PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem LATEX

PORTFOLIO
Próbki tekstu składanego systemem LATEX
Autor:
Anna Nowrot
Spis treści
1 Wstęp
1.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Warunki korzystania z usługi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Przykładowe próbki tekstu
2.1 Definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . .
2.2 Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Iloczyn tensorowy macierzy . . . . . .
2.2.2 Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . .
2.3 Układy równań . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Sumy uogólnione . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Algorytm mrówkowy . . . . . . . . . .
2.5.3 Brachistochrona . . . . . . . . . . . . .
2.6 Tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Struktura trójkątna . . . . . . . . . . .
2.6.2 Krzyżowanie chromosomów . . . . . .
2.6.3 Zestawienie danych testowych . . . . .
2.6.4 Domino matematyczne . . . . . . . . .
2.6.5 Siatka pomiarowa . . . . . . . . . . . .
2.7 Linear differential equations of second order .
2.8 Zestawy zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Algebra liniowa . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Potęgi i pierwiastki liczb rzeczywistych
2.8.3 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna .
2.9 Grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Wykresy funkcji trygonometrycznych .
2.9.2 Wykresy fynkcji parametrycznych . . .
2.9.3 Pole wektorowe . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
3
3
3
3
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
8
9
9
9
10
11
11
11
11
3 Kontakt
12
Literatura
13
2
1
1.1
Wstęp
Wprowadzenie
Prezentowana broszura została złożona w systemie LATEX - komputerowym składzie tekstów drukarskich, który pozwala tworzyć profesjonalne publikacje naukowe o wysokiej jakości
typograficznej. W szczególności zawiera bogatą ofertę składania tekstów matematycznych oraz
technicznych. W rozdziale drugim tego artykułu zamieszczono kilka przykładów tekstu technicznego, zawierającego skomplikowane wyrażenia matematyczne, tabele czy grafikę.
Ponadto system LATEX pozwala w łatwy sposób podzielić publikację na rozdziały, dołączyć
spis treści, bibliografię czy przypisy autora, które są tworzone dynamicznie za pomocą kilku
komend. Dzięki temu tekst staje się przejrzysty i bardziej czytelny dla odbiorcy, a autor artykułu
nie musi martwić się o prawidłową redakcję tych jakże ważnych części swojej publikacji.
1.2
Warunki korzystania z usługi
Oferta dotyczy wyłącznie złożenia wcześniej przygotowanego tekstu w systemie LATEX. Nie
zajmujemy się pisaniem prac zaliczeniowych.
Tekst źródłowy może być dostarczony w formacie .txt, .doc, .docx, .pdf, bądź jako skan
rękopisu. Klient otrzymuje plik w formacie .pdf. Za dodatkową opłatą, na życzenie klienta,
istnieje możliwość uzyskania także pliku w formacie .tex.
Przed przystąpieniem do wykonania usługi dokonywana jest indywidualna wycena, zależna
od stopnia skomplikowania projektu, jego objętości (ilość stron), jakości tekstu źródłowego
(łatwość jego odczytu), czy czasu przeznaczonego na realizację zlecenia.
Po szczegółowym omówieniu warunków umowy oraz zaakceptowaniu wyceny klient dokonuje przedpłaty w wysokości 50% uzgodnionej należności. Drugą połowę należy uregulować po
wykonaniu usługi.
Anna Nowrot
science4u.pl
3
2
2.1
Przykładowe próbki tekstu
Definicje i twierdzenia
Klasa tzw. najprostszych zadań rachunku wariacyjnego [1], określonych za pomocą całki:
J y(x) =
ZxB
F x, y(x), y 0 (x) dx
(1)
xA
oraz warunków brzegowych y(xA ) = yA , y(xB ) = yB .
Definicja 2.1 Jeżeli krzywe y1 (x) i y2 (x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne do n-tego
rzędu, to odległością n-tego rzędu między tymi krzywymi na przedziale [a, b] nazywa się następującą, nieujemną liczbę ρn :
(k)
(k)
ρn = ρn y1 (x), y2 (x) = max max y1 (x) − y2 (x) .
06k6n a6x6b
Definicja 2.2 Poprzez ε-otoczenie n-tego rzędu funkcji y ∈ C n (a, b) nazywamy zbiór wszystkich
funkcji ȳ ∈ C n (a, b), spełniających nierówność:
ρn y, ȳ 6 ε ,
gdzie ε > 0.
Definicja 2.3 Funkcjonał J y(x) osiąga na pewnej krzywej y0 (x) słabe maksimum (minimum)
lokalne, jeżeli na wszystkich krzywych dopuszczalnych y(x), leżacych w pewnym ε-otoczeniu
pierwszego rzędu krzywej y0 (x), zachodzi nierówność:
J y(x) 6 J y0 (x)
J y(x) > J y0 (x) .
Twierdzenie 2.1 Warunkiem koniecznym na to, aby funkcjonał (1), określony w zbiorze funkcji y = y(x), xA 6 x 6 xB , mających ciągłą pochodną i spełniających warunki y(xA ) = yA ,
y(xB ) = yB , osiągał dla danej funkcji y(x) słabe ekstremum jest, aby funkcja F spełniała tzw.
równanie Eulera:
d ∂F
∂F
−
= 0.
(2)
∂y
dx ∂y 0
2.2
2.2.1
Macierze
Iloczyn tensorowy macierzy


