A f - DSP AGH

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
SYGNAŁÓW
Spis treści
1.
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
2.
Związek między szeregiem i transformacją Fouriera
3.
Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera
4.
Widma sygnałów
5.
Własności transformacji Fouriera
6.
Przykład transformat Fouriera
7.
Uogólniona transformacja Fouriera
1
Trochę historii
Baron Jean Baptiste Joseph
FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkołę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem
Politechniki w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w
wyniku ekspedycji z 1798 roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble.
Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku
został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej
członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21
tomowy Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy
pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy
przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował
do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
2
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
Dla sygnałów spełniających dwa warunki:
s( t )  s( t  T )
s C (,)
można utworzyć szereg

s (t )  c0   cn cos2nf T t   n 
n 1
gdzie f T  1 / T oraz
T
c0  f T  s (t ) dt
cn  a n2  bn2
widmo amplitudowe
0
 n  arc tg(bn an )
T
widmo fazowe
an  2 f T  s(t ) cos(2nf T t ) dt
0
T
bn  2 f T  s(t ) sin(2nf T t ) dt
0
3
Od szeregu do transformacji Fouriera
s( t ) 

s e 
2 jnt / T
n
n 

2  jnfT t
s
e
n
s(t ) 
+
T  1 / fT
n 
+
T
1
sn   s(t ) e 2 j n t / T dt
T0
Po zmianie granic całkowania
gdzie
1 fT
sn  f T
sn  f T
1
2 fT
2  jnfT t
s
(
t
)
e
dt

0
2  j n fT t
s
(
t
)
e
dt

 2 1f
T
Niech
czyli
nf T  f
n   ,  
Dodatkowo niech
fT  0
sn  f T s ( f )
4
Od szeregu do transformacji Fouriera
Podstawiając
sn  f T s ( f )
oraz
nf T  f

s ( f ) 
otrzymujemy
2 jft
s
(
t
)
e
dt

dla
fT  0

Ze wzoru
s( t ) 

2  jn f T t

s
(
n
f
)
e
fT
 T
n 
otrzymujemy
oznaczając
f T  df

s (t ) 
2 jft

s
(
f
)
e
df


5
Bramka prostokątna i jej widmo Fouriera
Sygnał
Widmo jest funkcją
rzeczywistą
s (t)
s (f) 
^
Amplituda
1
0
1
0
-T
0
T
Obliczyć widmo sygnału
1 dla  T  t  T
s(t )  
0 dla t  T i t  T
-2 /T
Czas
-1 /T
0
-1 /T
2 /T
Częstotliwość
Posługując się definicją transformacji Fouriera
T
s ( f ) 
e
T
 2 jft
1
dt  
e 2jft
2 j f
T
T
sin(2 f T )

 f
6
Definicja transformacji Fouriera
s (t ) 
Ogólnie
sˆ( f )

s( f )    s( t )e   j f t dt


s( t ) 
2

jft

s
(
f
)
e
df


Dla nas   1 i   2
Często   1 i   1
lub   1 / 2 i   1
7
Warunki odwracalności transformacji
Fouriera
Twierdzenie 1.
Niech dany będzie sygnał
Fouriera s  L1 () , wtedy
s  L1 (  ) taki, że jego transformata

s(t ) 
e
2 jft


2 jft
s
(
t
)
e
dt df


w każdym punkcie t dla którego sygnał s jest ciągły.

Twierdzenie 2.
Jeżeli sygnał
s  L1 (  )  L2 (  )
to wtedy jego transformata
sˆ  L2 ().

