Analiza Matematyczna
Transkrypt
Analiza Matematyczna
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz podaną granicę ciągu 2 4 6 2n2 − 4n + + + . . . + n4 + 4n2 n4 + 4n2 n4 + 4n2 n4 + 4n2 (a) lim n→∞ √ ln n (b) n→∞ lim 9n + 2 1 − n 2 n+2 (c) n→∞ lim 2 n−2 2n + 4 !2n−1 n−2 4n n (d) n→∞ lim 16 2n + 333 √ √ (e) n→∞ lim ( n − n − nk ) w zależności od k < 1 n+13 (f) lim tg n→∞ π 4 + tg (g) lim 3n − n→∞ π n q 9n2 + narctg(n!) n + arctgn n − arctgn (h) lim n→∞ (i) lim n→∞ 2 sin n 1 sin2 n !ln 2n 1 −3n 2 + 3−2n+3 2 3n+4 (j) lim (1 + logn 2)log4 (2n) n→∞ 1 2 1+ctg n (k) lim 1 − sin n→∞ n √ (l) n→∞ lim n2 + nα + αn − n w zależności od α ∈ R 1 !3 sin n−2n ;n>3 (ł) n2 n−1 n lim n→∞ (sin n)2n + (m) lim 2n−13 n→∞ (n) n→∞ lim +3 n2 2−n (arctg(n!))n−1 n 2n − 13 n+1 log2 8n + 2n (tg n1 )n + (log8 2)n !2 n Zadanie 2. Dla jakich wartości α ∈ R zachodzi n→∞ lim Zadanie 3. Dla jakich wartości x > 0 mamy lim n logn 3 √ n−1 n→∞ ln nα < 9? 2n + x1−n ∈ (2, 22)? Zadanie 4. s Dla jakich wartości a > 0 zachodzi lim n→∞ n+1 22n + (arctg(−n))n < 1? n 3n + a 2 Zadanie 5. Wyznacz zbiór tych wartości β ∈ R, dla których n→∞ lim n2 − β n2 − βn !(1−n) ln(−β) < 4. Zadanie 6. Oblicz granicę lim n→∞ tej granicy. n−A n+A An w zależności od A ∈ R. Wyznacz zbiór możliwych wartości liczbowych Zadanie 7. √ √ Dla jakich wartości α ∈ R mamy n→∞ lim 3 n3 + nα − 3 n3 − αn ∈ R, a dla jakich ∈ R \ {0}? Zadanie 8. q Naszkicuj wykres funkcji f (x) = lim n 2−n + (sin2 2x)n ; x ∈ [0, π]. n→∞ Zadanie 9. Wyznacz wszystkie wartości β ∈ R, dla których istnieje granica właściwa n n+1 n+2 3n β + 2 + 2 + ... + 2 2 n +1 n +1 n +1 n +1 lim n→∞ n . Jakie wartości może przyjąć wtedy ta granica? Zadanie 10. !n (n + 2)3 − (n + 1)3 Oblicz granicę lim . Następnie bez obliczania wskaż, ile wyniosłaby n→∞ 2(2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 4)) taka granica, gdyby ostatni składnik mianownika wyniósł (3n + 2), a ile gdyby wyniósł on (6n − 1). 2 Zadanie 11. Oblicz (bez wykorzystywania reguły de l’Hospitala) podane granice funkcji 3x − 4 (a) lim x→1 1 − 2x x x−1 1 (i) lim cos(x − π2 ) w zależności od n ∈ N x→π tg nx 2 x→0− (b) lim (c) lim log1− 5 x→∞ x x+1 x e x − cos(2x) 1 e x + ctg x (j) lim 1 + sin2 x 1 1−cos x x→0 x (k) limπ (1 + cos x) 2x−π x→ 2 (d) lim (1 − ln x)logx e x→1 3x − 6x x→0 cos 6x−3π 2 (l) lim (e) lim xlog2−x 2 x→1 (f) x→∞ lim logx ln x 2x − 1 (m) lim x→3 8−x x cos x + sin x x→0 e4x − 1 (g) lim 4 3−x 1 + x3 x→−1 sin(πx) + log (x + 2) 2 (n) lim 2 · 4x − 2x+2 (h) lim x→1 1−x Zadanie 12. Znajdź asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji √ 4x − x3 (a) f (x) = √ 2−x |1 + x| (b) g(x) = √ 2 x −1 x2 + 4x + 3 (c) h(x) = √ 2 x + 2x − 3 Zadanie 13. W jakim punkcie i pod jakim kątem przetną się asymptoty funkcji f (x) = 8 + x3 ? 4 − x2 Zadanie 14. Wyznacz A z równania lim (ln(ex))logx (2A) = A2 − 7. x→1 Zadanie 15. ( Wyznacz wszystkie pary (A, B), dla których funkcja f (x) = jest ciągła w dokładnie jednym z dwóch punktów: 0 albo π. 3 (1 − 22x ) ctg x2 dla 0 < x < π x2 − Ax + B dla x ∈ R \ (0, π)