1
1
 1 −1

 −1
1
−1 −1
Anna Nowrot



−1



1  N
1 0

=

1 
0 1


1




1
0
1
0 −1
0
0
1
0
1
0 −1 

1
0 −1
0
1
0 

0
1
0 −1
0
1 

−1
0
1
0
1
0 

0 −1
0
1
0
1 

−1
0 −1
0
1
0 
0 −1
0 −1
0
1
science4u.pl
4
2.2.2
Macierz odwrotna
Przykład 45.Za pomocąoperacji elementarnych na kolumnach znaleźć macierz odwrotną
3 1 4

do macierzy A= 8 3 9 .
9 4 11
Rozwiązanie. Obliczenia mogą tu przebiegać następująco:




3 1 4 1 0 0
1 3 4 0 1 0
 8 3 9 0 1 0  K1 ↔ K2  3 8 9 1 0 0 
−−−−−−→
9 4 11 0 0 1
4 9 11 0 0 1

1
0
1
0
0 0
K2 → K2 − 3K1 
3 −1 −3 1 −3 −4 
K2 → K3 − 4K1
0
1
−−−−−−−−−−−−−→ 4 −3 −5 0



1 0
0 0 −1
0
3 −4 
K2 → −K2  3 1 −3 1
−−−−−−−→
4 3 −5 0
0
1


1 0 0 3 −1 −3
K1 → K1 − 3K2 
0 1 0 −8
3
5 
K3 → K3 + 3K2
0
1
−−−−−−−−−−−−−→ −5 3 4 0

1 0 0
3 −1 − 34
1 
5 
3
K3 → K3  0 1 0 −8
4 
4
1
−−−−−−−→ −5 3 1
0
0
4


5
1 0 0 − 34
− 34
4
K1 → K1 + 5K3  0 1 0 − 7 − 3
5 

4
4
4 
K2 → K2 − 3K3
5
3
1
0
0
1
−
−−−−−−−−−−−−−→
4
4
4



5
− 43
− 43   −3
4
5 −3
 7
3
5  1 
−7 −3
5  .
=  −4 −4
4 
4
5
1
5 −3
1
− 34
4
4

Zatem A−1
198. Wskazać macierz odwrotną do danej macierzy elementarnej:






1
0 0
0 1 0
1 0 0
a) 0 −1 0 ;
b) 1 0 0 ;
c) 0 1 0 ;
0
0 1
0 0 1
0 0 7






0 0 1
1 4 0
1 0 0
d) 0 1 0 ;
e) 0 1 0 ;
f) 0 1 0 .
1 0 0
0 0 1
−5 0 1
Anna Nowrot
science4u.pl
5
2.3
Układy równań








kx = αax + βbx + . . . + δdx




ky = αay + βby + . . . + δdy



 k = αa + βb + . . . + δd
z
z
z
z
2.4






−
d
dt
∂F
∂x0
=0
∂F
∂y
+ λ(t) ∂G
−
∂y
d
dt
∂F
∂y 0
=0
∂F
∂z
+ λ(t) ∂G
−
∂z
d
dt
∂F
∂z 0
=0
∂F
∂x
+
λ(t) ∂G
∂x
Granice

x(x − 1)
x
x2 − x
= lim+
= lim+
2
x→3 (x − 1)(x − 3)
x→3 x − 3
x→3
x→3 x − 4x + 3
h
i
n
n 2
n
·2
lim 1 + n2 = lim 1 + n2 2 = lim 1 + n2 2 = e2
lim+ f (x) = lim+
n→∞
n→∞
2.5
2.5.1

