim xe x .
x→−∞
h
i
lim xe x = (−∞) · 0 =
x→−∞
lim
x
x→−∞ 1x
e
= lim
x→−∞
x
e −x
=
h −∞ i
∞
H
=
H
=
zima 2016/2017
9 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim xe x .
x→−∞
h
i
lim xe x = (−∞) · 0 =
x→−∞
H
=
lim
x→−∞
lim
x
x→−∞ 1x
e
= lim
x→−∞
x
e −x
=
h −∞ i
∞
H
=
1
=
−e −x
zima 2016/2017
9 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim xe x .
x→−∞
h
i
lim xe x = (−∞) · 0 =
x→−∞
H
=
lim
x
x→−∞ 1x
e
= lim
x→−∞
x
e −x
=
h −∞ i
∞
H
=
h 1 i
1
=
= 0.
x→−∞ −e −x
−∞
lim
zima 2016/2017
9 / 15
Reguła de L’Hospitala - symbole [1∞], [00] i [∞0]
Z kolei granice x→x
lim f (x)g (x) , które okazują się być typu [1∞ ], [00 ]
0
lim [ln f (x)g (x) ]
albo [∞0 ] możemy przekształcić do postaci e x→x0
lim [g (x)·ln f (x)]
następnie e x→x0
,a
i granica w wykładniku jest typu: [∞ · 0].
zima 2016/2017
10 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
lim x sin x =
x→0
zima 2016/2017
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
lim x sin x = 00 =
x→0
zima 2016/2017
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
lim x sin x = 00 = lim e ln x
x→0
x→0
sin x
=
zima 2016/2017
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
x→0
x→0
sin x
lim sin x ln x
= lim e sin x ln x = e x→0
x→0
zima 2016/2017
.
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
x→0
x→0
sin x
lim sin x ln x
x→0
.
Teraz obliczamy granicę wykładnika
lim sin x ln x =
x→0
zima 2016/2017
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
x→0
x→0
sin x
lim sin x ln x
x→0
.
h
i
lim sin x ln x = 0 · (−∞) =
x→0
zima 2016/2017
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
x→0
x→0
sin x
lim sin x ln x
x→0
.
h
i
lim sin x ln x = 0 · (−∞) = lim
x→0
x→0
sin x
1
ln x
=
zima 2016/2017
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
x→0
x→0
sin x
lim sin x ln x
x→0
.
h
i
x→0
=
h0i
0
x→0
sin x
1
ln x
=
H
=
zima 2016/2017
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
x→0
sin x
x→0
lim sin x ln x
x→0
.
h
i
x→0
=
h0i
0
x→0
H
cos x
x→0 − 12 ·
ln x
= lim
1
x
sin x
1
ln x
=
=
zima 2016/2017
11 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim x sin x .
x→0
h
i
x→0
sin x
x→0
lim sin x ln x
x→0
.
h
i
x→0
=
h0i
0
x→0
H
cos x
x→0 − 12 ·
ln x
= lim
1
x
sin x
1
ln x
=
= − lim cos x · ln2 x · x.
x→0
zima 2016/2017
11 / 15
Pomocniczo obliczmy:
lim ln2 x ·x =
x→0
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
lim ln2 x ·x = −∞·0 =
x→0
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim
x→0
x→0
ln2 x
1
x
H
=
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
ln2 x
1
x
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
1
x
=
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
ln2 x
1
x
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
1
x
= − lim
x→0
2 ln x
1
x
zima 2016/2017
=
12 / 15
h
i
x→0
x→0
=
ln2 x
1
x
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
1
x
= − lim
x→0
2 ln x
1
x
=
h −∞ i
∞
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
=
h −∞ i
∞
ln2 x
1
x
H
= − lim
x→0
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
2
x
− x12
1
x
= − lim
x→0
2 ln x
1
x
=
=
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
=
h −∞ i
∞
ln2 x
1
x
H
= − lim
x→0
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
2
x
− x12
1
x
= − lim
x→0
2 ln x
1
x
=
= − lim 2x =
x→0
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
=
h −∞ i
∞
ln2 x
1
x
H
= − lim
x→0
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
2
x
− x12
1
x
= − lim
x→0
2 ln x
1
x
=
= − lim 2x = 0.
x→0
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
=
h −∞ i
∞
ln2 x
1
x
H
= − lim
x→0
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
2
x
− x12
1
x
= − lim
x→0
2 ln x
1
x
=
= − lim 2x = 0.
x→0
Stąd:
lim sin x ln x = − lim cos x · ln2 x · x =
x→0
x→0
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
=
h −∞ i
∞
ln2 x
1
x
H
= − lim
x→0
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
2
x
− x12
1
x
= − lim
2 ln x
x→0
1
x
=
= − lim 2x = 0.
x→0
Stąd:
h
i
lim sin x ln x = − lim cos x · ln2 x · x = − 1 · 0 = 0,
x→0
x→0
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
=
h −∞ i
∞
ln2 x
1
x
2
x
H
= − lim
x→0
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
− x12
1
x
= − lim
2 ln x
x→0
1
x
=
= − lim 2x = 0.
x→0
Stąd:
h
i
x→0
x→0
i
lim sin x ln x
lim x sin x = e x→0
x→0
=
zima 2016/2017
12 / 15
h
i
x→0
x→0
=
h −∞ i
∞
ln2 x
1
x
2
x
H
= − lim
x→0
H
2 ln x ·
x→0
− x12
= lim
− x12
1
x
= − lim
2 ln x
x→0
1
x
=
= − lim 2x = 0.
x→0
Stąd:
h
i
x→0
x→0
i
lim sin x ln x
lim x sin x = e x→0
x→0
= e 0 = 1.
zima 2016/2017
12 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
x→∞
lim
x→∞
√
x
√
x
x
x=
zima 2016/2017
13 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
√
x
x→∞
lim
x→∞
√
x
x
1
x = lim x x =
x→∞
zima 2016/2017
13 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
x→∞
lim
x→∞
√
x
1
√
x
x
h
i
x = lim x x = ∞0 =
x→∞
zima 2016/2017
13 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
√
x
x→∞
lim
x→∞
√
x
1
x
h
i
lim
1
x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x
x→∞
ln x
.
lim
x→∞
1
ln x
ln x = x→∞
lim
=
x
x
zima 2016/2017
13 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
√
x
x→∞
lim
x→∞
√
x
1
x
h
i
lim
1
x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x
x→∞
ln x
.
lim
x→∞
h∞i
1
ln x
H
ln x = x→∞
lim
=
=
x
x
∞
zima 2016/2017
13 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
√
x
x→∞
lim
x→∞
√
x
1
x
h
i
lim
1
x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x
x→∞
ln x
.
1
h∞i
1
ln x
H
x
lim
=
lim ln x = x→∞
= x→∞
lim
=
x→∞ x
x
∞
1
zima 2016/2017
13 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
√
x
x→∞
lim
x→∞
√
x
1
x
h
i
lim
1
x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x
x→∞
ln x
.
1
h∞i
1
ln x
H
x
lim
=
lim ln x = x→∞
= x→∞
lim
= 0.
x→∞ x
x
∞
1
zima 2016/2017
13 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
√
x
x→∞
lim
x→∞
√
x
1
x
h
i
lim
1
x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x
x→∞
ln x
.
1
h∞i
1
ln x
H
x
lim
=
lim ln x = x→∞
= x→∞
lim
= 0.
x→∞ x
x
∞
1
Stąd
lim
x→∞
√
x
lim
1
x = e x→∞ x
ln x
=
zima 2016/2017
13 / 15
Zadanie
Obliczyć granicę:
lim
√
x
x→∞
lim
x→∞
√
x
1
x
h
i
lim
1
x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x
x→∞
ln x
.
1
h∞i
1
ln x
H
x
lim
=
lim ln x = x→∞
= x→∞
lim
= 0.
x→∞ x
x
∞
1
Stąd
lim
x→∞
√
x
lim
1
x = e x→∞ x
ln x
= e 0 = 1.
zima 2016/2017
13 / 15
Reguła de L’Hospitala - uwagi o możliwych błędach
Doświadczenie sprawdzianów i egzaminów wskazuje, że stosując
regułę de L’Hospitala, łatwo popełnić jeden z następujących błędów:
zima 2016/2017
14 / 15
Stosując regułę de L’Hospitala liczymy pochodną licznika i
mianownika osobno. Dlatego należy uważać, by nie pomylić
wzoru de L’Hospitala z wzorem na pochodną ilorazu.
zima 2016/2017
14 / 15
Stosując regułę de L’Hospitala liczymy pochodną licznika i
mianownika osobno. Dlatego należy uważać, by nie pomylić
wzoru de L’Hospitala z wzorem na pochodną ilorazu.
Zanim zastosuje się regułę de L’Hospitala, należy sprawdzić, czy
spełnione są jej założenia (czyli, jakie są granice licznika i
mianownika).
zima 2016/2017
14 / 15
Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego
zastosowania
Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej
granicy jak:
x 2 − 3x + 2 H
lim
=
x→−2
x2 − 4
zima 2016/2017
15 / 15
zastosowania
granicy jak:
x 2 − 3x + 2 H
2x − 3
lim
= lim
=
2
x→−2
x→−2
x −4
2x
zima 2016/2017
15 / 15
zastosowania
granicy jak:
x 2 − 3x + 2 H
2x − 3
−7
7
lim
= lim
=
= .
2
x→−2
x→−2
x −4
2x
−4
4
Jednak jednocześnie, wiemy, że:
x 2 − 3x + 2
=
x→−2
x2 − 4
lim
zima 2016/2017
15 / 15
zastosowania
granicy jak:
x 2 − 3x + 2 H
2x − 3
−7
7
lim
= lim
=
= .
2
x→−2
x→−2
x −4
2x
−4
4
x 2 − 3x + 2 h 12 i
=
,
x→−2
x2 − 4
0
więc ta granica nie istnieje (a jednostronne nie są skończone).
lim
zima 2016/2017
15 / 15
zastosowania
granicy jak:
x 2 − 3x + 2 H
2x − 3
−7
7
lim
= lim
=
= .
2
x→−2
x→−2
x −4
2x
−4
4
x 2 − 3x + 2 h 12 i
=
,
x→−2
x2 − 4
0
więc ta granica nie istnieje (a jednostronne nie są skończone). Skąd
ta rozbieżność?
lim
zima 2016/2017
15 / 15
zastosowania
granicy jak:
x 2 − 3x + 2 H
2x − 3
−7
7
lim
= lim
=
= .
2
x→−2
x→−2
x −4
2x
−4
4
x 2 − 3x + 2 h 12 i
=
,
x→−2
x2 − 4
0
więc ta granica nie istnieje (a jednostronne nie są skończone). Skąd
ta rozbieżność? Otóż pierwszy sposób jest niepoprawny, gdyż nie
wolno stosować reguły de L’Hospitala do granic typu [ 0a ], a taką
mamy w tym przypadku. Tak więc, przejście
2
H
= lim 2x−3
lim x x−3x+2
było nieprawidłowe.
2 −4
2x
lim
x→−2
x→−2
zima 2016/2017
15 / 15

4. Reguła de L`Hospitala

Transkrypt

Podobne dokumenty

Przykładowe zestawy zadań Zestaw 1 Analiza matematyczna 1

17.12.2010 r. Zadanie 1 (Twierdzenie o koniach wyścigowych

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Zadanie 1. (4 punkty) (a) Wyznaczyć obszar zbieżności punktowej i

imag0299.jpg (Oblicz granice...) Granica na górze fotki

taylor - odpowiedzi - E-SGH

Reguła de l`Hôspitala. Badanie przebiegu zmienności funkcji

ANALIZA MATEMATYCZNA. ĆWICZENIA Ciągi rzeczywiste i teoria

ANL1 1. Wykazać, że nie istnieją granice podwójne (a) lim sin(x2 +