Równanie wielomianowe - przykłady.

Równanie wielomianowe - przykłady.
Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci:
W(x)=0, gdzie W(x)=anxn + an-1 xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 (an0, xR).
Aby rozwiązać równanie wielomianowe, należy stosować metody rozkładu wielomianu na czynniki:
1. Grupowanie wyrazów
2. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
3. Stosowanie wzorów skróconego mnożenia
4. Stosowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego
5. Skorzystanie z własności iloczynu: ab=0 a=0 lub b=0
PRZYKŁADY
1. Rozwiąż równanie: 8x3-2x2 +4x-1=0.
o Grupujemy wyrazy: (8x3-2x2)+(4x-1)=0.
o Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: 2x2(4x-1)+1(4x-1)=0.
o Ponownie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: (4x-1)(2x2+1)=0.
o Korzystamy z własności iloczynu: 4x-1=0 lub 2x2 +1=0.
o Rozwiązujemy otrzymane równania:
4x-1=0 /+1
2x2+1=0 /-1
4x=1 /:4
2x2=-1 /:2
x=
x2 = − - równanie sprzeczne
o Zapisujemy odpowiedź: Rozwiązaniem danego równania jest liczba .
2. Rozwiąż równanie: 3x3+x2-6x-2=0.
o Grupujemy wyrazy: (3x3-6x)+(x2-2)=0.
o Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: 3x(x2-2)+1(x2-2)=0.
o Ponownie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: (x2-2)(3x+1)=0.
o Korzystamy z własności iloczynu: x2-2=0 lub 3x+1=0.
o Rozwiązujemy otrzymane równania:
x2-2=0 /+2
3x+1=0/-1
x2=2
3x =-1 /:3
x=−√2 lub x=√2
x= −
o Zapisujemy odpowiedź: Rozwiązaniem danego równania są liczby: −√2, √2, − .
3. Rozwiąż równanie: 2x3-12x2 +18x=0.
o Upraszczamy równanie:
2x3-12x2+18x=0 /:2
x3-6x2+9x=0
o Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: x(x2-6x+9)=0.
o Korzystamy z własności iloczynu: x=0 lub x2-6x+9=0.
o Rozwiązujemy otrzymane równania:
x=0 x2-6x+9=0
I sposób.
Stosujemy wzór skróconego mnożenia: (a-b)2=a2-2ab+b2
x2-6x+9=(x-3)2
(x-3)2=0
x-3=0 /+3
x=3
II sposób.
Stosujemy algorytm rozwiązywania równania kwadratowego:
a=1, b=-6, c=9
=b2 -4ac
=(-6)2 - 419
=36-36
=0
−
6
=
= =3
2
2
o Zapisujemy odpowiedź: Rozwiązaniem danego równania są liczby:0,3.
4. Rozwiąż równanie: 6x4-x2-2=0.
o Zauważamy, że potęgi są parzyste i x4=(x2)2.
o Stosujemy podstawienie x2=t.
o Po podstawieniu otrzymujemy równanie kwadratowe: 6t2-t-2=0.
o Rozwiązujemy otrzymane równanie:
Stosujemy algorytm rozwiązywania równania kwadratowego:
a=6, b=-1, c=-2
=b2 -4ac
=(-1)2 - 46(-2)
=1+48
=49
− − √∆ −(−1) − √49 1 − 7 −6
1
=
=
=
=
=−
2
2∙6
12
12
2
− + √∆ −(−1) + √49 1 + 7
8
2
=
=
=
=
=
2
2∙6
12
12 3
o Wracamy do podstawienia:
x2 = - - równanie sprzeczne, lub
x2 = czyli x = −
√
lub x =
√
o Zapisujemy odpowiedź: Rozwiązaniem danego równania są liczby: −
√
,
√