Lista 4

MATEMATYKA - BIOTECHNOLOGIA
Lista Zadań Nr
4
20 listopada 2013
http://www.math.uni.wroc.pl/˜dpilarcz
Ciągłość funkcji
Zadanie 44. Zbadaj ciągłość następujących funkcji
a)

 x2 ,
0 6 x 6 1,
f (x) = 
2
2 − x , 1 < x 6 2,

cos πx ,
f (x) = 
b)
|x| 6 1,
|x − 1|, |x| > 1.
2
Zadanie 45. Dobierz parametry a, b ∈ IR tak, aby podane funkcje były ciągłe
a)

bx,
x < π,
f (x) = sin x

, x > π,
ax
f (x) =
b)

bx + 3,
x < 1,
2x3 + x + a, x > 1.
Pochodna funkcji
Zadanie 46. Oblicz pochodne następujących funkcji:
√
5
9x7 + 3x−5 , −3x−11 ,
3
,
3x − 2
5x5 + x − 2
,
x2 + 7
√
√
√
4
2
3
2 − x)(4 4 x3 + 3 x5 + x2 ),
√ (x4 − 8),
,
(2
x
3
3
x
x x
√
3
8x3
x
x sin x
ex + x3
√
,
,
2x
+
cos
x,
.
x3 + x − 1
1 − 3 x 1 + tg x
3x3 ex + 2
x2 +
Zadanie 47. Wyznacz punkty krytyczne funkcji
x2 (x − 5)3 ,
x
,
(2x + 5)2
√
x2 − 8x + 20.
Zadanie 48. Oblicz pochodne następujących funkcji używając wzoru na pochodną funkcji złożonej:
√
(x3 − 7)4
3x(x2 + 1)3 ,
, ln(x4 + x), 3x 2x2 + 3, sin(2x2 − 4).
3
2x
Zadanie 49. Korzystając z reguły de L’Hospitala, obliczyć granice funkcji:
a)
c)
ln(1 + x)
x→0
x
1
lim x(e x − 1)
lim
e)
lim+
d)
x→−∞
π
ln(1 − x)
lim− cos
x→1
2x
ln x
x→0 ln sin x
lim+ xsin x
b)
x→0
1
1
− 2.
x→0 x sin x
x
f)
lim
Zadanie 50. Niech f (x) = x2 + x. Znajdź wpółczynnik kierunkowy prostej łączącej punkty
(1, f (1)) i (3, f (3)). Napisz równanie stycznej w punkcie (1, f (1)).
Zadanie 51. Ilość bakterii y w pewnej kolonii po czasie x zadana jest przybliżoną formułą
6
y(x) = (3 × 10 ) 1 −
Oblicz y 0 (x).
1
!
1
2
(x2 − 1) 3
.
Zadanie 52. Pewne jezioro jest zanieczyszczone bakteriologicznie. Po zastosowaniu pewnych
środków odkażających zaobserwowano, że koncentracja bakterii w wodzie (mierzona liczbą bakterii
w 1 cm3 ) po czasie t wynosi
C(t) = 500(8 − t)2 .
Oblicz C 0 (t), C 0 (1), C 0 (6).
Zadanie 53. Wyznacz przedziały malenia i wzrostu oraz lokalne ekstrema dla następujących
funkcji:
√
4
x2
x−1
,
x+ ,
x4 (x − 6)2 ,
2 x − x (x > 0).
x+2
x
x−2
Zadanie 54. Po zastosowaniu zastrzyku domięśniowego, stężenie lekarstwa w krwioobiegu pacjenta po czasie t opisane jest wzorem
C(t) = 0, 16 ·
t2
t
+ 4t + 4
0 < t < 12.
Znajdź wartości krytyczne funkcji C = C(t) oraz przedziały, gdzie stężenie rośnie i gdzie maleje.
Druga pochodna funcji
Zadanie 55. Znajdź lokalne minima i maksima oraz punkty przegięcia następujących funkcji:
x3 − 6x2 + 16,
(2 − x)3 + 1,
x3 − 12x,
1
,
2
x + 12
x
,
2
x + 12
x2
.
x2 + 12
Zadanie 56. Do kolonii bakterii wprowadzono pożywkę stymulującą ich rozmnażanie. Ilość bakterii w czasie t zadana jest wzorem
N (t) = 1000 + 30t2 − t3 ,
0 ¬ t ¬ 20.
Kiedy prędkość wzrostu populacji N 0 (t) rośnie, a kiedy maleje? Znajdź punkty krytyczne N
i określ ich rodzaj. Naszkicuj wykresy N i N 0 w tym samym układzie współrzędnych. Kiedy
prędkość wzrostu populacji jest największa?
Globalne minima i maksima
Zadanie 57. Znajdź globalne minimum i maksimum podanych funkcji w odcinkach:
a) f (x) = (x − 1)(x − 5)3 + 1,
b) f (x) = x4 − 8x2 + 16,
[0, 3], [1, 7], [3, 6].
[−1, 3], [0, 2], [−3, 4].
Zadanie 58. Do wody w pewnym miejskim kąpielisku systematycznie dodawane są środki chemiczne, aby kontrolować masowy rozwój bakterii w wodzie. Po t dniach od momentu odkażania
koncentracja bakterii w 1 cm3 wody zadana jest wzorem
C(t) = 30t2 − 240t + 500,
0 ¬ t ¬ 8.
Ile dni po odkażaniu koncentacja bakterii jest najmniejsza i ile wynosi?
Zadanie 59. Wiadomo z eksperymentów, że wysokość (w centymetrach) pewnej rośliny po upływie t miesięcy opisana jest w przybliżeniu wzorem
1
H(t) = 40t 2 − 20t,
0 6 t 6 2.
Ile czasu musi upłynąć, aby ta roślina osiągnęła maksymalną wysokość? Jaka to wysokość?
Zadanie 60. Dwa zakłady przemysłowe A1 i A2 położone są w odległości 10 km od siebie i
emitują zapylenie do atmosfery. Zapylenie (liczone w ilości cząsteczek na milion) maleje odwrotnie
2
proporcjonalnie do kwadratu odległości od źródła. Dodatkowo, zakład A1 emituje 8 razy więcej
zapylenia niż zakład A2 . Wykonaj prosty rysunej i wyjaśnij dlaczego gęstość zapylenia w punkcie
x pomiedzy tymi zakładami wyraża się wzorem
C(x) =
8k
k
+
,
2
x
(10 − x)2
0, 5 6 x 6 9, 5
k > 0.
Jak daleko od A1 gęstość zapylenia jest najmniejsza i ile ona wynosi?
Zadanie 61. Badania socjologiczne pokazują, że poparcie dla nowego rządu w pewnym kraju
(liczone w milionach osób) wzrasta według wzoru
N (t) = 30 + 12t2 − t3
gdzie czas t jest liczony w latach. Kiedy poparcie rządu jest największe?
Zadanie 62. Jakiej wielkości kwadraty należy wyciąć na rogach prostokątnego arkusza kartonu
o wymiarach a = 30 cm, b = 24 cm, aby pojemność otrzymanego po sklejeniu pudełka była
największa?
Zadanie 63. Wydajność tlenku azotu NO z mieszaniny a% tlenu i (100 − a)% azotu w temperaturze 1600◦ C i pod ciśnieniem normalnym określa wzór
x(a) =
q
Ka(100 − a) − 25K,
gdzie K jest stałą równowagi reakcji dla danej temperatury i danego ciśnienia. Oblicz, przy jakiej
procentowej zawartości tlenu w mieszaninie wydajność tlenku azotu będzie maksymalna.
Wykres funkcji
Zadanie 64. Znajdź minima globalne dla x > 0 dla następujących funkcji
ex
,
x
1 − 5 ln x
.
x
Zadanie 65. Znajdź maksima globalne dla x > 0 dla następujących funkcji
x2
,
ex
1 + 2 ln x
.
x
Zadanie 66. Zbadaj przebieg zmienności następujących funkcji i narysuj ich wykresy
2x6 − 3x5 ,
1
,
1 + x2
x2
x
,
−4
ln x
,
x
1 2
e− 2 x .
Zadanie 67. Oblicz pochodne funkcji:
ln(3x2 − 1),
10x
2 +x
2
81−2x .
,
Zadanie 68. Pojedyncza komórka bakterii cholery dzieli się co pół godziny. Kolonia licząca 5000
komórek bakterii po t godzinach liczy A(t) osobników, gdzie
A(t) = 5000 · 22t .
Oblicz A0 (t), A0 (1), A0 (5) i odpowiednio zinterpretuj.
Zadanie 69. W pewnej firmie składającej komputery przeciętna osoba jest w stanie złożyć
N (t) = 10 1 − e−0,4t
komputerów dziennie po t dniach przyuczania do tej pracy. Jaka jest prędkość uczenia się pierwszego dnia, a jaka piątego?
Dominika P ilarczyk
3