Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
wykład z MATEMATYKI
Technika Rolnicza i Leśna
studia stacjonarne
sem. I, rok ak. 2011/2012
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Ciągi liczbowe i ich własności
Definicja 1.1. Ciągiem nazywamy każdą funkcję f , której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych
N (ciąg nieskończony) lub skończony początkowy podzbiór zbioru liczb naturalnych {1, 2, 3, . . . , k}
(ciąg skończony). Przyjmuje się też czasami, że dziedziną ciągu może być zbiór liczb naturalnych
z zerem (np. w ciągu Fibonacciego).
Wartość funkcji f dla argumentu n, f (n), nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy symbolem
an : an = f (n).
Ciąg o wyrazach an zapisujemy symbolicznie jako (an ).
Wyrazami ciągu mogą być elementy dowolnego zbioru A. Jeśli zbiór A jest zbiorem liczb rzeczywistych (lub zespolonych), to ciąg nazywamy liczbowym.
Jeżeli A = R, to
an
a2
a1
1
2
3
4
5
n
Rysunek 1: Wykres ciągu.
1
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Najważniejsze sposoby opisu ciągów liczbowych:
• Wzór ogólny - podaje zależność między n-tym wyrazem ciągu a jego numerem n (wskaźnikiem n), np.
n+2
,
2 − 5n
an =
bn = (−1)n
n2
,
2n
cn = 2 n ,
dn = 5 + 3n.
• Wzór rekurencyjny (indukcyjny) - wyraz an ciągu zostaje wyrażony przy pomocy poprzednich wyrazów tego ciągu, przy czym musi zostać podany wyraz pierwszy a1 , np.

a
1
=3
a
n+1
,
= an + 2n + 1


u 0


=0
– ciąg Fibonacciego
u =1
1



u
n+2
= un + un+1
• Nie każdy ciąg liczbowy daje się przedstawić przy pomocy powyższych wzorów. Istnieją ciągi,
które możemy określać opisowo, np. an =n-ta liczba po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym
liczby π.
1.1
Monotoniczność i ograniczoność ciągu.
Ciąg (an ) jest ograniczony z dołu, jeżeli ∃m∈R ∀n∈N an > m .
Ciąg (an ) jest ograniczony z góry, jeżeli ∃M ∈R ∀n∈N an 6 M .
an
an
M
m
1
2
3
4
5
6
7
n
1
(a) wykres ciągu ograniczonego z dołu
2
3
4
5
6
7
n
(b) wykres ciągu ograniczonego z góry
Rysunek 2: Wykres ciągu ograniczonego z dołu i z góry.
Ciąg (an ) jest ograniczony, jeżeli ∃m,M ∈R ∀n∈N
m 6 an 6 M .
def
Definicja 1.2. Ciąg jest ograniczony ⇐⇒ ∃M ∈R ∀n∈N |an | 6 M .
def
Definicja 1.3. Ciąg (an ) nazywamy rosnącym ⇐⇒ ∀n∈N an+1 > an - tzn. każdy następny wyraz
jest większy od poprzedniego.
def
Definicja 1.4. Ciąg (an ) nazywamy malejącym ⇐⇒ ∀n∈N an+1 < an - tzn. każdy następny wyraz
jest mniejszy od poprzedniego.
2
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
an
M
m
1
2
3
4
5
6
n
7
Rysunek 3: Wykres ciągu ograniczonego.
an
an
1
2
3
4
5
6
7
n
1
(a) wykres ciągu rosnącego
2
3
4
5
6
7
n
(b) wykres ciągu malejącego
Rysunek 4: Wykres ciągu rosnącego i malejącego.
def
Definicja 1.5. Ciąg (an ) nazywamy nierosnącym ⇐⇒ ∀n∈N an+1 6 an - tzn. każdy następny
wyraz jest nie większy od poprzedniego (mniejszy bądź równy).
def
Definicja 1.6. Ciąg (an ) nazywamy niemalejącym ⇐⇒ ∀n∈N an+1 > an - tzn. każdy następny
wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego (większy bądź równy).
an
an
1
2
3
4
5
6
7
n
1
(a) wykres ciągu nierosnącego
2
3
4
5
6
7
n
(b) wykres ciągu niemalejącego
Rysunek 5: Wykres ciągu nierosnącego i niemalejącego.
def
Definicja 1.7. Ciąg (an ) nazywamy stałym ⇐⇒ ∀n∈N an+1 = an - tzn. wszystkie wyrazy ciągu
są takie same.
Uwaga 1.8. Ciąg stały jest nierosnący i niemalejący jednocześnie.
3
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
an
1
2
3
4
5
6
7
n
Rysunek 6: Wykres ciągu stałego.
Ciąg nierosnący lub niemalejący nazywamy monotonicznym, ciąg rosnący lub malejący nazywamy
ściśle monotonicznym.
Aby zbadać monotoniczność ciągu wyznaczamy różnicę an+1 − an i badamy jej znak.
Ponadto monotoniczność ciągu (bn ) o wyrazach dodatnich możemy ustalić porównując znak ilorazu
bn+1
z 1. Korzystamy wtedy z tabeli:
bn
an+1 − ab
>0
<0
>0
60
=0
1.2
1.2.1
bn+1
bn
>1
<1
>1
61
=1
Ciąg
rosnący
malejący
niemalejący
nierosnący
stały
Granica ciągu liczbowego.
Granica właściwa ciągu.
Definicja 1.9. Liczbę g spełniającą dla danego ciągu nieskończonego (an ) warunek:
∀ε>0 ∃n0 ∈N ∀n∈N [n > n0 ⇒ |an − g| < ε]
nazywamy granicą właściwą tego ciągu, co symbolicznie zapisujemy w postaci n→∞
lim an = g.
def
lim an = g ⇐⇒ ∀ε>0 ∃n0 ∈N ∀n∈N [n > n0 ⇒ |an − g| < ε]
n→∞
Granica ciągu jest wyznaczona jednoznacznie.
Z definicji tej wynika, że liczba g jest granicą ciągu (an ), jeśli prawie wszystkie wyrazy tego
ciągu (tzn. wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego bez pewnej liczby jego początkowych wyrazów)
należą do przedziału (g − ε, g + ε). Mówiąc inaczej dla coraz większych n, różnica pomiędzy liczbą
g, a wyrazem an jest coraz mniejsza.
1.2.2
Granica niewłaściwa ciągu.
Definicja 1.10. Ciąg nazywamy rozbieżnym do +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby
M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M.
def
lim an = +∞ ⇐⇒ ∀M ∈R ∃n0 ∈N ∀n∈N [n > n0 ⇒ an > M] .
n→∞
4
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
an
g+ε
g
g−ε
b
b
b
b
b
b
b
b
3
4
5
6
7
8
9
b
1
2
n
Rysunek 7: Ilustracja granicy ciągu.
Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz
większe.
an
b
b
b
b
b
b
M
b
b
1
2
b
3
4
5
6
7
8
9
n
Rysunek 8: Ilustracja ciągu rozbieżnego do +∞.
Definicja 1.11. Ciąg (an ) nazywamy rozbieżnym do −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej
liczby M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od M.
def
lim an = −∞ ⇐⇒ ∀M ∈R ∃n0 ∈N ∀n>n0 ∀n∈N [n > n0 ⇒ an < M] .
n→∞
Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są
coraz mniejsze i ujemne.
Ciąg mający granicę właściwą nazywamy ciągiem zbieżnym.
Ciąg nie mający granicy właściwej nazywamy ciągiem rozbieżnym.
1.3
Twierdzenia o ciągach zbieżnych.
Twierdzenie 1.12. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Twierdzenie 1.13. Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
5
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Twierdzenie 1.14. Granicą ciągu stałego o wyrazach równych a jest liczba a.
Twierdzenie 1.15. Jeżeli ciągi (an ) i (bn ) są zbieżne, przy czym lim an = a i lim bn = b, to
n→+∞
n→+∞
zbieżne
są też ciągi (an + bn ), (an − bn ), (an · bn ), a przy założeniu, że b 6= 0 i bn 6= 0 jest zbieżny
an
ciąg
i zachodzą związki:
bn
•
•
lim (an + bn ) = a + b .
•
lim (an − bn ) = a − b .
•
n→+∞
n→+∞
lim (an · bn ) = a · b .
n→+∞
lim
n→+∞
an
a
= .
bn
b
Twierdzenie 1.16. Dla dowolnej liczby rzeczywistej k ∈ R i ciągu (an ) o granicy a zachodzi:
lim k · an = k · a .
n→+∞
Twierdzenie 1.17 (Twierdzenie o trzech ciągach). Jeżeli ciągi (an ) i (bn ) są zbieżne do tej
samej granicy g i jeśli (cn ) jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają zależność:
an 6 cn 6 bn , to ciąg (cn ) jest zbieżny do granicy g.
Twierdzenie 1.18. Jeśli lim an = ±∞, to lim
n→+∞
n→+∞
1
Twierdzenie 1.19. Ciąg en = 1 +
n
n
1
= 0.
an
jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny.
Uwaga 1.20. Granicę tego ciągu oznaczamy przez e :
e = lim
n→+∞
1+
1
n
n
.
e ≈ 2, 718281828459045235360287469653736354970343821599779907318239771902457196072..... .
1
Twierdzenie 1.21. Jeżeli lim an = 0 oraz an 6= 0 dla n ∈ N, to lim (1 + an ) an = e .
n→∞
n→∞
Granice niektórych ciągów.
1.
lim a = a.
7.
n→+∞
1
= 0.
n→+∞ n
√
3. lim n a = 1, dla a > 0.
2.
lim
8.
4.
lim
n→+∞
9.
n = 1.
an
= 0, dla a > 0.
n→+∞ n!
an
6. lim k = +∞, dla a > 1 i k > 1.
n→+∞ n
5.
n
= e.
1
1−
n
n
= 1e .
1+
a
n
n
= ea , dla a ∈ R.
n



0,

lim
lim
lim
n→+∞
n→+∞
n→+∞
√
n
1
1+
n
n→+∞
lim
10.
6
lim a =
n→+∞
1,



+∞,
gdy a ∈ (0, 1)
gdy a = 1
gdy a > 1
.
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
2
MATEMATYKA - wykład
Granica i ciągłość funkcji
7
Katedra Matematyki
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
MATEMATYKA - wykład
8
Katedra Matematyki
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
3
3.1
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Pochodne funkcji
Iloraz różnicowy
Definicja 3.1.
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (x0 − r, x0 + r),
gdzie r > 0.
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadającym przyrostowi h, gdzie 0 <
|h| < r, nazywamy liczbę
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
3.1.1
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (x0 , f (x0 ))
oraz (x0 + h, f (x0 + h)) do dodatniej półosi Ox.
y
y = f (x)
f (x0 + h)
∆f = f (x0 + h) − f (x0 )
α
f (x0 )
tg α =
∆x = h
x0
3.2
x0 + h
∆f
∆x
x
Pochodna funkcji
Definicja 3.2. Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale
(x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0.
Jeżeli istnieje skończona granica
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h→0
h
lim
to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f ′ (x0 ) .
Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 .
Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie x0 nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że
funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie x0 .
Pochodna funkcji f w punkcie x0
def
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f ′ (x0 ) = lim
⇔
9
def
f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0
f ′ (x0 ) = lim
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Przykład 3.3. Niech f (x) = x2 . Wtedy
def
(x0 + h)2 − x20
2x0 h + h2
= lim
= 2x0
h→0
h→0
h
h
f ′ (x0 ) = lim
lub
def
x2 − x20
(x − x0 ) · (x + x0 )
= lim
= 2x0 .
x→x0 x − x
x→x0
x − x0
0
f ′ (x0 ) = lim
3.2.1
Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych
(c)′ = 0 , gdzie c ∈ R.
(xp )′ = pxp−1 , dla p ∈ R, zakres zmienności x zależy od p.
′
1
x
=−
√ ′
x
1
, x ∈ R \ {0}.
x2
1
= √ , x ∈ R+ .
2 x
(sin x)′ = cos x , x ∈ R.
(cos x)′ = − sin x , x ∈ R.
(tg x)′ =
1
π
, x 6= + kπ, k ∈ Z.
2
cos x
2
(ctg x)′ = −
1
, x 6= kπ, k ∈ Z.
sin2 x
(ax )′ = ax ln a , a > 0, x ∈ R.
(ex )′ = ex , x ∈ R.
(loga x)′ =
(ln x)′ =
1
, x > 0 i 0 < a 6= 1.
x ln a
1
, x > 0.
x
10
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Definicja 3.4. Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja ciągła f będzie określona przynajmniej na przedziale (x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0.
Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )), jeżeli jest granicznym położeniem
siecznych wykresu funkcji przechodzących przez punkty (x0 , f (x0 )) i (x, f (x)), gdy x → x0 .
y
y = f (x)
f (x)
sieczne
styczna
f (x0 )
x0
3.2.2
←−
x
x
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
Pochodna funkcji w punkcie x0 jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji
f w punkcie (x0 , f (x0 )) do dodatniej półosi Ox.
f ′ (x0 ) = tg α
y
y = f (x)
styczna
f (x0 )
tg α = f ′ (x0 )
α
x0
x
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )):
y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) .
Przykład 3.5.
Niech f (x) = ex . Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x0 = 0 ma postać: y = x + 1 .
y
y = ex
y =x+1
(0, 1)
x
11
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Przykład 3.6.
Niech f (x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x0 = π ma postać:
y =π−x .
y = sin x
y
1
−π
3.2.3
2π
π
−1
3π
4π
x
y =π−x
Kąt przecięcia wykresów funkcji
Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny (x0 , y0 ), przy czym obie funkcje są różniczkowalne
w punkcie x0 .
Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt ostry ϕ miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia
y
y = f (x)
ϕ
f (x0 )
y = g(x)
x
x0
Twierdzenie 3.7. Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny (x0 , y0 ), przy czym obie funkcje
są różniczkowalne w punkcie x0 . Miara kąta przecięcia wykresów funkcji f i g wyraża się
wzorem
f ′ (x ) − g ′ (x ) 0
0
ϕ = arc tg .
1 + f ′ (x0 ) · g ′ (x0 ) Jeżeli f ′ (x0 ) · g ′ (x0 ) = −1, to przyjmujemy ϕ =
3.3
π
.
2
Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji
Twierdzenie 3.8. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest w tym punkcie ciągła.
Uwaga 3.9. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład funkcja f (x) = |x| jest ciągła w punkcie x0 = 0, ale f ′ (0) nie istnieje.
y
y = |x|
2
−4
−2
12
2
x
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
3.4
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Pochodna funkcji na przedziale
Funkcja ma pochodną na przedziale I otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodną w każdym
punkcie tego przedziału.
Funkcję określoną na przedziale I, której wartości w punktach x tego przedziału sa równe f ′ (x)
nazywamy pochodną funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f ′ .
f ′ : x 7→ f ′ (x) ,
3.5
x ∈ I.
Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji
Twierdzenie 3.10. Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie x0 , to:
(f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′(x0 ) .
(f − g)′(x0 ) = f ′ (x0 ) − g ′(x0 ) .
(f · g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g ′(x0 ) .
f
g
!′
f ′ (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g ′ (x0 )
(x0 ) =
, o ile g(x0 ) 6= 0.
g 2(x0 )
Twierdzenie 3.11. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , zaś c ∈ R, to (cf )′ (x0 ) = cf ′ (x0 ) .
