Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) 1. Sprawdzić, że macierz

Analiza numeryczna
Lista nr 3 (ćwiczenia)
1. Sprawdzić, że macierz

ma wartości własne 2 +
√
2, 2, 2 −
√

2 1 0


 1 2 1 
0 1 2
2.
2. Niech x ∈ Rn . Udowodnić, że
||x||∞ ¬ ||x||2 ¬
√
n||x||∞ .
3. Niech A ∈ Rn×n będzie macierzą symetryczną. Wiadomo, że wówczas istnieje macierz
ortogonalna Q taka, że A = Qdiag(λj )QT . Udowodnić, że
√
||A||F = ||diag(λj )||F , ||A||2 = max |λj |, ||A||F ¬ n||A||2 .
j
4. Niech macierze A i B będą nieosobliwe. Udowodnić następujące nierówności
||A−1 || ­ 1/||A||, ||A−1 − B −1 || ¬ ||A−1 ||||B −1 ||||A − B||.
5. Wskaźnikiem uwarunkowania zadania rozwiązania układu równań liniowych Ax = b o
nieosobliwej macierzy układu jest wyrażenie cond(A) = ||A||||A−1 ||. Obliczyć wskaźniki
uwarunkowania dla norm || · ||1 , || · ||2 i || · ||∞ dla następujących macierzy
"
a+1
a
a
a−1
#
"
,
6. Niech
A=
"
#
0 1
−2 0
1 γ
0 1
#
,
"
a 1
1 1
#
.
.
Obliczyć wskaźnik uwarunkowania cond∞ (A) i cond1 (A). Niech b = A[1 − γ, 1]T , czyli
rozwiązaniem układu Ax = b jest x = [1 − γ, 1]T . Niech b̂ = b + δb. Niech x̂ będzie
rozwiązaniem układu Ax = b̂. Wyrazić oszacowanie błędu względnego ||x̂ − x||∞ /||x||∞
przez ||δb||∞ /||b||∞ . Czy zadanie rozwiązania układu Ax = b jest dobrze uwarunkowane?
7. Zadanie rozwiązania układu dwóch równań liniowych Ax = b jest równoważne zadaniu znalezienia punktu przecięcia dwóch prostych. Pokazać, że dla kąta α między tymi
prostymi zachodzi
1
| ctg(α)| ¬ condF (A).
2
8. Niech
A=
"
1
2
1 2.01
#
.
Porównać rozwiązanie x układu Ax = b z rozwiązaniem x + ∆x układu
A(x + ∆x) = b + ∆b,
gdzie b = [4, 4]T , ∆b = [−1, 1]T .
1
9. Obliczyc wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązywania układu równań liniowych
Ax = b dla


5 7 3


A =  7 11 2  .
3 2 6
10. Udowodnić, że zadanie rozwiązywania układu równań liniowych Ax = b z macierzą A
ortogonalną (A−1 = AT ) jest zawsze bardzo dobrze uwarunkowane. Czemu równa się
cond2 (A)?
11. Porównać wskaźniki uwarunkowania cond∞ dla macierzy A i macierzy DA, gdzie


1 1
1


100  , D = diag(1/3, 1/111/, 1/10101).
A =  1 10
1 100 10000
12. (Bai) Pokazać, że
||As||22
ssT 2
2
)||
=
||A||
−
.
F
sT s F
sT s
Wskazówka. Zauważyć, że kwadrat normy Frobeniusa dowolnej macierzy A jest równy sumie elementów z głównej przekątnej macierzy AT A (A-rzeczywista) oraz ||AssT AT ||F =
||As||22 .
||A(I −
13. (Bai) Pokazać, że jeśli
A=
"
I Z
0 I
#
,
gdzie I jest macierzą jednostkową stop. n, to condF (A) = 2n + ||Z||2F .
Wskazówka. Zauważyć, że kwadrat normy Frobeniusa macierzy blokowej jest sumą kwadratów norm Frobeniusa jej poszczególnych bloków.
14. Układ równań liniowych
"
2.01 1.01
1
0.5
#
x=
"
−0.01
0
#
ma rozwiązanie x = [1, −2]T . Wyznaczyć rozwiązanie układu w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej 3-cyfrowej za pomocą eliminacji Gaussa.
15. Wyznaczyć liczbę działań potrzebnych do rozwiązania układu równań liniowych z macierzą trójkątną.
16. Rozpatrzyć następującą macierz trójprzekątniową stopnia 4




A=
b1 c1 0 0
a1 b2 c2 0
0 a2 b3 c3
0 0 a3 b4
2



.