8
Widma sygnałów

s ( f ) 
2 jft
s
(
t
)
e
dt


s( f )  r( f )  j i( f )  s( f ) e j ( f )  A( f ) e j  ( f )
, A( f ) - widma amplitudowe,
 ( f ) ,  ( f ) - widma fazowe,
s( f )
r ( f )
i ( f )
- widmo rzeczywiste,
- widmo urojone.
s( f )  r 2 ( f )  i 2 ( f )
 iˆ( f ) 

 ( f )  arctg
 rˆ( f ) 
9
 iˆ( f ) 

 ( f )  arctg
 rˆ( f ) 
Widma sygnałów

arc tg :     / 2,  / 2

zatem
 / 2   ( f )   / 2
 r 2 ( f )  i 2 ( f )

sin ( f ) dla  ( f )  0
A( f )  
i( f )
r( f )
dla  ( f )  0
 ( f )
 ( f )  argsˆ( f )   
 ( f )  
dla
dla
A( f )  0
A( f )<0
A( f )  sˆ( f )
   ( t )  
Wzajemna jednoznaczność między widmem s( f ) a widmami
amplitudowymi i fazowymi:
s( f ) razem z  ( f )
lub
A( f ) razem z  ( f )
10
Parzystość widma rzeczywistego i amplitudowego
oraz nieparzystość widma urojonego i fazowego

s( f ) 
 s (t )e
2 jft


 s(t )cos (2ft )  j sin(2ft ) dt  r( f )  j i( f )
dt 

gdzie

r( f ) 
 s(t ) cos(2ft ) dt


i( f )    s (t ) sin(2ft ) dt

r(  f )  r( f )
i(  f )   i( f )
 iˆ( f ) 

ˆ
r
(
f
)


 ( f )  arctg
s ( f )  r ( f )  i ( f )
2
2
sˆ( f )  sˆ( f )
 ( f )   ( f )
11
Własności widm
s ( f )  r 2 ( f )  i 2 ( f )
 ( f )  arc tg(i( f ) r( f ))

s( f ) 
 s (t )e
2 jft

Dla sygnału

dt 
 s(t )cos (2ft )  j sin(2ft ) dt  r( f )  j i( f )

s (t )  s (  t )
otrzymujemy

sˆ( f )  rˆ( f )  2  s (t )cos(2ft )dt
0
Dla sygnału s ( t )   s (  t )

otrzymujemy
sˆ( f )  jiˆ( f )  2 j  s (t ) sin( 2ft )dt
0
12
Transformacja Fouriera jest
przekształceniem liniowym

2  j f t
s
(
t
)

s
(
t
)
e
dt  s1 ( f )  s2 ( f )


2
 1
Addytywność


2 jft
a
s
(
t
)
e
dt  as ( f )

Jednorodność


Zatem
 a s (t )  b s (t )e
1
2
2 jft
dt  a s1 ( f )  b s2 ( f )

13
Zachowanie iloczynu skalarnego
Twierdzenie Rayleigha


 s (t ) s (t ) dt   s ( f ) s ( f ) df
1

2
1
2

Wynika stąd
s1 , s2  0  sˆ1 , sˆ2  0
14
Zachowanie energii
Twierdzenie Parsevala
s
2
L2
 s
2
L2
zatem

2
s
 (t ) dt 



2
s( f ) df

15
Zachowanie odległości
Skoro

s

2
(t )dt 


2
sˆ( f ) df

to przyjmując
s (t )  s1 (t )  s2 (t )
dzięki liniowości transformacji Fouriera otrzymujemy


2
ˆ
ˆ


s
(
t
)

s
(
t
)
dt

s
(
f
)

s
(
f
)
df
2
2
 1
 1

2

16
Ograniczone nośniki
Niech sygnał ma ograniczony nośnik.
dsˆ( f )
 2j  t s (t )e  2jft dt
df
0
T
T
sˆ( f )   s (t )e  2jft dt
0
T
d n sˆ( f )
n
 2jft
n




