MATEMATYKA lista zadan nr 13 1. Naszkicowac na p laszczyznie

MATEMATYKA
lista zadań nr 13
1. Naszkicować na plaszczyźnie zespolonej krzywe o podanych równaniach:
a) z(t) = 1 + j + (2 − j)t, t ∈ [0; 1],
b) z(t) = 2 + j + 3ej t , t ∈ [0; π],
c) z(t) = 1 − 2j + cos t + 2j sin t, t ∈ [0; 2π],
d) z(t) = e(2+j)t , t ∈ R.
2. Napisać równania parametryczne podanych krzywych:
a) prostej przechodza̧cej przez punkty z1 = 2j − 3 i z2 = 3 − 2j,
b) odcinka la̧cza̧cego punkty z1 = 2 − j i z2 = 1 − 2j,
c) okrȩgu o środku w punkcie z0 = 1 − j i promieniu r = 3,
d) elipsy o środku w punkcie z0 = 2 + 3j i pólosiach a = 2 i b = 3.
3. Napisać równania stycznych do podanych krzywych w punkcie z(t0 ) dla danego t0 :
a) z(t) = 2 + 3j + 2ej t , t0 = π4 ,
b) z(t) = t +
2j
,
t
t0 = 1,
c) z(t) = t + j sin t, t0 = π3 .
4. Obliczyć calki:
π/2
Z
a)
Z
(cos t + 2jt) dt,
0
2
2
(t − jt ) dt,
b)
0
Z
π
c)
Z
j cos 2t dt,
0
1
d)
(1 − jet ) dt.
−1
5. Obliczyć calki:
Z
a)
|ez |z dz, gdzie C - odcinek o pocza̧tku w punkcie z1 = −j i końcu w punkcie z2 = 1,
C
Z
(3z+1)z dz, gdzie C - pólokra̧g |z| = 1, Re z ≥ 0,
b)
C
Z
c)
C
ez dz, gdzie C - lamana o wierzcholkach: z1 = 0, z2 = π2 , z3 = π2 (1 − j),
Z
(z − z) dz, gdzie C - luk paraboli o pocza̧tku z1 = 1 + j i końcu z2 = 0.
d)
C