3

0+
= +∞
n→∞
Wzory
Sumy uogólnione
∞
[
An = A1 ∪
∞
[
n=2
n=1
2.5.2


"
An \
n−1
[
!#
Ai
(3)
i=1
Algorytm mrówkowy
Ilość feromonu τijk+1 w punkcie (i, j), po operacji aktualizacji śladu feromonowego1 , można
wyznaczyć z poniższych wzorów:
τ̆ijk+1 = max τijk · ρ, 1
(
k+1
Lk
, (i, j) ∈ Lk
max 1, min 255, τ̆ij + µij
τijk+1 =
τ̆ijk+1
, (i, j) ∈
/ Lk
k
µLij
gdzie:
τijk
ρ
ξ
lk
lstraight
2.5.3
-
= n·ξ·
lk
lstraight
,
ilość feromonu w punkcie (i, j), w iteracji k;
współczynnik określający szybkość parowania feromonu;
wpółczynnik określający ilosć feromonu nanoszonego na trasę;
długość trasy Lk ;
długość trasy „w linii prostej” z A do B.
Brachistochrona
q
q
ZxB 1 + y 0 (x)2
ZπR 1 + y 0 (x)2
1
p
T = q
dx
dx = √2g
y
−
y(x)
A
2g yA − y(x)
xA
0
q
2
n+1
X
1 + yi −yhi−1
p
JB (y1 , y2 , . . . , yn ) =
·h
2g(y
−
y
)
A
i
i=1
(4)
(5)
1
Feromon pozostawiony przez mrówkę wraz z upływem czasu paruje, stąd potrzebna jest ciągła aktualizacja
jego ilości, pozostałej na trasie.
Anna Nowrot
science4u.pl
6
2.6
2.6.1
Tabele
Struktura trójkątna
1
1
2
15
11
1
28
22
10
6
15
9
21
13
21
16
1
28
18
1
10
7
15
9
21
11
28
15
1
15
11
21
13
28
15
1
21
16
28
18
1
28
22
1
Krzyżowanie chromosomów
(1 1 0 0 0 1 0 0)
(1 0 0 1 1 1 0 1)
(0 0 1 0 0 0 1 1)
(1 1 0 0 0 1 0 0)
(1 1 0 1 0 1 0 1)
(0 1 0 1 1 1 1 0)
2.6.3
1
6
4
10
7
1
5
2.6.2
6
4
1
4
7 1
3
2
1
3
6
1
(1 1 0 1 1 1 0 1)
(1 0 0 0 0 1 0 0)
−→
(0 0 0 0 0 1 0 0)
(1 1 1 0 0 0 1 1)
(1 1 0 1 0 1 1 0)
(0 1 0 1 1 1 0 1)
Zestawienie danych testowych
Czas działania
algorytmu
w sekundach
n
10
20
Anna Nowrot
Liczba
iteracji
10
20
40
10
20
40
10
20
40
10
20
40
10
20
40
Ilość
mrówek
1
10
20
10
20
max
0,436
0,977
4,974
7,707
3,717
5,949
4,687
10,456
14,768
12,159
22,344
42,558
27,377
48,233
86,998
Długość
uzyskanej trasy
w 5 uruchomieniach
min
avg
max
min
0,299 0,369 106,829 47,969
0,511 0,743 148,892 46,285
1,368 2,687 103,565 45,659
1,775 4,248
33,439 29,682
1,223 2,777
33,391 28,471
3,972 5,239
30,169 27,847
2,064 3,630
31,063 28,460
3,242 5,922
29,391 28,126
14,102 14,463
29,635 27,360
8,325 10,152
39,007 31,570
19,479 20,801
38,722 31,281
36,554 38,950
35,292 29,666
19,693 24,082
34,252 30,427
38,623 43,746
37,469 32,801
76,689 80,489
31,658 30,263
avg
74,237
86,479
64,520
31,839
30,325
28,748
28,983
28,758
28,477
35,842
35,004
32,390
32,532
34,233
30,804
science4u.pl
7
2.6.4
Domino matematyczne
− log2 8
e0
log7 49 + log4 64
−20 + 1
log 2 + log 5
−22
ln 1
(−3) · 1 23
q
1 79 · 1,5
log0,5 32
51 + 50
log3
1
81
log4 48 − log4 3
√
−38
log5 0,04
√ 4
2
log√3 9
2·
3 log 5 + 12 log 64
−2 log5
2.6.5
q
2 41
(−1)11
√
5
√
3
125
log3
1
27
· log 0,01
3 log0,25 16
(log2 20 − log2 5)3
√
log7 7 7
−22 − 2
−(−2)3
3·
q
1
4
− 31 − (−3)
√
3
8 log8 2
−27
Siatka pomiarowa
16 ↔ (0, 4) 17 ↔ (1, 4) 18 ↔ (2, 4) 19 ↔ (3, 4)
12 ↔ (0, 3) 13 ↔ (1, 3) 14 ↔ (2, 3) 15 ↔ (3, 3)
Anna Nowrot
8 ↔ (0, 2)
9 ↔ (1, 2) 10 ↔ (2, 2) 11 ↔ (3, 2)
4 ↔ (0, 1)
5 ↔ (1, 1)
6 ↔ (2, 1)
7 ↔ (3, 1)
0 ↔ (0, 0)
1 ↔ (1, 0)
2 ↔ (2, 0)
3 ↔ (3, 0)
science4u.pl
8
2.7
Linear differential equations of second order
Problem 8.
a)
d2 y
+ y = cos(t),
dt2
y(0) = 0,
dy
t=0 = 0
dt
According to the Problem 7 question b) the solution is:
y(t) = B1 cos(t) + B2 sin(t) +
1
cos(ωt)
1 − ω2
Consider the conditions:


