Przykładowe zadania na sprawdzian z matematyki dla I roku

Przyk÷
adowe zadania na sprawdzian z matematyki dla I roku kierunku BHP
1. Dana jest macierz A typu m
n.
(a) Podać de…nicje¾ rzedu
¾ macierzy A.
(b) Niech Ax = b bedzie
¾
uk÷
adem równań liniowych, gdzie b 2 Rm . Podać treść twierdzenia Kroneckera-Capellego.
(c) Wyznaczyć wszystkie rozwiazania
¾
uk÷
adu równań x + 2y + 3z = 1; 2x + 4y + 5z = 1.
2. Niechy fxn g1
¾
liczbowym.
n=1 bedzie ciagiem
(a) Podać de…nicje¾ granicy ciagu
¾ xn .
(b) Obliczyć granice¾ ciagu
¾ xn =
n2 2n+2
3n2 +1
(c) Obliczyć granice¾ ciagu
¾ xn = (1 + n2 )n
3. Niech f : R ! R.
(a) Podać de…nicje¾ granicy funkcji f w punkcie x0 2 R.
(b) Obliczyć granice¾ limx!1
x2 1
x+2
(c) Obliczyć granice¾ limx!0
tg 2x
3x
4. Niech f : R ! R i x0 2 R.
(a) Podać de…nicje¾ pochodnej funkcji f w punkcie x0 .
(b) Czy funkcja f ciag÷
¾ a w punkcie x0 jest róz·niczkowalna w x0 ? Odpowiedź uzasadnić.
(c) Obliczyć pochodna¾ funkcji f określonej równościa¾ f (x) = x2 sin(3x
) + ln(x
2
).