FUNKCJA POTĘGOWA,WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH - PRZYPOMNIENIE
Potęga o wykładniku naturalnym to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile
wynosi wykładnik. Zapisujemy to następująco:
⏟
Liczbę nazywamy podstawą potęgi a
Na przykład
jej wykładnikiem.
. Jeśli
, przyjmujemy
.
.
Na potęgach można wykonywać działania. I tak:
Na przykład
Na przykład
Na przykład
Na przykład
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym. Jeśli
i
jest liczbą naturalną to:
( )
Na przykład:
.
Na potęgach o wykładniku ujemnym obowiązują wszystkie podane wyżej działania.
Pierwiastek stopnia z liczby. Jeżeli
i
to pierwiastkiem stopnia z liczby nazywamy
taką liczbę , że
. Pierwiastek stopnia z liczby oznaczamy √ . Jeżeli
to w zapisie
pomijamy i piszemy √ .
Na przykład: √
,√
, bo
,√
, bo
Potęga o wykładniku wymiernym. Jeżeli
,
, bo
to:
√
Na przykład:
√
(√
)
FUNKCJA POTĘGOWA
Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci:
, gdzie
Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika .
1. Jeżeli
wówczas dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych (
{ }.
2. Jeżeli
wówczas
3. Jeżeli
1
i
,
{ }, zaś dla
.
.
PRZYKŁADOWE WYKRESY FUNKCJI POTĘGOWEJ
RÓWNANIE POTĘGOWE
Z pojęciem funkcji potęgowej wiąże się pojęcie równania potęgowego.
W równaniu potęgowym po jednej stronie występuje pewna potęga , a po drugiej liczba.
Na przykład:
, rozwiązaniem równania są
i
, rozwiązaniem równania jest
√
, rozwiązaniem równania jest
FUNKCJA WYKŁADNICZA
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci:
, gdzie
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Dlaczego
? Otóż biorąc
otrzymalibyśmy
po prostu funkcję stałą
(1 podniesione do dowolnej potęgi daje 1).
Zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
. Dlatego że każda liczba
dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią. Poniżej są wykresy funkcji wykładniczej
dla
i
.
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Wykres posiada punkt charakterystyczny
. Przez ten
punkt przechodzi wykres każdej funkcji wykładniczej! Ponadto, dla każdego
funkcja jest rosnąca,
zaś dla
, funkcja jest malejąca.
Wykresy funkcji
,i
są symetryczne względem osi
wykresu każdej funkcji wykładniczej (dlaczego?).
2
. Oś
jest asymptotą poziomą
PRZYKŁADOWE WYKRESY FUNKCJI WYKŁADNICZYCH
( )
RÓWNANIE WYKŁADNICZE
Jest to równanie, w którym niewiadoma
Na przykład:
, rozwiązaniem jest
√
występuje tylko w wykładniku potęgi.
, rozwiązaniem jest
, rozwiązaniem jest
LOGARYTM Z LICZBY - PRZYPOMNIENIE
Logarytmem przy podstawie
Fakt ten zapisujemy:
z liczby dodatniej
nazywamy liczbę , taką że
.
WŁASNOŚCI LOGARYTMÓW :
,
,
=
FUNKCJA LOGARYTMICZNA
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci:
, gdzie
.
Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych.
3
.
PRZYKŁADOWE WYKRESY FUNKCJI LOGARYTMICZNEJ
RÓWNANIE LOGARYTMICZNE
Jest to równanie, w którym niewiadoma
Na przykład:
występuje tylko pod znakiem logarytmu.
, rozwiązaniem jest
, rozwiązaniem jest
, rozwiązaniami są jest
4
,