2

j
t
s
(
t
)
e
dt
n

df
0
d n sˆ( f )
 2 n  nT n  s (t ) dt  2 n  nT n s
n
df
0
T
L1
Oznacza to, że widmo sˆ( f ) jest funkcją analityczną.
Analityczna funkcja - funkcja różniczkowalna, której pochodne są
również różniczkowalne. Oznacza to, że funkcja analityczna zmiennej
zespolonej może być lokalnie (tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego
punktu f 0 ) przedstawiona w postaci szeregu potęgowego

d n sˆ
sˆ( f )   n
n  0 df
f  f0
( f  f0 )n
n!
Zasada nieoznaczoności Heinsenberga
Oznacza to, że widmo może być lokalnie, tzn. w pewnym otoczeniu
dowolnego punktu f 0 , przedstawione w postaci szeregu potęgowego

d n sˆ
sˆ( f )   n
n  0 df
f  f0

( f  f0 )n
  an f n
n!
n 0
czyli nośnik widma nie może być ograniczony!
s (f) 
^
s (t)
1
1
0
0
-T
0
T
-2 /T
-1 /T
0
-1 /T
2 /T
Impuls prostokątny i jego widmo amplitudowe.
Postępując podobnie można udowodnić, że jeżeli nośnik widma jest
ograniczony, to nośnik sygnału nie może być ograniczony.
Nieoznaczoność Heinsenberga
Środek rozłożenia energii sygnału

2
t*  s
 t s(t ) dt
2

Środek rozłożenia energii widma sygnału
f*  s
2


2
f sˆ( f ) df

Unormowane kwadraty odchyleń standardowych dla rozkładów
energii
  s
2
t
2

 (t  t )
*
2
2
s (t )dt

Zasada Heinsenberga
  s
2
f
2

( f  f
*
) 2 sˆ( f ) 2 df

 t  f  0,5
19
Dualność transformacji Fouriera

s( f ) 
2  j f t
s
(
t
)
e
dt


s( ) 




 2 jf
e

2 j f t
s
(
t
)
e
dt df

Otrzymujemy zależność zwaną dualnością transformacji Fouriera
s ( )  s(  )

s( f ) 
 s( t ) e


 2 jft
dt

s(  f ) 
 s(t )e
 2 jft
dt

20
Zmiana skali czasu sygnału
s (t ) 
sˆ( f )
1
s( at )  a s( f / a)
s1 (t )   (t )
s2 (t )   ( 23 t )
 sin πf  

sˆ1 ( f )  
 πf 
2

 3πf  
 sin 
 
3 
2  

sˆ 2 ( f ) 

2 
πf




2
21
Przesunięcie w dziedzinie czasu
i częstotliwości
Przesunięcie w dziedzinie czasu
s (t  t 0 )  s( f ) e 2jft0

bo  s(t  t 0 )e 2jft dt po podstawieniu   t  t 0 równa się


2jft0 2jf
s
(

)
e
e
d


Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
s ( t ) e 2jf t  s ( f  f 0 )
0
s ( t ) e 2jf 0 t  s ( f  f 0 )
Sumując obustronnie otrzymujemy
2 s(t )cos(2f 0 t )  s( f  f 0 )  s( f  f 0 )
22
 sin( πf ) 
Przesunięcie w dziedzinie czasu sin( πf )  πf  1 

sˆ1 ( f ) 

s1 (t )  t  32   (t )

 j2πf
πf
1


s2 (t )  s1 (t  1)  t  2    (t  1)



 sin( πf )  
1 


sin(
π
f
)
π
f
   exp(  j2πf )
sˆ2 ( f )  sˆ1 ( f )  exp(  j2πf )  

 πf

 j2πf






23
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
s1 (t )   ( 2t  1)   ( 2t  1)
s2 (t )   (2t  1)   (2t  1)   exp( j2πt )
 πf
2 sin 
 2
sˆ1 ( f ) 
πf
 π( f  1) 
2 sin 