1
 y(0) = 0

B1 +
=0
=⇒
1 − ω2
 dy t=0 = 0

B2 = 0
dt
Therefore:
=⇒


B1 = −

B2 = 0
1
1 − ω2
1
1
cos(t) +
cos(ωt)
2
1−ω
1 − ω2
1
cos(t)
−
cos(ωt)
=−
1 − ω2
!
!#
"
1
1
1
=−
t + ωt · sin
t − ωt
−2 sin
1 − ω2
2
2
!
!
1
1
2
· sin
t 1+ω
· sin
t 1−ω
=
1 − ω2
2
2
y(t) = −
b) Consider the solution:
2
y(t) =
· sin
1 − ω2
1
t 1+ω
2
!
· sin
!
1
t 1−ω
2
The function sin(x) is limited by the values of the interval [-1,1], so the product:
sin
1
t 1+ω
2
!
· sin
!
1
t 1−ω
2
is limited too. Then the amplitude of function y(t) strongly depends on factor
2
.
1 − ω2
Consider ω > 0.
2
>1
1 − ω2
Therefore the amplitude increases when ω ∈ (0, 1) increases.
1◦ ω ∈ (0, 1) =⇒ 1 − ω 2 ∈ (0, 1) =⇒
2
<1
1 − ω2
Therefore the amplitude decreases when ω > 1 increases.
2◦ ω > 1 =⇒
Anna Nowrot
science4u.pl
9
2.8
2.8.1
Zestawy zadań
Algebra liniowa
248. Przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R2 określone jest wzorem:
ϕ([x1 , x2 , x3 ]) = [5x1 − 4x2 + 3x3 , 9x1 − 7x2 + 4x3 ]
Wyznaczyć jedną z baz przestrzeni kerϕ.
249. Znaleźć po jednej bazie jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R4 → R3 , którego
wartość w dowolnym punkcie [x1 , x2 , x3 , x4 ] ∈ R4 jest równa:
[x1 + 5x2 + 4x3 + x4 , 3x1 + x2 + 2x3 + x4 , 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 ];
[x1 − x2 + x3 + x4 , x1 + 5x2 − 4x3 + 3x4 , 3x2 + 4x3 + x4 ];
[x1 − 4x2 + 5x3 + 3x4 , x1 − 4x2 + 6x3 + 5x4 , x1 − 4x2 + 7x3 + 7x4 ];
[x1 − 2x2 + 4x3 − 3x4 , x1 − 2x2 + 4x3 − 3x4 , 2x1 − 4x2 + 8x3 − 6x4 ];
[2x1 − 4x2 + 3x4 , 4x1 − 8x2 + 5x4 , 5x1 − 10x2 + 8x4 ].
a)
b)
c)
d)
e)
250. Zbudować tabelki działań w podanej przestrzeni ilorazowej:
a)
b)
c)
d)
Z32 /W ,
Z42 /W ,
Z23 /W ,
Z32 /W ,
gdzie
gdzie
gdzie
gdzie
W
W
W
W
= {[0, 0, 0], [1, 0, 0]}
=lin([1, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 1])
=lin([1, 2])
=lin([1, 1, 0], [0, 0, 1])
251. Opisać warstwy przestrzeni wektorowej V względem jej podprzestrzeni W . Korzystając
z tego opisu, udowodnić związek V /W ∼
= V 0 , jeśli:
∞
: a2 = 0}, V 0 = R;
a) V = R∞ , W = {(an )∞
n=1 ∈ R
∞
: a1 = 4a2 = 5a3 }, V 0 = R2 ;
b) V = R∞ , W = {(an )∞
n=1 ∈ R
n
o
R1
c) V = Ch0,1i , W = f ∈ Ch0,1i : f (x)dx = 0 , V 0 = R;
0
n
o
V
d) V = C(0,∞) , W = f ∈ C(0,∞) :
f (n) = 0 , V 0 = R∞ ;
n∈N
e) V = M(2, R), W = {[aij ] ∈ M(2, R) : a12 = a21 = 0}, V 0 = R2 ;