Przykład 3.12.
f (x) = x4 + 3x2 −
g(x) = sin x · ctg x , x 6= kπ, k ∈ Z, ⇒ g ′ (x) = cos x ctg x + sin x −
1 √
1
1
+ x ⇒ f ′ (x) = 4x3 + 6x + 2 + √
x
x
2 x
h(x) =
1
1
= cos x ctg x −
2
sin x
sin x
x2 − 1
2x · (x2 + 1) − (x2 − 1) · 2x
4x
′
,
x
∈
R,
⇒
= 2
h
(x)
=
2
2
2
x +1
(x + 1)
(x + 1)2
Twierdzenie 3.13 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
x0 oraz funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f (x0 ), to funkcja g ◦ f jest różniczkowalna w
punkcie x0 oraz
(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′(f (x0 )) · f ′ (x0 ) .
Przykład 3.14.
f (x) = sin3 x ⇒ f ′ (x) = 3 sin2 x · cos x
g(x) = (3x2 + x + 2)5 , ⇒ g ′(x) = 5(3x2 + x + 2)4 · (6x + 1)
13
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
3.5.1
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Postać logarytmiczno–wykładnicza funkcji
Każdą funkcję złożoną postaci [f (x)]g(x) można przedstawić w postaci logarytmiczno–wykładniczej:
[f (x)]g(x) = eg(x)·ln f (x) .
Postać logarytmiczno–wykładniczą stosujemy do obliczania pochodnych funkcji danych w postaci
[f (x)]g(x) .
Przykład 3.15. f (x) = xx = ex ln x ⇒ f ′ (x) = ex ln x · (ln x + x · x1 ) = xx · (ln x + 1)
Twierdzenie 3.16 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech x0 ∈ Df . Niech f będzie funkcją ciągłą
i różnowartościową w otoczeniu punktu x0 oraz taką, że f ′ (x0 ) 6= 0. Wówczas
′
f −1 (y0 ) =
1
f ′ (x0 )
,
gdzie y0 = f (x0 ).
3.5.2
Pochodne funkcji cyklometrycznych
(arc sin x)′ = √
(arc cos x)′ = − √
3.6
(arc tg x)′ =
1
, x ∈ (−1, 1).
1 − x2
1
, x ∈ (−1, 1).
1 − x2
1
, x ∈ R.
1 + x2
(arc ctg x)′ = −
1
, x ∈ R.
1 + x2
Różniczka funkcji
Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu x0 . Ponadto niech funkcja f ma pochodną
właściwą (jest różniczkowalna) w punkcie x0 .
Definicja 3.17. Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję zmiennych ∆x określoną wzorem:
def
df (x0 )(∆x) = f ′ (x0 ) · ∆x .
Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df (x0 ) lub krótko df .
14
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
3.6.1
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Różniczka i obliczenia przybliżone
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x0 . Wtedy
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 ) · ∆x ,
przy czym błąd jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji ∆f jej różniczką df = f ′ (x)∆x dąży
szybciej do zera niż ∆x, tzn.
∆f − df
lim
=0.
∆x→0
∆x
y
y = f (x)
∆f
df
f (x0 )
∆x
x0
x
Przykład 3.18. Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną wyrażenia
√
Definiujemy funkcję f (x) = x .
Przyjmujemy x0 = 16 ⇒ ∆x = −0,04.
df
1
= f ′ (x) = √ ,więc
Ponieważ
dx
2 x
q
15,96 ≈
3.6.2
√
√
15,96 .
1
16 + √ · (−0,04) = 3,995 .
2 16
Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów
Niech wielkości fizyczne x i y będą związane zależnością y = f (x). Ponadto niech ∆x oznacza błąd
bezwzględny pomiaru wielkości x. Wtedy błąd bezwzględny ∆y obliczeń wielkości y wyraża się
wzorem przybliżonym
∆y ≈ |f ′ (x0 )| ∆x ,
gdzie x0 jest wynikiem pomiaru wielkości x, przy czym f ′ (x0 ) jest właściwa.