2

  cosπ( f  1) 
sˆ2 ( f )  sˆ1 ( f  1) 
π( f  1)


  cos( πf )
24
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
Jeżeli :
- sygnał s(t) i jego kolejne pochodne aż do rzędu n-1 są ciągłe,
- pochodna rzędu n istnieje prawie wszędzie,
- sygnał i wszystkie jego pochodne aż do rzędu n posiadają
transformaty Fouriera, czyli dostatecznie szybko dążą do zera dla t  
to
d n s(t )

n
dt
2jf  n s( f )
25
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
2
s1 (t )   (t )
s2 (t ) 
ds1 (t )
  (t  1)   (t  1)
dt
 sin( πf ) 

sˆ1 ( f )  
 πf 
j2 sin 2 ( πf )
sˆ2 ( f ) 
πf
26
Różniczkowanie
w dziedzinie częstotliwości
s( f )  r( f )  ji( f )
i (  f )   i ( f )
r (  f )  r ( f )
Obustronnie różniczkując otrzymujemy
d n i(  f )
d n i( f )
( 1)

d ( f ) n
df n
d n r(  f ) d n r( f )
( 1)

d ( f ) n
df n
n
n
Można udowodnić, że
d n sˆ( f )
( 2jt ) s (t ) 
df n
n
Warunek wystarczający


t n s(t ) d t  

27
Splot w dziedzinie czasu

s(t ) 

gdy
s1 ( ) s2 (t   ) d
s1 , s2  L2 (  ,  )

s1 ( t ) s2 ( t )
Splot oznaczamy
Przemienność splotu

s1 (t ) s 2 (t ) 
 s ( ) s
1

2

(t   ) d   s 2 ( ) s1 (t   ) d s 2 (t ) s1 (t )

t
Gdy s1 (t )  0 i
s2 ( t )  0
dla t  0 to s1 (t )  s 2 (t )   s1 ( )s 2 (t   )d
0
Musi być
t    0 aby s2 (t   ) nie było równe zeru

 s ( ) s
1

2
(t   )dt

sˆ1 ( f )sˆ2 ( f )
28
Przykład splotu w dziedzinie czasu
29
Wzory do rysunków
Splatane sygnały
sin( πf )
 cos( πf )
πf
s1 (t )  t   (t )  sˆ1 ( f ) 
j2πf
s2 (t )   (t )  sˆ2 ( f ) 
sin( πf )
πf
Splot w dziedzinie czasu i jego widmo
2
 sin( πf )  sin( 2 πf )
 

2
2
t t 
t t 
πf 
2πf

1
1
ˆ
ˆ




s1 (t ) * s2 (t )  
   (t  2 )   2    (t  2 )  s1 ( f )  s1 ( f ) 
2
j2πf




30
Splot w dziedzinie częstotliwości
i całkowanie w dziedzinie czasu
Splot w dziedzinie częstotliwości

s1 (t )s 2 (t )  s1 ( f ) s2 ( f ) 
 s ( g )s
1
2
( f  g ) dg

Całkowanie w dziedzinie czasu
t
 s( ) d 

Warunek
s (0)  0

1
s( f )
2jf

 s(t ) dt  0

31
Impuls paraboliczny
Dla sygnału
6t 2  6t  1 dla
1 t  1
s( t )  
dla t  1 i t  1
0
znaleźć składową parzystą i nieparzystą oraz wyznaczyć ich widma.
32
Rozłożenie na część parzystą i nieparzystą
Każdy sygnał można jednoznacznie rozłożyć na sumę
s  s p  sn
gdzie
sygnał parzysty
s p ( t )  21 s( t )  s(  t )
sygnał nieparzysty
tzn.
sn ( t ) 
1
2
s( t )  s(  t )
sn ( t )   sn (  t )
sp (t )  sp ( t )
Z teoretycznych rozważań wiemy, że sygnał parzysty ma widmo czysto
rzeczywiste a nieparzysty widmo czysto urojone.
Dla rozważanego przykładu otrzymujemy
s p (t )  6t 2  1
sn (t )  6t
33
Widmo części parzystej
1
s p ( f )   (6t 2  1) e 2jft dt
1
Posługując się tożsamością
e at 2 2
 t e dt  a 3 a t  2at  2
2
at
gdzie
a  2 jf
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
s p ( f ) 
6 cos(2f )
1

2 f 2
 f

3 

sin(2f )
7

2 2
 f 

34
Prezentacja części parzystej
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (f) 
^
s (t)
p
p
6
5
0
0
-1
0
1
Czas
-3
-2
-1
0
1
2
3
Częstotliwość
35
Widmo części nieparzystej
1
sn ( f )  6  t e 2jft dt
1
Posługując się tożsamością
e at
 t e dt  a 2  at  1
at
gdzie
a  2 jf
otrzymujemy widmo czysto urojone
sˆn ( f ) 
j
f

sin( 2 f ) 
 cos( 2 f ) 

2 f 

36
Prezentacja części nieparzystej
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (t)
s (f) 
^
n
n
6
5
0
-5
0
-1
0
1
Czas
-3
-2
-1
0
1
2
3
Częstotliwość
37
Wykresy do powyższego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (t)
s (f) 
^
6
10
0
0
-1
0
1
Czas
-3
-2
-1
0
1
2
3
Częstotliwość
38
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (t)
s (f) 
^
1
6
0
0
0
1
2
-3
Czas
-2
-1
0
1
2
3
Częstotliwość
39
Przykład transformaty Fouriera
t 2

s(t )  1
0

Wyznaczyć widmo sygnału
dla 0  t  1
dla 1  t  2
dla pozostałych t
Ze wzoru definiującego transformatę Fouriera
1
s( f )   t e
2
2 jft
0
Posługując się tożsamością
2
dt   e 2jft dt
1

e at 2 2
 t e dt  a 3 a t  2at  2
2
at

otrzymujemy
sˆ( f ) 
1  cos(2f )  sin(2f )
 sin(4f ) 

f
2f 
 1
sin(2f )  cos(2f ) 

j 2 2  cos(4f ) 
f
 2 f

40
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (f) 
^
s (t)
1
1
0
-5
0
0
0 .5
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
2
Czas
Częstotliwość
41
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału
1 dla 0  t  0,5 i 1  t  2
s( t )  
0 dla pozostałych t
Posługując się definicją transformaty Fouriera
s( f ) 

0,5
2
0
1
2 jft
2 jft
e
dt

e
dt 


1
sin(4f )  sin(2f )  sin(f )  j cos(4f )  cos(2f )  cos(f )  1
2f
42
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (f) 
^
s (t)
1
1
0
0
-1
-T
0
T
Czas
-5 /T
-4 /T
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
4 /T
5 /T
Częstotliwość
43
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
 1 dla  T  t  0

s (t )  1 dla 0  t  T
 0 dla
t T

Posługując się definicją transformaty Fouriera
s ( f ) 
Po całkowaniu
0
T
T
0
2 jft
2 jft

e
dt
e
dt


1 2jft
s ( f )  
e
2jf
Po podstawieniu granic
s ( f ) 
0
1 2jft

e
2jf
T
T
0
2j
sin 2 (fT )
f
44
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (f) 
^
s (t)
1
1
0
0
-T
0
T
Czas
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
Częstotliwość
45
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
Korzystając z zależności
 t T

s  ( t )   t  T
 0

dla  T  t  0
dla 0  t  T
dla
t T
t
s ( t ) 
s
 (t ) dt
T
i posługując się twierdzeniem o transformacie z całki
s  ( f ) 
s ( f )
2 j f
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
s ( f ) 
sin 2 ( fT )
2 f 2
46
Wykresy do jeszcze jednego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (f) 
^
s (t)
1
1
0
0
0
T
2T
3T
Czas
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
Częstotliwość
47
Jeszcze jeden przykład dzisiaj
Jakie jest widmo sygnału
e  Tt
s(t )  
 0
dla t  0
dla t  0
Posługując się definicją transformacji Fouriera

s( f )   e  (T  2jf ) t dt  
0
1
e  (T  2jf ) t
T  2jf

0

1
T  2jf
48
Kolejny pouczający przykład
transformaty Fouriera
Dla sygnału w postaci funkcji Gaussa
s(t ) 

 

