TABLICE MATEMATYCZNE

TABLICE MATEMATYCZNE
Funkcje trygonometryczne:
sin2 x + cos2 x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
π
π
π
π
2π
3π
5π
x
0
π
6
2
6
√4
√3
√3
√4
2
3
3
2
1
1
sin x
0
1
0
2
2
2
2
√2
√2
√
√
3
2
2
3
1
1
cos x
1
0
− 2 − 2 − √2
−1
2
√2
√
√2
3
3
tg x
0
1
3 ±∞ − √ 3 −1 − 3
0
√
√3
√
3
3
ctg x ±∞
3 1
0
− 3
−1 − 3 ±∞
3
Przydatne granice:
a x
sin x
ex − 1
lim (1 + ) = ea ,
lim
=1 ,
lim
=1
x→±∞
x→0 x
x→0
x
x
π
π
lim arc tg x = , lim arc tg x = − ,
lim arc ctg x = 0 , lim arc ctg x = π
x→+∞
x→−∞
x→+∞
x→−∞
2
2
Wzory na pochodne:
ˆ (xn ) = nxn−1 dla n ∈ R, w szczególności:
√ ′
′
′
′
– (c) = 0 (x) = 1 ( x1 ) = − x12 ( x) =
1
√
2 x
ˆ (ex ) = ex ,
,
′
(ax ) = ax ln a ,
′
ˆ (sin x) = cos x ,
ˆ (arcsin x) =
′
(cos x) = − sin x ,
′
′
(ln x) =
′
′
√ 1
1−x2
,
(loga x) =
1
x ln a
1
cos2 x
(ctg x) = − sin12 x
′
(tg x) =
′
1
(arccos x) = − √1−x
,
2
′
1
x
(arc tg x) =
′
f (x) ± g(x))′ = f ′ (x) ± g ′ (x) ,
′
,
1
1+x2
,
1
(arc ctg x) = − 1+x
2
′
(af (x))′ = af ′ (x)
′
(f (x)g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x) ,
(x)
( fg(x)
) =
f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x)
(g(x))2
[f (g(x))]′ = f ′ (g(x)) ⋅ g ′ (x)
Pozostałe przydatne rzeczy:
Sposoby
x
f ′ (x) +
f ′′ (x) +
f (x) Ä
wypełniania tabelek przy badaniu pochodnych:
+ − −
− − +
¼ ¿ Ç
x
x
f ′ (x)
f ′′ (x)
f (x)
+ −
↗ ↘
f (x)
+
⌣
−
⌢
W pierwszym wierszu punkty wyróżnione to ”dziury” w dziedzinie oraz miejsca zerowe stosownej pochodnej (lub obu).
0
∞
0 [1]
]
Symbole nieoznaczone: [ 00 ] , [ ∞
∞ , [0 ⋅ ∞] , [∞ − ∞] , [0 ] , [1 ] , [∞ ] , 0
Asymptoty ukośne y = ax + b ∶
a = lim
x→±∞
f (x)
,
x
b = lim (f (x) − ax)
x→±∞
Wzór przydatny do pochodnych i niektórych granic: f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)
Wzory skróconego mnożenia:
=
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
3
3
2
2
a − b = (a − b)(a + ab + b )
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(a + b)2
a2
+ 2ab + b2
Podstawowe całki:
xn+1
dla n ≠ −1, w szczególności:
ˆ ∫ xn dx =
n+1
– ∫ 1dx = x + C,
ˆ ∫ ex dx = ex + C,
x2
∫ xdx = 2 + C,
ax
x
a
dx
=
+ C,
∫
ln a
ˆ ∫ sin xdx = − cos x + C,
dx
1
∫ x2 = − x + C,
√
dx
∫ √ =2 x+C
x
1
∫ x dx = ln ∣x∣ + C
∫ cos xdx = sin x + C,
dx
∫ cos2 x = tg x + C,
∫
dx
= − ctg x + C
sin2 x
dx
dx
ˆ ∫ √
= arc tan x + C
= arcsin x + C , ∫
1 + x2
1 − x2
√
ˆ ∫ √ 12 dx = ln ∣x + x2 + q∣ + C, ∫ √ 1 2 dx = arcsin √xq + C
x +q
q−x
Wzór na całkowanie przez części:
′
′
∫ u v = uv − ∫ uv
Schemat całkowania przed podstawienie:
t = g(x)
′
′
′
∫ f (g(x))g (x)dx = ∣dt = g ′ (x)dx∣ = ∫ f (t)dt = f (t) + C = f (g(x)) + C