Przykład 3.19. Czas w biegu na 100 m mierzy się z dokładnością ∆t = 0,01 s. Zawodnik uzyskał
10 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć prędkość V tego zawodnika?
Ponieważ V =
100
100
, więc V ′ (t) = − 2 , więc
t
t
′
∆V ≈ |V (10)| · ∆t =
100 −
· 0,01
2
10
15
= 0,01
m
.
s
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
3.7
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie 3.20 (Rolle’a). Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
jest ciągła na ha, bi,
ma pochodną na (a, b),
f (a) = f (b),
to istnieje punkt c ∈ (a, b), taki że f ′ (c) = 0.
Twierdzenie 3.21 (Lagrange’a). Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
jest ciągła na ha, bi,
ma pochodną na (a, b),
to istnieje punkt c ∈ (a, b), taki że f ′ (c) =
3.8
f (b) − f (a)
.
b−a
Związek różniczkowalności z monotonicznością funkcji
Twierdzenie 3.22. Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x ∈ I funkcja f spełnia
warunek:
f (x) = 0, to funkcja f jest stała na I;
f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca na I;
′
′
16
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
f (x) > 0, to funkcja f jest niemalejąca na I;
f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca na I;
f (x) 6 0, to funkcja f jest nierosnąca na I.
′
′
′
3.9
Pochodne wyższych rzędów
Pochodne n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie
′
f (n) (x0 ) = f (n−1) (x0 ) ,
dla n > 1.
Przyjmujemy, że f (0) (x0 ) = f (x0 ) i f (1) (x0 ) = f ′ (x0 ).
Piszemy:
f (2) = f ′′ , f (3) = f ′′′ , f (4) = f IV
lub f (1) = f˙, f (2) = f¨
3.10
lub
f (n) =
dn f
.
dxn
Ekstrema funkcji
Definicja 3.23 (minimum funkcji).
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne, jeżeli
∃δ>0 ∀x∈S(x0 ,δ)
f (x) > f (x0 ) .
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne właściwe, jeżeli
∃δ>0 ∀x∈S(x0 ,δ)
f (x) > f (x0 ) .
Definicja 3.24 (maksimum funkcji).
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne, jeżeli
∃δ>0 ∀x∈S(x0 ,δ)
f (x) 6 f (x0 ) .
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne właściwe, jeżeli
∃δ>0 ∀x∈S(x0 ,δ)
f (x) < f (x0 ) .
Minima i maksima lokalne nazywamy EKSTREMAMI LOKALNYMI.
Twierdzenie 3.25 (tw. Fermata: warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej).
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie,
to
f ′ (x0 ) = 0 .
Uwaga 3.26. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład dla funkcji f (x) = x3 mamy f ′ (0) = 0, a f nie ma ekstremum w punkcie x0 = 0.
17
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
y
y = x3
x
Twierdzenie 3.27 (warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej).
Niech x0 ∈ R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciągła w punkcie
x0 i różniczkowalna przynajmniej w sąsiedztwie punktu x0 . Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że
∀x∈(x0 −δ,x0)
f ′ (x) > 0 oraz ∀x∈(x0 ,x0 +δ)
f ′ (x) < 0
to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 3.28 (warunek dostateczny istnienia minimum funkcji różniczkowalnej).
Niech x0 ∈ R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciągłą w punkcie
x0 i różniczkowalną przynajmniej w sąsiedztwie punktu x0 . Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że
∀x∈(x0 −δ,x0)
f ′ (x) < 0 oraz ∀x∈(x0 ,x0 +δ)
f ′ (x) > 0
to w punkcie x0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 3.29 (II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej).
Niech x0 ∈ R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x0 . Jeżeli
① f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 ,
② f (n) (x0 ) 6= 0 ,
to, gdy n > 2 jest parzyste , funkcja f osiąga w punkcie x0 ekstremum lokalne właściwe, przy
czym jest to minimum, gdy f (n) (x0 ) > 0, zaś maksimum gdy f (n) (x0 ) < 0. Gdy n jest nieparzyste,
ekstremum nie występuje.
