1. Stosując wzór na całkowanie przez części obliczyć całki - E-SGH

1. Stosując wzór na całkowanie przez części obliczyć całki:
R
R
R
a) x5 ln xdx,
b) x2 sin 2xdx,
c) ln2 xdx,
2. Korzystając z metody całkowania przez podstawienie obliczyć całki:
Z
R
R
1
3
7
a) (5x + 3) dx,
b) sin xdx
c)
dx,
x ln x ln(ln x)
Z
R √ln x
2
d) xe−x dx,
e)
dx.
x
3. Obliczyć całki:
Z 1
R
R√
√
ex
2
x sin(2 x)dx,
c) x(x2 + 1)ex dx,
a)
dx,
b)
3
x
Z
R
sin x
√
d)
dx,
e) ;-) ex sin x dt.
3
1 + 2 cos x
Odpowiedzi
1.
a) 16 x6 ln x −
1 6
x
36
+ c,
b)
1
4
cos 2x + 12 x sin 2x − 21 x2 cos 2x + c,
c) x ln2 x − 2 ln x + 2 + c, wsk. w pierwszym całkowaniu przez części
przyjąć f (x) = ln2 x, g 0 (x) = 1.
2.
a)
1
(5x + 3)8 + c,
40
1
cos3 x − cos x +
3
b)
c, wsk. sin2 x = 1 − cos2 x, podstawić t = cos x,
c) ln (ln (ln x)) + c, wsk. t = ln(ln x),
√
2
d) − 12 e−x , +c e) 23 ln3 x + c.
3.
1
ex
a)
(x − 1) + c, wsk. podstawić t = x1 i potem przez części,
x
√
√
√
√
√
b) 12 cos 2 x + x sin 2 x − x cos 2 x + c, wsk. podstawić t = x
i skorzystać z zadania 1.b),
2
c) 21 x2 ex + c, wsk. podstawić t = x2 i potem przez części,
p
d) - 34 3 (2 cos x + 1)2 + c, wsk. podstawić np. t = 1 + 2 cos x,
e) tex sin x + c.