exp  (t   ) 2 
 2

2
widmo ma postać
 2 2 f 2

s( f )  exp 
 2 jf 



49
Wykresy do kolejnego pouczającego
przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
s (t)
s (f) 
^
1
 = 2
 = 0
0
-1
0
Czas
1
1
 = 2
 = 0
0
-1
0
1
Częstotliwość
50
Uogólnienie transformacji Fouriera
lim s ( t )  s( t ) gdzie   0
 0
lim s ( f )  s( f )
 0
s ( f )
uogólniona transformata Fouriera,
czyli transformata w sensie granicznym
51
Widma impulsu Diraca i sygnału stałego
Widmo impulsu Diraca
sT (t ) 
 t T

s  ( t )   t  T
 0

s ( t )
T2
sT ( f ) 
lim s (t )   (t )
T0
T
dla  T  t  0
dla 0  t  T
dla
t T
sin 2 ( fT )
 f T
2
s( t )   ( t ) 
2
2
lim sT ( f )  1
T 0
s ( f )  1
zatem  (t )  1
Transformata Fouriera sygnału stałego
s(t )  1  s( f )   ( f )
52
Transformaty Fouriera sygnałów
okresowych

lub
Widmo
s(t )  a 0   a n cos(2 nf 0 t )  bn sin( 2 nf 0 t )
s( t ) 
n 1

c e 
2
n 
j n f 0t
n
sc (t )  cos(2nf 0t )
s(t ) cos(2nf 0 t )  0,5 s( f  nf 0 )  0,5 s( f  nf 0 )
cos(2nf 0 t )  0,5 ( f  nf 0 )  0,5 ( f  nf 0 )
sin(2nf 0 t )  0,5 j  ( f  nf 0 )  0,5 j  ( f  nf 0 )
e 2 jnf 0t  cos( 2 nf 0 t )  j sin( 2 nf 0 t )
e 2 jnf 0t   ( f  nf 0 )


s( f )  a0 ( f )  0,5  an  jbn   ( f  nf 0 )   an  jbn   ( f  nf 0 )
n
s( f )   cn  ( f  nf 0 )
n
53
Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości
s1 (t ) 
sin( πt )
πt
s2 (t )   j2πt  s1 (t )   j2sin ( πt )
sˆ1 ( f )   ( f )
sˆ2 ( f )   ( f  12 )   ( f  12 )
54
Iloczyn w dziedzinie czasu
s1 (t )   (t ) 
sˆ1 ( f ) 
s2 (t )  cos(2 πt )  sˆ2 ( f ) 
sin(f )
f
1
 ( f  1)   ( f  1) 
2
s1 (t )  s2 (t )  cos( 2 πt )   (t )  sˆ1 (t ) * sˆ2 (t ) 
sin π( f  1)  sin π( f  1) 

2 π( f  1)
2 π( f  1)
55
Iloczyn w dziedzinie czasu
56
Transformacja Fouriera sygnału
z niezerową wartością średnią
s( t )  s0 ( t )  s
gdzie s0 (t ) ma zerową wartość średnią
T
1
s  lim
T s(t ) dt
T  2T
s(t )  s 0 (t )  s  s( f )  s0 ( f )  s  ( f )
57
Transformacja Fouriera sygnału 2-D
Widmo sygnału dwu-wymiarowego
 
sˆ( f x , f y ) 

 s( x, y)e
 2 j ( f x x  f y y )
dxdy
  
 
s( x , y ) 

2 j ( f x x  f y y )

s
(
f
,
f
)
e
df x df y
 x y

58
Wielowymiarowe przekształcenia Fouriera
Jeśli x , f  n to

s( f ) 

x1 



s( x ) 

f1 
2 j f
s
(
x
)
e

T
x
dx1 dxn
2 j f T x
df 1 df n
xn 


 s( f ) e
f n 
59