3.11
Ekstrema globalne
Definicja 3.30. Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A ⊆ Df , jeżeli
istnieje punkt x0 ∈ A, taki że
f (x0 ) = m
i dla każdego x ∈ A
f (x) > f (x0 ) = m .
Liczbę m nazywamy
minimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
18
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Definicja 3.31. Liczba M jest największą wartością funkcji f na zbiorze A ⊆ Df , jeżeli
istnieje punkt x0 ∈ A, taki że
f (x0 ) = M
i dla każdego x ∈ A
f (x) 6 f (x0 ) = M .
Liczbę M nazywamy
maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Minimum i maksimum globalne nazywamy EKSTREMAMI GLOBALNYMI.
Niech A = ha, bi ⊆ R i f : A → R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną
liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krytycznych, tzn.
punktów xk , w których f ′ (xk ) = 0 lub f ′ (xk ) nie istnieje.
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na na domkniętym i ograniczonym zbiorze A, to funkcja
f osiąga na A wartość najmniejszą i największą.
3.11.1
Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji
Niech A = ha, bi ⊆ R i f : A → R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną
liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krytycznych, tzn.
punktów xk , w których f ′ (xk ) = 0 lub f ′ (xk ) nie istnieje.
Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy postępując według algorytmu:
Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnątrz przedziału A i obliczmy wartości funkcji
w tych punktach.
Obliczmy f (a) i f (b).
Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą.
Przykład 3.32. Niech f : A ⊂ R → R i
f (x, y) = |x − 1|,
gdzie A = h0, 3i.
x = 1 jest punktem krytycznym funkcji f , gdyż f (1) nie istnieje. Wtedy f (1) = 00.
f (0) = 1 i f (3) = 22.
Wówczas m = f
=0 iM =f
= 2.
′
najmniejsze
największe
19
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
3.12
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji
Twierdzenie 3.33 (Reguła de l’Hospitala).
Niech funkcje f i g spełniają warunki:
① funkcje f , g i f ′ , g ′ będą określone w sąsiedztwie punktu x0
① lim f (x) = lim g(x) = 0 albo lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
f ′ (x)
=a.
0 g ′ (x)
③ istnieje granica x→x
lim
f (x)
oraz
x→x0 g(x)
Wówczas istnieje granica lim
lim
x→x0
f (x)
=a.
g(x)
Uwaga 3.34. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych, niewłaściwych oraz dla granic w +∞ lub w −∞.
3.13
Wklęsłość i wypukłość
Definicja 3.35. Funkcje f nazywamy wypukłą na przedziale (a, b) ⊆ R wtedy i tylko wtedy,
gdy
∀a<x1 <x2 <b ∀0<t<1 f (tx1 + (1 − t)x2 ) < tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) .
Uwaga 3.36. Geometrycznie funkcja jest wypukła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży powyżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.
Definicja 3.37. Funkcje f nazywamy wklęsłą na przedziale (a, b) ⊆ R wtedy i tylko wtedy, gdy
∀a<x1 <x2 <b ∀0<t<1
f (tx1 + (1 − t)x2 ) > tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) .
Uwaga 3.38. Geometrycznie funkcja jest wklęsła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży poniżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.
3.14
Warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości
Twierdzenie 3.39. Jeżeli f ′′ (x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wypukła na (a, b).
Twierdzenie 3.40. Jeżeli f ′′ (x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b).
Definicja 3.41. Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna przynajmniej w otoczeniu
punktu x0 . Punkt (x0 , f (x0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wypukła na (x0 − δ, x0 ) oraz wklęsła na
(x0 , x0 + δ) lub odwrotnie.
20
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
3.15
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Warunki istnienia punktu przegięcia
Twierdzenie 3.42 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f posiada
pochodną drugiego rzędu w punkcie x0 oraz posiada w punkcie (x0 , f (x0 )) punkt przegięcia, to
f ′′ (x0 ) = 0.
