Algebra liniowa z geometrią analityczną I

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
Rok studiów:
Semestr:
I
1
ECTS:11
Rodzaj zajęć:
W
Ć
L
Liczba godzin w semestrze:
45
45
--
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Matematyka na poziome szkolnym zaawansowanym
Założenia i cele przedmiotu
Celą jest nauczyć studentów podstawowych metod algebraicznych i geometrycznych niezbędnych w
analizie, równaniach różniczkowych, teorii prawdopodobieństwa itd., aktywnie stosowanych we
współczesnych ekonomii, finansach, kryptografii, kodowaniu itd.
Metody dydaktyczne
Wykłady z kredą przy tablicę, ćwiczenia, konsultacje, kolokwium
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Ocena aktywnego udziału w zajęciach, pisemne stwierdzenie bieżącego przygotowania, kolokwium
końcowe oraz uzyskanie zaliczenia z ćwiczeń
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Struktury algebraiczne
Działania algebraiczne i ich własności, neutralność, odwrotność, grupy abelowe i niepremienne,
prawa skracania i potęgowania. Grupy, podgrupy, grupy ilorazowe. Grupy przekształceń, grupy
permutacji (cykle, transpozycji, transpozycji liczb sąsiednich, inwersje, parzystość,
nieparzystość). Pierścienie, podpierścienie, ideały. Pierścień klas reszt modulo n. Ciała,
podciała. Ciała przemienne i nieprzemienne. Ciało kwaternionów. Homomorfizmy, izomorfizmy.
2. Ciało liczb zespolonych
Definicja ciała liczb zespolonych C, postać kanoniczna liczby zespolonej, sprzężenie, moduł i
argument liczby zespolonej, postać trygonometryczna liczby zespolonej, wzór de Moivre’a,
pierwiastkowanie liczb zespolonych.
3. Pierścień wielomianów
Dzielenie z resztą, algorytm Euklidesa, NWD, NWW. Dzielniki wielomianów, wielomiany
nieprzywiedlne w ciele. Rozkład wielomianów w iloczyn czynników nieprzywiedlnych.
Twierdzenie Bezouta, pierwiastki wielomianu, ich wielokrotność. Wzór Taylora, wzory Viete’a,
schemat Hornera. Zasadnicze twierdzenie algebry. Wielomiany zespolone, wielomiany
rzeczywiste. Ciało ułamków (funkcje wymierne, ułamki proste)
4. Przestrzenie liniowe
Definicja I własności przestrzeni liniowych. Podprzestrzenie i przestrzenie ilorazowe. Kombinacja
liniowa, liniowa zeleżność i liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Operacje na
podprzestrzeniach (suma, przekrój, suma prosta). Wymiar sumy podprzestrzeni i wymiar
przestrzeni ilorazowej. Izomorfizmy przestrzeni liniowych.
5. Macierze i odwzorowania liniowe
Definicja macierzy, rodzaje, działania na macierzach. Przekształcenia liniowe, jego macierz,
jądro, obraz, rząd. Operatory liniowe, endomorfizmy, izomorfizmy. Macierz przejścia i
transformacja współrzędnych wektora przy zmianie bazy, transformacja macierzy odwzorowania
liniowego przy zmianie bazy. Podobieństwo macierzy.
6. Wyznaczniki i układy równań liniowych
Definicja wyznacznika, własności, minory, dopełnienia algebraiczne. Wyznacznik iloczynu
macierzy. Rozwinięcie Laplace’a. Macierz odwrotna. Układy równań liniowych (jednorodne i
niejednorodne). Układy Cramera. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Metoda
eliminacji Gaussa.
Ćwiczenia audytoryjne:
1. Struktury algebraiczne
Badanie własności działań. Rozpoznawanie struktur algebraicznych. Własności permutacji.
Podgrupy, podpierścienie, podciała. Rozpoznawanie homomorfizmów i izomorfizmów. Klasy
reszt.
2. Ciało liczb zespolonych
Rozwiązywanie równań, geometryczna interpretacja liczb zespolonych. Wyznaczenie postaci
kanonicznej, trygonometrycznej i wykładniczej liczby zespolonej. Potęgowanie i pierwiastkowanie
liczb zespolonych
3. Pierścień wielomianów
Dzielenie z reszta, obliczanie NWD, NWW. Rozkładanie wielomianów na czynniki
nieprzywiedlne. Zastosowanie twierdzenia Bezouta i zasadniczego twierdzenia algebry.
4. Przestrzenie liniowe
Rozpoznawanie przestrzeni i podprzestrzeni. Badanie liniowej zależności i liniowej niezależności
wektorów. Wyznaczenia baz i wymiarów przestrzeni liniowych i ich podprzestrzeni.
5. Macierze i odwzorowania liniowe
Działania na macierzach. Rozpoznawanie przekształceń liniowych, wyznaczenie ich macierzy,
jądra, obrazu, rzędu. Obliczanie macierzy przejścia przy zmianie bazy i znajdowanie
współrzędnych wektora w różnych bazach.
6. Wyznaczniki i układy równań liniowych
Obliczanie wyznaczników, obliczanie rzędu macierzy. Odwracanie macierzy. Rozwiązywanie
układów równań liniowych.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] A. Piękosz, Algebra liniowa, Politechnika Krakowska, 2009
[2] J. Klukowski, I. Nabialek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 1999.
[3] A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, cz. 1, 2. PWN, Warszawa 2004.
[4] J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2001.
[5] S. Przybylo, A. Slachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach. PWN,
Warszawa 1998.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] J. Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. UJ, Kraków 2004.
[2] A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
[3] F.Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1972
[4] J. Gancarzewicz, Arytmetyka, wyd. UJ, 2002
[5] P.Kajetanowicz, J. Wierzejewski, Algebra z geometrią analityczną, PWN 2008
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
prof. dr hab. Orest ARTEMOWICZ
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK