RACHUNEK PRAWDOPODOBIE´NSTWA, II r. INF, PPT. Lista zadan

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, II r. INF, PPT.
Lista zadań nr 9
2016/17
1. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na odcinku [a, b]. Obliczyć EX i
V ar(X).
2. Zmienna losowa X ma rozklad normalny N (m, ). Przypomnieć z wykladu
dowód na to, że EX = m.
3. Zmienna losowa X ma rozklad normalny N (m, ). Korzystaja̧c ze wzoru na
E'(X), udowodnić, że V ar(X) = 2 .
4. Gȩstość zmiennej losowej X o rozkladzie Cauchy’ego dana jest wzorem
1 1
.
⇡ 1 + t2
fX (x) =
Obliczyć E(X + ) i E(X ).
5. Z ogólnego wzoru na E'(X) pokazać, że definicja ogólna wartości oczekiwanej zmiennej losowej na skończonej przestrzeni probabilistycznej pokrywa siȩ
z definicja̧ dyskretna̧ z pierwszej czȩści wykladu.
6. Rzucamy losowo punkt na odcinek [0, 2], tak, że prawdopodobieństwo, że
punkt wpadnie w odcinek [a, b] ✓ [0, 2] jest wprost proporcjonalne do dlugości
b a odcinka [a, b]. Zdarzeniami elementarnymi sa̧ punkty x 2 [0, 1] (interpretowane jako miejsce upadku rzucanego punktu). Niech zmienne losowe X, Y
dane bȩda̧ wzorami X(x) = x, Y (x) = 1 x. Obliczyć dystrybuanty i gȩstości
tych zmiennych losowych.
7. W zadaniu 6 obliczyć V ar(X). Czy trzeba osobno obliczać V ar(Y )?
8. Rzucamy losowo punkt na kwadrat [0, 1]2 ,tak, że prawdopodobieństwo, że
punkt wpadnie w obszar U ✓ [0, 1]2 jest wprost proporcjonalne do pola obszaru U . Zdarzeniami elementarnymi sa̧ punkty (x, y) 2 [0, 1]2 (interpretowane
jako miejsce upadku rzucanego punktu). Niech zmienna losowa X dana bȩdzie
wzorem X(x, y) = x y. Podać dystrybuantȩ i gȩstość tej zmiennej losowej.
9. W zadaniu 8 obliczyć EX i V ar(X).
10. W zadaniu 8 zasta̧pić kwadrat kolem o środku w (0, 0) i promieniu r = 1.
Zmienna losowa niech dana teraz bȩdzie wzorem X(x, y) = (x2 + y 2 )1/2 . Podać
dystrybuantȩ i gȩstość tej zmiennej losowej.
1