Twierdzenie 3.43 (warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia). Niech x0 ∈ R i f będzie
funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciągłą i różniczkowalną w punkcie x0 . Jeżeli
istnieje δ > 0 takie, że
∀x∈(x0 −δ,x0 )
f ′′ (x) < 0 oraz ∀x∈(x0 ,x0 +δ)
f ′′ (x) > 0
∀x∈(x0 −δ,x0 )
f ′′ (x) > 0 oraz ∀x∈(x0 ,x0 +δ)
f ′′ (x) < 0
lub
to w punkcie (x0 , f (x0 )) funkcja f ma punkt przegięcia.
Twierdzenie 3.44 (warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia). Niech x0 ∈ R i f będzie
funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x0 . Jeżeli
① f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 ,
② f (n) (x0 ) 6= 0 ,
to, gdy n > 3 jest nieparzyste , funkcja f ma w punkcie (x0 , f (x0 )) punkt przegięcia..
3.16
Pochodne a wykres funkcji
f ′′
+
+
–
–
+
–
f′
+
–
+
–
0
0
min. lok
max. lok
f
Uwaga 3.45. Jeżeli f ′′ (x0 ) = 0 i f ′′′ (x0 ) 6= 0, to x0 jest punktem przegięcia wykresu funkcji f .
3.17
Badanie funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wykresu rozumiemy wykonanie
następujących czynności:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wskazanie podstawowych własności:
(a) parzystość lub nieparzystość
(b) okresowość
(c) miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX) i punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OY
(d) ciągłość
21
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
3. Zbadanie zachowania się funkcji na ”końcach” dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu
funkcji.
4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji.
5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia
wykresu funkcji.
6. Sporządzenie wykresu funkcji.
Przykład 3.46. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji f danej wzorem:
f (x) =
x3 +4
x2
.
1. Df = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
2. Podstawowe własności funkcji f :
(a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
(b) f nie jest funkcją okresową.
√
√
(c) f (x) = 0 ⇔ x3 + 4 = 0 ⇔ x = − 3 4, zatem P0 (− 3 4, 0) jest punktem przecięcia
wykresu funkcji z osią OX; brak punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OY .
(d) f jest ciągła w swojej dziedzinie.
3. Ponieważ
x3 + 4
4
lim
= + = +∞,
2
x→0
x
0
więc prosta x = 0 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f .
Ponieważ
x3 + 4
= ±∞,
x→±∞
x2
więc wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych.
lim
Zbadajmy istnienie asymptot ukośnych y = ax + b:
1 + x43
f (x)
x3 + 4
a = lim
= lim
= lim
= 1,
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞
x3
1
b = lim [f (x) − ax] = lim
x→±∞
x→±∞
"
x3 + 4
x3 + 4 − x3
4
4
−
x
=
lim
=
lim
=
= 0.
x→±∞
x→±∞ x2
x2
x2
∞
#
Istnieje więc jedna asymptota ukośna o równaniu y = x .
4. Monotoniczność i ekstrema:
8
x3 − 8
f (x) = 1 − 3 =
,
x
x3
′
f ′ (x) = 0 ⇔ x = 2.
f
f′
+
+
−
0
2
min. lok
22
x 6= 0.
Ponadto fmin (2) = 3 .
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2011/2012
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
5. Wklęsłość i wypukłość:
f ′′ (x) =
24
,
x4
x 6= 0.
f
f ′′
Zauważmy, że dla każdego x 6= 0 mamy f ′′ (x) > 0.
+
+
0
Zatem wykres nie posiada punktów przegięcia – jest to wykres wypukły.
6.
x
f ′′
√ √
−∞, − 3 4 − 3 4
f′
+
+
+
+
√ − 3 4, 0
0
(0, 2)
2
(2, +∞)
+
×
+
+
+
+
×
–
2
–
+∞
f
0
y=x
×
3
y
6
y=
3
√
−34
−4
−2
2
4
−3
23
y=x
+∞
6
x
x3 + 4
x2