Inne wzory przydatne przy całkowaniu:
Wzór Ostrogadskiego:
√
Wn (x)dx
Adx
= Vn−1 (x) ax2 + bx + c + ∫ √
∫ √ 2
ax + bx + c
ax2 + bx + c
Podstawienie uniwersalne:
Jeśli t = tg
2dt
2t
1 − t2
x
to dx =
,
sin
x
=
,
cos
x
=
2
1 + t2
1 + t2
1 + t2
Młodszy brat podstawienia uniwersalnego:
Jeśli t = tg x to dx =
t2
1
dt
2
,
sin
x
=
, cos2 x =
2
2
1+t
1+t
1 + t2
˙
Wzory trygonometryczne przydatne przy całkach postaci
n
m
∫ sin x cos xdx w sytuacji gdy n, m parzyste:
sin x cos x =
sin 2x
2 ,
cos2 x =
1+cos 2x
,
2
sin2 x =
1−cos 2x
2
Zastosowania całek oznaczonych:
1) Pole figury płaskiej:
a) współrzędne kartezjańskie - jeśli figura jest ograniczona przez y = f (x) (z góry), y = g(x) (z dołu)
b
oraz x = a, x = b, to jej pole to: S = ∫ (f (x) − g(x))dx
a
b) współrzędne biegunowe - jeśli figura składa się z punktów o kącie należącym do przedziału [α, β]
β
1
(gdzie α, β ∈ [0, 2π) i promieniu mniejszym od r = r(φ), to jej pole to: S = ∫ (r(φ))2 dφ
2
α
c) postać parametryczna - jeśli figura leży pomiędzy osią OX, a krzywą x = x(t), y = y(t) gdzie
t ∈ [t1 , t2 ], oraz x′ (t) i y(t) są ciągłe, x(t) monotoniczna, a y(t) stałego znaku, to pole tej figury to:
t2
S = ∫ ∣y(t)x′ (t)∣dt
t1
2) Długość krzywej:
b
a) współrzędne kartezjańskie - długość krzywej y = f (x) dla x ∈ [a, b] to: l = ∫
√
1 + (f ′ (x))2 dx
a
b) współrzędne biegunowe - długość krzywej r = r(φ) dla φ ∈ [α, β] (gdzie α, β ∈ [0, 2π)) to: l =
β
√
(r(φ))2 + (r′ (φ))2 dφ
∫
α
t2
c) postać parametryczna - długość krzywej x = x(t), y = y(t) dla t ∈ [t1 , t2 ] to: l = ∫
√
(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt
t1
3) Objętość bryły obrotowej:
a) współrzędne kartezjańskie - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywymi
b
y = f (x), y = 0, x = a, x = b wokół osi OX ma objętość: V = π ∫ (f (x))2 dx
a
b) postać parametryczna - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywą x = x(t),
y = y(t) (gdzie x′ (t) i y(t) są ciągłe, a x′ (t) jest stałego znaku) dla t ∈ [t1 , t2 ] i osią OX wokół osi OX
t2
ma objętość: V = π ∫ (y(t))2 ∣x′ (t)∣dx
t1
4) Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej:
a) współrzędne kartezjańskie - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywymi
b
√
y = f (x), y = 0, x = a, x = b wokół osi OX ma pole powierzchni bocznej: Pp = π ∫ ∣f (x)∣ 1 + (f ′ (x))2 dx
a
b) postać parametryczna - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywą x = x(t), y =
t2
√
y(t) dla t ∈ [t1 , t2 ] i osią OX wokół osi OX ma pole powierzchni bocznej: Pp = π ∫ ∣y(t)∣ (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dx
t1