Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 9 Zadanie 1 Korzystaj
Transkrypt
Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 9 Zadanie 1 Korzystaj
Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 9 Zadanie 1 Korzystajac ace calki: , z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć nastepuj , , Z 3 x2 p Z xarctg x dx, −3 Z 1 Z 9 − x2 dx, 1 0 2 √ 3/4 Z dx , 2 + 3x − 2x2 1 p 3 − 2x − x2 dx, e cos(ln x) dx, x Z ∞ e−3x dx, −1 Z e2 e 0 dx , x ln x Z ∞ x dx . x2 + 4 0 Z 2 1 1 e x2 dx, x3 Zadanie 2 Obliczyć podane calki z funkcji przedzialami ciag , lych: Z1 sgn x − x 2 Z3 dx, Z1 [ln(x)] dx. x[x] dx, −2 −1 1 2 Zadanie 3 Obliczyć pola obszarów ograniczonych nastepuj acymi krzywymi: , , a) b) x2 + y 2 = 8 i y 2 = 2x; √ y = cos x − cos3 x i osia, OX dla |x| ≤ π 2; 2 c) x = 0 i x = y (y − 1); d)* x = a t2 − 1 , y = b 4t − t3 , a > 0, b > 0; e)* x = 2a cos t − a cos 2t, y = 2a sin t − a sin 2t (kardioida). n Zadanie 4 Obliczyć pole obszaru nieogranicznego D = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < x x4 +1 o . Zadanie 5 Obliczyć dlugość luku nastepuj acych krzywych: , , d) y 2 = x3 od poczatku ukladu wspólrzednych do punktu (4, 8); , , √ √ 2 y = x − x + arcsin x; Rx √ y = −π/2 cos t dt dla |x| ≤ π2 ; x = a cos t + ln tg 2t , y = a sin t dla t ∈ π2 ; 3π 4 ; e) f) x = a cos3 t, y = a sin3 t (asteroida) od punktu A = (a, 0) do B = (0, a); x = R (cos t + t sin t), y = R (sin t − t cos t) (ewoluta okregu) dla t ∈ (0; π). , a) b) c) Zadanie 6 Obliczyć pole powierzchni bocznej nastepuj acych bryl obrotowych powstalych przez obrót: , , a) y = cosh x, x ∈ [0; 1], dookola osi OX; b) c) y = x3 , x ∈ [0, 1], dookola osi OX; y = tg x, x ∈ 0, π4 , dookola osi OX; d)* x2/3 + y 2/3 = a2/3 (asteroida) dookola osi OX; e)* x = a cos3 t, y = a sin3 t (asteroida) dookola osi OX; f )* x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (cykloida) dookola osi OX; g)* (x − R)2 + y 2 = r2 , 0 < r < R, dookola osi OY . Zadanie 7 Obliczyć objetość bryl obrotowych, których powierzchnie boczne powstaly przez obrót nastepuj acych krzy, , , wych: a) b) y = x, y = 4x, xy = 1 dookola osi OX; √ y = 2x, y = 2(x − 1)3/2 dookola osi OX; c) y= √ 1 4+x2 dookola swojej asymptoty; 2 d)* y = e−x , y = 0, dookola jej osi symetrii; e)* x = a cos3 t, y = a sin3 t (asteroida), t ∈ [0; π], dookola osi OX. 2 R∞ dx Zadanie 8* Zbadać zbieżność calek 1 xp oraz R∞ e−px dx w zależności od parametru p. a Zadanie 9 Korzystajac acych szeregów: , z kryterium calkowego zbadać zbieżność nastepuj , , ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X 1 1 n ln(n) , , , . 2+n 2+4 2 n n n n ln(n) ln(ln(n)) n=1 n=2 n=1 n=2 Zadanie 10 Korzystajac , z definicji zbadać zbieżność calek: ∞ Z∞ Z dx , 2−x dx, (x + 2)2 Z∞ Z0 0 π Z−1 Z∞ (π − arcctg (x)) dx, 1 −∞ −∞ Z0 Zπ Z3 −1 dx √ , 5 x2 dx , sin(x) π 2 Zadanie 11 Na przykladzie funkcji f (x) = dx , x2 − 4x + 13 Z∞ 3 x2 e−x dx, −∞ dx , x(x − 3) 2 x 1+x2 Z∞ x4 −∞ 1 Z∞ dx √ , 3 3x + 5 dx , +4 x cos(x) dx, Ze ln(x) dx. x 0 pokazać, że zależność Za f (x) dx = lim a→∞ −a −∞ f (x) dx nie zawsze jest prawdziwa. Zadanie 12* Korzystajac , z kryteriów zbieżności zbadać zbieżność calek: ∞ Z Z0 Z∞ Z∞ 1 + sin(x) 2x x dx 1 2 √ dx, dx, dx, , sin 3 3 7 x x−1 x x +2 π −∞ 0 1 Z1 0 dx . arcsin2 (x)