Podstawy działań na wektorach

Podstawy działań na wektorach - iloczyn wektorowy
Założenia:
 dane są dwa wektory i leżące na pewnej płaszczyźnie,
 mniejszy z kątów pomiędzy tymi wektorami wynosi
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
nowy wektor o następujących cechach:
i
.
oznaczamy symbolem
. Rezultatem takiego działania jest
a. jego wartość jest równa iloczynowi wartości każdego z wektorów i sinusa określonego powyżej kąta
lub prostszy zapis:
[1]
b. Kierunek wektora jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory
i .
kierunek wektora
rys. 1
c. Zwrot wektora
określa reguła śruby prawoskrętnej. Korzystając z tej reguły należy obracać pierwszy z
wektorów występujących w iloczynie wektorowym na drugi z nich, ale po mniejszym z kątów między
nimi.
rys. 2
Podstawy działań na wektorach - iloczyn wektorowy wektorów
rys. 3
Strona 1
Uwaga: na poniższym wykresie pokazany został wykres funkcji
kąta została wyrażona jednocześnie w radianach i w stopniach.
(dla
), gdzie miara
W przypadku iloczynu wektorowego wystarczy znajomość przebiegu funkcji sinus dla
mniejszy z kątów pomiędzy wektorami i nie może być większy od kąta półpełnego (
, gdyż
).
Uwagi i wnioski:
a. Wartość iloczynu wektorowego jest zawsze nieujemna, gdyż wektor będący efektem tego działania nie
może przyjmować wartości ujemnych. Wynika to także z przebiegu funkcji sinus w rozpatrywanym przedziale kątów:
.
b. Jeżeli wektory wyjściowe są równoległe do siebie, tzn.
przeciwne, to wartość ich iloczynu wektorowego wynosi
(takie same zwroty) lub
, bo
.
(zwroty
c. Maksymalną wartość ma iloczyn wektorowy wektorów o kierunkach prostopadłych, wtedy:
d. Iloczyn dwóch takich samych wektorów jest równy zero, bo
:
e. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny, gdyż (patrz rys. 3) otrzymuje się parę wektorów przeciwnych:
f. Jeżeli dany jest prostokątny układ współrzędnych
śruby prawoskrętnej, rys. 2):
(patrz rys. 4), to prawdziwe są zależności (reguła
a. Dla każdego iloczynu wektorowego pary wersorów:
,
,
mamy:
.
Dlatego:
1
b. Dla każdego iloczynu pary wersorów:
mamy:
1
ale:
1
rys. 4
Podstawy działań na wektorach - iloczyn wektorowy wektorów
Strona 2
g. Jeżeli znane są współrzędne obu wektorów:
, to:
Stąd:
[2]
Wnioski:
 wektor
jest prostopadły do płaszczyzny
na kierunku wersora
znajdującego się na osi
współrzędne tego wektora są zerowe:
 wartość wyrażenia
, w której zawarte są wektory i , gdyż leży
która jest prostopadła do osi i . Pozostałe
określa wartość współrzędnej
otrzymanego wektora .
 Jeżeli
, to wektor ma zwrot zgodny ze zwrotem osi .
 Jeżeli
, to wektor ma zwrot przeciwny do zwrotu osi .
 Jeżeli
do siebie prostopadłe.
, to wektor
jest wektorem zerowym. Jednocześnie wektory
i
były
 W rozpatrywanym przypadku iloczyn wektorowym można również wyrazić, jako iloczyn ("zwykły")
wersora i wyznacznika drugiego rzędu współrzędnych wektorów wyjściowych:
Uwaga: iloczyn wektorowy dwóch wektorów trójwymiarowych można wyrazić następującym wyznacznikiem stopnia trzeciego:
h. Przykład zastosowania iloczynu wektorowego w fizyce:
Jeżeli pęd punktu materialnego wynosi a jego promień wodzący (względem pewnego punktu) wynosi
, to moment pędu tego punktu materialnego wyraża zależność:
Podstawy działań na wektorach - iloczyn wektorowy wektorów
Strona 3
Przykład.
Dane są dwa wektory:
,
.
a. Oblicz wartość każdego z wektorów.
b. Określ wektor będący iloczynem wektorowym
. Ile wynosi jego wartość? Jaki jest zwrot wektora ?
Z wzoru [2] mamy:
Stąd:
Ponadto:
Ponieważ
, to wektor ten ma przeciwny zwrot do zwrotu osi
.
c. Oblicz sinus kąta zawartego pomiędzy tymi wektorami. Odczytaj wartość tego kąta.
Z wzoru [1] wynika, że:
Dlatego mniejszy z kątów pomiędzy rozpatrywanymi wektorami wynosi
d. Nie obliczając wprost iloczynu skalarnego tych wektorów, rozstrzygnij czy ma on wartość większą od
iloczynu wektorowego.
Ponieważ
oraz
, to:
Oba iloczyny mają takie same wartości.
e. Ile powinna wynosić nowa współrzędna , aby wektory
wektora zorientowany będzie wtedy nowy wektor ?
i
były do siebie równoległe? Jak względem
Z własności iloczynu wektorowego wynika, że jeżeli oba wektory są do siebie równoległe, to wartość ich
iloczynu wektorowego wynosi zero. Stąd:
Ponieważ współrzędne
zgodnie zwrócone, tzn. dla
obu wektorów mają ten sam znak (są dodatnie), to wektory te są
mamy
.
Podstawy działań na wektorach - iloczyn wektorowy wektorów
Strona 4