Zadania na pochodne i całki

PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 - seria pochodne i całki
Zadania na pochodne prostych funkcji
1. Obliczyć pochodne
df
dx
funkcji: a)
f x  sin x  cos x , f) f x   x 2 ln x , g) f x  
f x   xe x , b)
f x   e x , c)
sin x 2
sin x
x
x
2
, h) f x  
2
f x  x cos x , d)
f x   cos 2 x  , e)
. Spróbuj naszkicować przebieg tych funkcji.
2. Znaleźć drugie pochodne funkcji z 1. zadania.
3. Znaleźć zależność prędkości od czasu vt  
dx
dt
oraz przyspieszenie at  
d 2x
dt 2
, jeśli położenie jest opisane
zależnością xt   At 2 e  Bt , gdzie A i B dodatnie stałe. W jakiej chwili czasu prędkość osiąga wartość
maksymalną i ile ona wynosi?
4. Położenie w ruchu punktu materialnego po linii prostej jest opisane funkcją xt   At 2  Bt  C , gdzie B i C
dodatnie, a A ujemne stałe. Znajdź zależności vt  i at  . Czy prędkość w tym ruchu ma wartość maksymalną?
Jeśli tak, to ją wyznacz.
Zadania na nieskomplikowane całki
5. Czasowa zależność przyspieszenia pewnego punktu materialnego jest opisana wzorem at   Ae  Bt , gdzie A, B
stałe dodatnie. Znaleźć zależności czasowe prędkości vt  i położenia xt  . W chwili początkowej t  0
prędkość wynosiła v0  v0 , a położenie x t   0 .
6. Czasowa zależność przyspieszenia pewnego punktu materialnego jest opisana wzorem a t   A  Bt , gdzie A,
B stałe dodatnie. Znaleźć zależności czasowe prędkości vt  i położenia xt  . W chwili początkowej t  0
prędkość wynosiła v0  v0 , a położenie x0  0 .
7. Na 1-wymiarowej drodze od punktu A ( x A  0 ) do punktu B ( x B  x2 ) działa siła zależna od położenia wg
wzoru F x   kx , gdzie k – stała dodatnia. Znajdź pracę siły F na drodze AB. Wsk. Praca dW wykonana
przez siłę Fx) na odcinku dx wynosi dW  Fdx .
8. Na 1-wymiarowej drodze od punktu A ( x A  x1  0 ) do punktu B ( xB  x2  x1 ) działa siła zależna od
położenia wg wzoru F x   A coskx  , gdzie A, k – stałe dodatnie. Znajdź pracę siły F na drodze AB. Wsk.
Praca dW wykonana przez siłę Fx) na odcinku dx wynosi dW  Fdx .
9. Na 1-wymiarowej drodze od punktu A ( x A  x1  0 ) do punktu B ( xB  x2  x1 ) działa siła zależna od
położenia wg wzoru F  x   Ax 2 , gdzie A – stała dodatnia. Znajdź pracę siły F na drodze AB. Wsk. Praca dW
wykonana przez siłę Fx) na odcinku dx wynosi dW  Fdx .
Wzory
matematyczne
przydatne
w
rozwiązaniach
można
znaleźć
http://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals#Integrals_of_simple_functions
np.
na
stronie