f) V = M(n, K), W = {A ∈ M(n, K) : trA = 0}, V 0 = K.
2.8.2
Potęgi i pierwiastki liczb rzeczywistych
Zadania zamknięte.
4
3
3
1. Jeżeli a = 612 : 64 , b = (63 ) , c = (6 · 62 ) i d = (64 : 62 ) , to
A) d < a < c < b,
B) d < a < b < c,
2. Która z podanych liczb jest największa?
√
3
1
−3
A) 27 · 9 3 ,
B)
,
81
C) a < d < c < b,
3
C) (9−1 ) ,
D) a < d < b < c.
D)
1
35 · 5
9
! 21
.
√
√
√
√
3. Dla a = 2 3 − 5 i b = 8 − 2 6 wartość wyrażenia a2 − b 2 wynosi:
√
√
√
√
A) 33 − 24 3,
B) 33 − 16 3,
C) −17 + 4 3,
D) −17 − 16 3.
Anna Nowrot
science4u.pl
10
Zadania otwarte.
4. Porównaj liczby x i y.
"
x=
2
−
3
#−2
−3
−3
+3·2
−2
−2 −3
1
1
3
3
+
· +
.
y=
2
3
9
5
1
3
+3·8 ,
5. Uporządkuj rosnąco liczby:
√
√
−0, 729 + 3 0, 000125 √
q
a=
· 196 ,
23
21 − 11 · 1 121
r
3 p
3
b = −5 · 3 + 0, 09 + 23 ,
8
q
√
6
−5 · 3 −0, 216 + 4 : 3 25
· (−1, 5)3 + 9 12
√
c=
.
1
0, 000225 · (−4)3 + 8 − √625
6. Co jest większe,
2
3
1, 69 −
√
3
liczby x, czy 66% liczby y?
r
x=
2.8.3
q
q
√
√
4 · 9 · 81 +
144 + 13 ,
r
y =5·
3
−1
p
61
1 √
3
+ 30 · 1, 21 − 2 · 343 .
64
4
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
1. Rozwiąż nierówności:
a) 2 log 1 x 6 log 1 (5x − 6) ,
3
3
b) logx (x + 2) < 2 ,
c) log√x (5x − 2) > 4 + log√x 2 .
2. Rozwiąż równania i nierówności.
a)
2x = 23x−4
c)
4x = 2x
e)
g)
x2 +8
b)
2 +1
d)
1 3x
3
= 9
x+2
3
+ 3x = 30
f)
h)
6−2x
1 −5x
< 13
3
√ 4x
1 −x−1
>
5
5
−3x
−x+1
0, 25
6 0, 125
x+2
2
+ 2x−1 > 18
3. Przyjmując, że a = log3 10 oraz b = log3 5, wyraź za pomocą a i b wartość logarytmu:
a) log3 50,
b) log3 500,
4. Wykaż, że x = log3 22 + log3 (4, 5)2 − 2 log5
Anna Nowrot
c) log3 250,
d) log3 2.
√
5 jest liczbą całkowitą.
science4u.pl
11
2.9
2.9.1
Grafika
Wykresy funkcji trygonometrycznych
sin x
2.9.2
Wykresy fynkcji parametrycznych
2.9.3
Pole wektorowe
Anna Nowrot
cos x
science4u.pl
12
3
Kontakt
Usługi Edukacyjne Science4U
Anna Nowrot
ul. Zbożowa 41/6
40-657 Katowice
mobile: +48 600 189 663
e-mail: [email protected]
website: www.science4u.pl
facebook: MatmaScience4U
Anna Nowrot
science4u.pl
13
Literatura
[1] R. Grzymkowski, E. Hetmaniok, D.Słota: Wykłady z modelowania matematycznego. Wybrane metody obliczeniowe w rachunku wariacyjnym oraz w równaniach różniczkowych
i całkowych, Pracownia Komputerowa Jacka Skalmierskiego, Gliwice 2002.
Anna Nowrot
science4u.pl