Page 1 Ciągi liczbowe. Granica ciągu liczbowego. Izolda Gorgol

Ciągi liczbowe. Granica ciągu liczbowego.
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Definicja ciągu liczbowego
DEFINICJA Nieskończonym ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję f : N → R określoną na zbiorze liczb
naturalnych o wartościach rzeczywistych.
Zwyczajowo, zamiast f (n) piszemy an .
an oznacza n-ty wyraz ciągu
(an ) oznacza ciąg liczbowy
Ciągi monotoniczne
DEFINICJA
^
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
an+1 > an .
n∈N
^
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
an+1 > an .
n∈N
^
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
an+1 < an .
n∈N
^
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
an+1 6 an .
n∈N
Ciągi ograniczone
DEFINICJA
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy ograniczonym od góry wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
_ ^
an 6 C.
C∈R n∈N
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy ograniczonym od dołu wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
_ ^
an > c.
c∈R n∈N
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
_ ^
|an | 6 M.
M >0 n∈N
Zbieżność ciągu liczbowego do granicy skończonej
DEFINICJA Mówimy, że ciąg liczbowy (an ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista g
taka, że
^ _ ^
|an − g| < ε.
ε>0 δ>0 n>δ
Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an ).
n→∞
Fakt ten wyrażamy symbolicznie lim an = g lub an −→ g.
n→∞
1
= 0.
n
√
Twierdzenie lim n a = 1 dla a > 0.
Twierdzenie lim
n→∞
n→∞
1
Zbieżność ciągu liczbowego do nieskończoności
DEFINICJA Mówimy, że ciąg liczbowy (an ) jest zbieżny do +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
^ _ ^
an > M.
M >0 δ>0 n>δ
n→∞
Fakt ten wyrażamy symbolicznie lim an = +∞ lub an −→ +∞.
n→∞
DEFINICJA Mówimy, że ciąg liczbowy (an ) jest zbieżny do −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
^ _ ^
an < −M.
M >0 δ>0 n>δ
n→∞
Fakt ten wyrażamy symbolicznie lim an = −∞ lub an −→ −∞.
n→∞
Jednoznaczność granicy ciągu
TWIERDZENIE Jeżeli ciąg jest zbieżny, to posiada dokładnie jedną granicę.
TWIERDZENIE Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Działania arytmetyczne na granicach ciągów zbieżnych
n→∞
n→∞
TWIERDZENIE Niech dane będą dwa ciągi zbieżne do granic skończonych: an −→ a oraz bn −→ b. Wówczas
— lim (an + bn ) = lim an + lim bn = a + b;
n→∞
n→∞
n→∞
— lim (an − bn ) = lim an − lim bn = a − b;
n→∞
n→∞
n→∞
— lim (an bn ) = lim an · lim bn = ab;
n→∞
n→∞
n→∞
— jeżeli ponadto bn 6= 0 oraz b 6= 0, to lim
n→∞
an
limn→∞ an
a
=
= .
bn
limn→∞ bn
b
Symbole nieoznaczone
Są to sytuacje, które występują przy okazji obliczania granic ciągów (funkcji). W tego typu sytuacjach granice
mogą istnieć lub nie, a nawet jeśli istnieją, to mogą być równe różnym wartościom, w zależności od konkretnych ciągów
(funkcji) występujących w danym przypadku.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
∞
∞
0
0
∞−∞
0·∞
1∞
00
∞0
Twierdzenie o trzech ciągach
TWIERDZENIE Niech (an ), (bn ), (cn ) będą ciągami liczbowymi takimi, że
1. lim an = lim cn = g,
n→∞
n→∞
2. an 6 bn 6 cn , dla n > k dla pewnego k ∈ N.
Wtedy ciąg liczbowy (bn ) jest zbieżny oraz lim bn = g.
n→∞
WNIOSEK Iloczyn ciągu zbieżnego do 0 i ciągu ograniczonego jest ciągiem zbieżnym do 0.
TWIERDZENIE lim
n→∞
√
n
n=1
Zbieżność ciągu a jego ograniczoność
2
TWIERDZENIE Jeżeli ciąg liczbowy (an ) jest zbieżny do granicy skończonej, to jest ograniczony.
UWAGA Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
TWIERDZENIE Jeżeli ciąg liczbowy (an ) jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny do granicy skończonej.
Liczba e
TWIERDZENIE Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym an = (1 + n1 )n jest ograniczony.
TWIERDZENIE Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym an = (1 + n1 )n jest rosnący.
WNIOSEK Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym an = (1 + n1 )n jest zbieżny.
DEFINICJA Granicę ciągu liczbowego o wyrazie ogólnym an = (1 +
symbolem e.
def
e = lim
1+
n→∞
1
n
1 n
n)
n
Twierdzenia o ciągach zbieżnych do e
TWIERDZENIE lim
n→∞
1−
TWIERDZENIE lim
n→−∞
1
n
n
1
1+
n
= e−1
n
=e
TWIERDZENIE Niech (an ) i (bn ) będą ciągami takimi, że
1. lim an = 0
n→∞
2. lim bn = ∞
n→∞
3. istnieje granica lim an · bn .
n→∞
Wówczas
b
lim (1 + an ) n = elimn→∞ an ·bn .
n→∞
3
nazywamy stałą Eulera i oznaczamy