Zbiór przykładowych prac kontrolnych z rachunku

Informatyka
Zbiór przykªadowych prac kontrolnych
oraz przykªadowych zada« egzaminacyjnych
z przedmiotu
RACHUNEK PRAWDOPODOBIE‹STWA
Informatyka, II rok
Sprawdzian 1, M09-02
Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy¢ prawdopodobie«stwo uzyskania takich liczb oczek, »e iloczyn tych liczb b¦dzie liczb¡ parzyst¡.
Zadanie 2 (1p) Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e na pi¦¢ rzutów kostk¡ trzy razy
wypadnie szóstka.
Zadanie 3 (1p) Grupa studencka skªada si¦ z 30 osób. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e »adnych dwóch studentów nie obchodzi urodzin tego samego dnia roku.
(Przyj¡¢, »e rok ma 365 dni.)
Zadanie 4 (2p) Jednakowe produkty dostarczane s¡ do hurtowni przez trzy zakªady. Zgodnie z kontraktem pierwszy i trzeci dowo»¡ po 20%, a drugi 60% w danej dostawie. Pierwszy zakªad wytwarza ±rednio 5% produktów wadliwych, drugi 2%, a trzeci
1%.
(a) Spo±ród produktów z tej dostawy wybrano jeden produkt. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest on wadliwy?
(b) Losowo wybrany produkt okazaª si¦ NIE by¢ wadliwy. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zostaª on wyprodukowany przez pierwszy zakªad?
2
Informatyka, II rok
Sprawdzian 1, M09-02
Zadanie 1 (1p) Z cyfr 1,2,3,4,5,7 losujemy dwa razy po jednej i tworzymy liczb¦
dwucyfrow¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest to liczba o ró»nych cyfrach?
Zadanie 2 (1p) Rzucamy dziewi¦cioma monetami. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo,
»e wypadnie co najmniej jeden orzeª.
Zadanie 3 (1p) Rzucamy dwa razy kostk¡ do gry. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo
wyrzucenia sumy oczek równej 8.
Zadanie 4 (2p) W pierwszej urnie znajduj¡ si¦ 2 kule biaªe i 3 czarne, w drugiej
4 kule biaªe i 2 czarne, w trzeciej 3 kule biaªe i 3 czarne. Rzucamy kostk¡ do gry.
Je»eli wyrzucimy parzy±cie wiele oczek, to losujemy dwie kule z urny pierwszej, je»eli
wylosujemy trójk¦ - losujemy dwie kule z urny drugiej, w przeciwnym razie losujemy
dwie kule z urny trzeciej. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e obie wylosowane kule s¡
biaªe.
3
Informatyka, II rok
Sprawdzian 2, M09-03
Zadanie 1 (2,5p) Gra polega na rzucie kostk¡ i monet¡. Je±li wypadnie na kostce
szóstka, gracz (bez wzgl¦du na wynik rzutu monet¡) otrzymuje 1zª, je±li wypadnie na
kostce pi¦¢ oczek, a moneta upadnie orªem do góry gracz otrzymuje 5zª, je±li wypadnie
reszka, a na kostce mniej ni» 6 oczek, to gracz pªaci 3 zª, w pozostaªych przypadkach
gracz pªaci 1zª. Dla zmiennej losowej opisuj¡cej wygran¡ wyznaczy¢ dystrybuant¦,
narysowa¢ wykres dystrybuanty, obliczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ tej zmiennej.
Zadanie 2 (1,5p) W urnie znajduje si¦ 5 kul. 3 z nich s¡ czarne, a 2 biaªe. Losujemy
z urny kul¦, zwracamy j¡ do urny i dosypujemy jeszcze dwie, tego samego koloru co
kula wylosowana, a nast¦pnie ponownie losujemy kul¦ z tej urny. Je±li kula wylosowana
za drugim razem jest czarna, to losuj¡cy wygrywa 2zª, a je±li jest biaªa traci 1zª. Czy
zmienna losowa opisuj¡ca wygran¡ jest dyskretn¡ zmienn¡ losow¡? Je±li tak, wyznaczy¢
funkcj¦ prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej.
Zadanie 3 (1p) Zmienna losowa dyskretna ma nast¦puj¡c¡ funkcj¦ prawdopodobie«stwa:
xk
pk
oraz warto±¢ oczekiwan¡ równ¡
1
a
3 4
0,1 0,4 0,3 b
13
. Wyznaczy¢ a i b
5
4
Informatyka, II rok
Sprawdzian 2, M09-03
Zadanie 1 (2,5p) Gra polega na trzykrotnym rzucie monet¡ i otrzymywaniu takiej
kwoty po ka»dych trzech rzutach ile orªów wypadªo. Dla zmiennej losowej opisuj¡cej
wygran¡ wyznaczy¢ dystrybuant¦, narysowa¢ wykres dystrybuanty, obliczy¢ warto±¢
oczekiwan¡ i wariancj¦ tej zmiennej.
Zadanie 2 (1,5p) W pierwszej urnie znajduj¡ si¦ 2 kule biaªe i 3 czarne, w drugiej
4 kule biaªe i 2 czarne, w trzeciej 3 kule biaªe i 3 czarne. Rzucamy kostk¡ do gry. Je»eli
wyrzucimy jedynk¦, to losujemy dwie kule z urny pierwszej, je»eli wylosujemy dwójk¦
lub trójk¦ - losujemy dwie kule z urny drugiej, w przeciwnym razie losujemy dwie kule
z urny trzeciej. Zmienna losowa opisuje ilo±¢ wylosowanych kul biaªych. Wyznaczy¢
funkcj¦ prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej.
Zadanie 3 (1p) Dla zmiennej losowej X o rozkªadzie dwumianowym z parametrami n = 10 i p = 13 obliczy¢ P (X > 1).
5
Przykªadowy zestaw egzaminacyjny, M09-01
1 Czy w do±wiadczeniu losowym polegaj¡cym na rzucie kostk¡ do gry tyle razy,
a» wypadnie jedynka, do wyznaczenia prawdopodobie«stwa zdarzenia polegaj¡cego na
uzyskaniu trzech oczek, mo»na stosowa¢ model klasyczny? Uzasadni¢.
2 Skonstruowa¢ model probabilistyczny (okre±li¢ zbiór zdarze« elementarnych, rodzin¦ zdarze« oraz wzór jakim wyznaczane jest prawdopodobie«stwo dowolnego zdarzenia) w do±wiadczeniu losowym polegaj¡cym na czterokrotnym rzucie symetryczn¡
kostk¡. Zastosowa¢ ten model do wyznaczenia prawdopodobie«stwa zdarzenia polegaj¡cego na tym, »e trzy razy wypadªo sze±¢ oczek.
3 A i B s¡ zdarzeniami w danej przestrzeni probabilistycznej. Czy iloczyn zdarze«
do nich przeciwnych jest zdarzeniem? Uzasadni¢.
4 Dla jakich trzech zdarze« prawdopodobie«stwo sumy tych zdarze« jest równe
sumie ich prawdopodobie«stw?
5 W lewej kieszeni kurtki znajduje si¦ 10 monet pi¦ciozªotowych i 5 monet dwuzªotowych, a w prawej kieszeni 2 monety pi¦ciozªotowe i 3 monety dwuzªotowe. Z lewej
kieszeni losowana jest jedna moneta, która zostaje przeªo»ona do kieszeni prawej, a
nast¦pnie z prawej kieszeni losowane s¡ dwie monety. Czy do wyznaczenia prawdopodobie«stwa wylosowania z prawej kieszeni kurtki monet daj¡cych kwot¦ 7 zª mo»na
stosowa¢ wzór na prawdopodobie«stwo caªkowite? Uzasadni¢.
6 Czy funkcja okre±lona wzorem
F (x) =
0
dla x ∈ (−∞, −1]
0, 3x + 0, 5 dla x ∈ (−1, 1]


1
dla x ∈ (1, +∞)



jest dystrybuant¡ jakiej± zmiennej losowej? Uzasadni¢.
7 Dana jest przestrze« probabilistyczna, w której P jest rozkªadem prawdopodobie«stwa. Je±li
P (A)
= 4, to ile wynosi prawdopodobie«stwo zdarzenia A?
P (A0 )
8 Do celu oddaj¡ (niezale»nie) strzaªy trzej strzelcy. Pierwszy traa z prawdopodobie«stwem 0,8; drugi z prawdopodobie«stwem 0,7; trzeci z prawdopodobie«stwem
0,9. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia polegaj¡cego na tym, »e cel zostanie
traony dwa razy.
6
9 Dla zmiennej losowej o dystrybuancie
F (x) =















0
0, 1
0, 3
0, 7
1
dla x ∈ (−∞, −3]
dla x ∈ (−3, −1]
dla x ∈ (−1, 1]
dla x ∈ (1, 2]
dla x ∈ (2, +∞)
obliczy¢ P (1 < X ¬ 2), P (X > 3).
10 Dla zmiennej losowej X o rozkªadzie Poissona z parametrem λ = 2 obliczy¢
P (X ­ 2).
7