Zakładamy, że istnieje rozkład LU macierzy A, czyli że eliminacja Gaussa jest wykonalna. Sprawdzić, że wówczas
1

 a1
 d1
 0
L=
gdzie
0
0
1
a2
d2
0
0
0
1
a3
d3
0
0
0
1






, U = 


d1 c1 0 0
0 d2 c2 0
0 0 d3 c3
0 0 0 d4



,

ai−1 ci−1
dla i = 2, 3, 4.
di−1
Sprawdzić poprawność podanych wyżej wzorów i napisać algorytm wyznaczania rozkładu LU dla macierzy trójprzekątniowej stopnia n. Wyznaczyć koszty tego algorytmu.
Pokazać, że czynnik wzrostu ρ jest ograniczony z góry przez 2.
d1 = b1 , di = bi −
17. Podać schemat algorytmu eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego
dla układu w macierzą trójprzekątniową.
18. Napisać schemat algorytmu rozwiązywania układu równań liniowych Ax = b, gdzie A
jest macierzą Hessenberga górną, tzn. elementy może mieć elementy niezerowe tylko w
gónym trójkącie i bezpośrednio pod nim. Zastosować eliminację Gaussa z częściowym
wyborem elementu głównego.
19. Niech macierz A będzie trójkątna górna z wyjątkiem pierwszej kolumny i ostatniego
wiersza, które nie są zerowe. Jaki będzie koszt (ile działań) rozwiązania układu Ax = b
za pomocą eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego. Podać schemat algorytmu.
20. Niech A będzie macierzą nieosobliwą zespoloną, Cn×n , i niech b ∈ Cn . Pokazać, że układ
ten można rozwiązać, nie używając arytmetyki zespolonej.
Wskazówka. Przyrównać części rzeczywiste i urojone z obu stron układu.
21. Podczas przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych z okresowymi warunkami
brzegowymi pojawiają się układy równań liniowych z macierzami układu A = [aij ] prawie trójprzekątniowymi, tzn. elementy niezerowe są wzdłuż trzech głównych przekątnych
oraz w dwóch rogach:
a11 = ann = a aii = c
ai+1,i = ai,i+1 = −2
dla i = 2, 3, . . . , n − 1,
dla wszystkich i,
an,1 = a1,n = −1.
Zaproponować algorytm rozwiązywania układu Ax = b z powyższą macierzą.
"
#
10−10 1
22. Niech A =
, b = [1, 3]T . Rozwiązać układ Ax = b metodą eliminacji Gaussa
1
2
(bez wyboru elementu głównego). Obliczenia wykonać w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej 9-cyfrowej. Obliczyć czynnik wzrostu i wskaźnik uwarunkowania zadania
rozwiązywania układu równań liniowych. Czynnik wzrostu jest zdefiniowany tak:
(k)
maxi,j,k |aij |
,
ρ=
maxij |aij |
(k)
gdzie Ak = [aij ] są macierzami otrzymywanymi w kolejnych krokach eliminacji, A1 = A.
3
23. (Higham) Wyznaczyć rozkład LU macierzy
A=
"
#
ǫ 1
1 1
dla 0 < ǫ << 1
oraz jej wskaźnik uwarunkowania. Niech arytmetyka f l jest taka, że f l(1 − ǫ−1 ) = ǫ−1 .
Ocenić wyznaczony w f l rozkład L̂Û , zakładając, że ǫ−1 jest obliczane dokładnie.
24. Rozwiązać układ
0.003x1 + 0.217x2 = 0.437,
0.277x2 + 0.138x2 = 0.553
w zmniennopozycyjnej arytmetyce dziesiętnej trzy cyfrowej za pomocą eliminacji Gaussa
bez wyboru elementu głównego. Wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania. Powtórzyć obliczenia dla zmodyfikowanego układu - pomnożyć pierwsze równanie przez 100 i porównać
wyniki z wynikami otrzymanymi poprzednio.
25. (Kincaid, Cheney) Niech


0 1 2


A =  2 −1 0  .
0 2 1
Za pomocą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego wyznaczyć
rozkład P A = LU oraz obliczyć det A, gdzie P jest odpowiednią macierzą permutacji.
26. (Kincaid, Cheney) Rozważyć układ równań Ax = b dla b = [3, 3 + δ]T i
A=
"
1
2
1+δ 2
#
.
(a) Porównać rozwiązanie dokładne tego układu z rozwiązaniem przybliżonym x̃ =
[3, 0]T , obliczyć ||x − x̃||∞ .
(b) wyznaczyć cond∞ (A) (co będzie, gdy będzie dążyć do zera?),
(c) wykonać jeden krok iteracyjnego poprawiania rozwiązania.
27. (Bai) Dana jest macierz nieosobliwa A. Jak efektywnie, stosując eliminację Gaussa bez
wyboru elementu głównego,
(a) obliczyć α = cT A−1 b, gdzie b i c są wektorami kolumnowymi,
(b) rozwiązać równanie macierzowe AX = B,
(c) rozwiązać układ Ak x = b, gdzie k jest liczbą naturalną?
28. Niech A będzie macierzą nieosobliwą i niech B = A + uv T , gdzie u i v są wektorami
kolumnowymi.
(a) Niech A będzie macierzą nieosobliwą i niech u, v ∈ Rn . Kiedy macierz B = A + uv T
jest też nieosobliwa?
Wskazówka. Zapisać macierz B w postaci B = A(I + A−1 uv T ) i skorzystać z twierdzenia podanego na wykładzie.
4
(b) Udowodnić wzór Shermana-Morrisona
B −1 = A−1 − (A−1 uv T A−1 )/(1 + v T A−1 u).
Wskazówka. Zauważyć, że
uv T (A−1 uv T A−1 ) = (v T A−1 u)uv T A−1 .
Paweł Zieliński
5