Zadanie 10. (6 pkt) Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego

Zadanie 10. (6 pkt)
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 ma długość 𝑎. Ściana boczna jest nachylona do
płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 2𝛼. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź
podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego
ostrosłupa.
ROZWIĄZANIE:
Polem przekroju jest trapez równoramienny:
Z twierdzenia sinusów:
ℎ
𝑎
=
sin2𝛼 sin(180° − 3𝛼)
ℎ
𝑎
=
sin2𝛼 sin3𝛼
ℎ=
𝑎sin2𝛼
sin3𝛼
Obliczam 𝐻 ściany bocznej:
𝑎
cos2𝛼 = 2
𝐻
𝑎
2cos2𝛼
→ 𝐻=
Obliczam odcinek 𝑥 z tw. sinusów:
𝑥
𝑎
=
sin𝛼 sin(180° − 3𝛼)
𝑥sin3𝛼 = 𝑎sin𝛼
𝑥=
𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛3𝛼
Z twierdzenia o dwusiecznej:
𝑥
𝑎
=
𝐻−𝑥 𝐻
Z podobieństwa trójkątów:
𝑎
𝑏
=
𝐻 𝐻−𝑥
Wynika z tego, że:
𝑥
𝑏
=
𝐻−𝑥 𝐻−𝑥
→
𝑥=𝑏=
𝑎sin𝛼
sin3𝛼
𝑃przekroju
𝑎sin𝛼 𝑎sin2𝛼 𝑎sin3𝛼 + 𝑎sin𝛼 𝑎sin2𝛼
⋅ sin3𝛼
(𝑎 + 𝑏)ℎ (𝑎 + sin3𝛼 ) ⋅ sin3𝛼
sin3𝛼
=
=
=
=
2
2
2
2
𝑎2 (sin3𝛼 + sin𝛼)sin2𝛼 𝑎 ⋅ 2sin
=
=
2sin2 3𝛼
=
3𝛼 + 𝛼
3𝛼 − 𝛼
2 cos 2 sin2𝛼 =
2sin2 3𝛼
𝑎2 sin2𝛼cos𝛼 ⋅ sin2𝛼 𝑎2 sin2 2𝛼 ⋅ cos𝛼
=
sin2 3𝛼
sin2 3𝛼
Odp. 𝑃przekroju =
𝑎 2 sin2 2𝛼⋅cos𝛼
sin2 3𝛼