Ciągi liczbowe – podstawowe definicje

Ciągi liczbowe – podstawowe definicje i własności
DEF *. Ciągiem liczbowym (nieskończonym) nazywamy odwzorowanie zbioru liczb naturalnych w zbiór
liczb rzeczywistych, tj. a :   .
Przyjęto zapis:
Przy czym
a 1  a1 , a  2   a2 , ..., a  n   an ,...
an nazywamy n-tym wyrazem ciągu  an  .
Przykład
(1)
(2)
n
an   1  2n
wzór na n-ty wyraz ciągu ( wzór ogólny)
a1  1

a2  1
a  a  a
n 1
n  2 dla n  2
 n
(wzór rekurencyjny)
DEF. Ciągiem liczbowym skończonym k- wyrazowym nazywamy odwzorowanie
k-elementowego zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. a : 1, 2,3,..., k  .
Elementarne rodzaje ciągów liczbowych
Ciąg  an  nazywamy…,
stałym
Przykład
jeżeli

an  const
n
(tzn. dla każdego wyrazu ciągu zachodzi równość
rosnącym

an  const )
an  an 1
n
3,3,3,3,…
1,2,3,4,5,…
(tzn. każdy kolejny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego)
malejącym

an > an 1
n
tzn. każdy kolejny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego)
niemalejącym
nierosnącym
monotonicznym
przemiennym
(lub naprzemiennym)
ograniczonym z dołu
1 1 1 1 1
1, , , , , ,...
2 3 4 5 6

an  an 1
1,1,2,2,3,3,4,4,…

an  an 1
1,1,1,0,0,0,0,…
n
n
ciąg jest niemalejący lub nierosnący

n
an  an 1  0
-3,0,0,1,2,3,3,7,9,…
1,-2,4,-8,16,-32,…
(tzn. kolejne wyrazy ciągu mają na przemian znak ujemny i dodatni)

m n
an  m
1,2,3,4,5,6,7,…
(tzn. istnieje liczba nie większa od dowolnego wyrazu ciągu)
ograniczonym z góry

M n
an  M
3,2,1,0,-1,-2,-3,…
(tzn. istnieje liczba nie mniejsza od dowolnego wyrazu ciągu)
ograniczonym
 
m,M n
m M
m  an  M
0,1,2,1,0,1,2,1,0,…
(tzn ciąg jest ograniczony z góry i z dołu)
*
Ciągiem (nieskończonym) nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych. Jeśli wartościami ciągu są liczby
rzeczywiste, to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.
1
Ciąg arytmetyczny
Ciąg  an  nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli różnica r między dowolnym wyrazem ciągu (oprócz
pierwszego) i wyrazem poprzednim jest stała, tj.

an  an 1  r.
n 1
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
r  0, to ciąg arytmetyczny jest rosnący,
jeżeli r < 0, to ciąg arytmetyczny jest malejący,
jeżeli r = 0, to ciąg arytmetyczny jest stały.
Jeżeli
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem
an  a1   n  1  r
Każdy wyraz
an ciągu arytmetycznego, oprócz pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich
a a
an  n 1 n 1 , dla n  1
2
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem
n
Sn  a1  a2  ...  an   ai 
Granica ciągu arytmetycznego
 an 
i 1
a1  an
n
2
 dla r  0

lim an   a1 dla r  0
n 
  dla r  0

Przykłady
1)
6, 3, 0, -3, -6, -9,…
2)
2, 2, 2, 2, 2, 2,…
a1  6, r  3
a1  2, r  0
Ciąg geometryczny
Ciąg  an  , dla którego a1  0, nazywamy geometrycznym, jeżeli iloraz q dowolnego wyrazu ciągu (oprócz
pierwszego) i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały, tj.

n 1
an  q  an 1.
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
q  1  a1  0, to ciąg geometryczny jest rosnący,
jeżeli q  1  a1  0, to ciąg geometryczny jest malejący,
jeżeli 0 < q < 1  a1  0, to ciąg geometryczny jest malejący,
jeżeli 0 < q < 1  a1  0, to ciąg geometryczny jest rosnący,
Jeżeli q < 0, to ciąg geometryczny jest przemienny,
jeżeli q = 1, to ciąg geometryczny jest stały.
Jeżeli
n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem
an  a1  q n 1
Każdy wyraz
an ciągu geometrycznego, oprócz pierwszego spełnia warunek
an2  an 1  an 1 , dla n  1
2
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem

1  qn
dla q  1
a1 
Sn  a1  a2  ...  an   ai  
1 q
i 1
 na
dla q = 1
1

n
Granica ciągu geometrycznego
 an 



lim an  a1
n 
0

brak
Jeżeli
dla q  1 oraz a1  0
dla q  1 oraz a1  0
dla q = 1
dla q < 1
dla q  -1
 an  jest nieskończonym ciągiem geometrycznym takim, że

S  a1  a2  a3  ...   an 
n 1
q  1 , to istnieje suma
a1
1 q
zwana sumą szeregu geometrycznego lub sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
Przykłady
1)
6, -12, 24,-48,96,…
2)
2, 2, 2, 2, 2, 2,…
3)
1 1 1 1 1
1, , , , , ,...
2 4 8 16 32
a1  6, q  2
a1  2, q  1
1
a1  1, q  , S  2
2
Ciągi zbieżne
Mówimy, że ciąg  an  jest zbieżny do liczby g, jeżeli
lim an  g
n 
(tzn. liczba
nierówność
g



0 N n  N
jest granicą ciągu liczbowego
an - g  
 an  , jeśli dla każdego   0 istnieje taka liczba N,
an - g   ; zatem poza przedziałem g  , g  
że dla każdego
n  N zachodzi
znajduje się co najwyżej skończona liczba wyrazów ciągu
Liczbę g nazywamy granicą ciągu  an  , a ciąg  an  - zbieżnym do liczby g.
 an  )
Zamiast lim an  g piszemy również an  g [formalnie an  g ].
n 
n
W szczególnym przypadku ( g = 0 ) mamy
lim an  0 
n 


0 N n  N
an  
Przykład
1 1 1 1
1, , , , , ... jest zbieżny do g = 0 ;
2 3 4 5
lim
n 
1
0
n
Ciągi rozbieżne
Mówimy, że ciąg  an  jest rozbieżny do + , jeżeli
lim an  + 
n 
 
A M n M
an  A
(tzn. jeśli prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od dowolnej zadanej liczby;
„prawie wszystkie” oznacza „wszystkie z wyjątkiem skończonej ich liczby”, zazwyczaj początkowych wyrazów)
3
Mówimy, że ciąg  an  jest rozbieżny do , jeżeli
lim an   
n 
 
an  B
B M n M
(tzn. jeśli prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od dowolnej zadanej liczby)
Twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych
Jeżeli ciągi
 an  oraz  bn  są zbieżne (tj. istnieją ich granice skończone) takie, że
lim an  a zaś lim bn  b, to:
n 
n 
 an  bn  jest zbieżny oraz
lim  an  bn   lim an  lim bn  a+b
n 
n 
n 
ciąg  an - bn  jest zbieżny oraz
lim  an  bn   lim an  lim bn  a  b
n 
n 
n 
ciąg  c  an  jest zbieżny oraz
lim  c  an   c  lim an  c  a
(*patrz niżej granica stałej c)
n 
n 
ciąg  an  bn  jest zbieżny oraz
lim  an  bn   lim an  lim bn  a  b
n 
n 
n 
1) ciąg
2)
3)
4)
5) ciąg
 an 
 b  jest zbieżny, jeśli bn  0 i b  0 oraz
 n
 a  lim an a
lim  n   n  
n  b
bn b
 n  nlim

6) jeśli an  0
7) jeśli
lim an  0
n 
an  bn  cn oraz
lim an  lim cn  g, to lim bn  g
n 
n 
n 
(tw. o trzech ciągach)
Ponadto również:
Ciąg stały jest zbieżny i stąd jego granica
Jeśli ciąg
lim c  c.
n 
 an  jest zbieżny do zera, a ciąg  bn  ograniczony, to ciąg  an  bn  jest zbieżny do zera. np.:
1
 sin n 
1

lim 
 lim   sin n   lim  lim sin n  0   ciąg ograniczony   0.

n   n 
n   n
 n  n n 
Ciągi rozbieżne do nieskończoności
1  1 

0
n 
n  a
  
n
1 1
     
Jeżeli lim an  0  an  0, to lim
n 
n  a
0 
n
Jeżeli
Jeżeli
Jeżeli
lim an  , to lim
lim an  0  an  0, to lim
n 
n 
1 1

 
an  0 
lim an    lim bn  , to lim  an  bn   
n 
n 
(  oznacza w logice „i”, czyli koniunkcję)
n 
      
4
Inne tw. o ciągach rozbieżnych do  możemy zapisać symbolicznie
        
        
        
        
        
    a  
    a  
, gdy
a      
, gdy
, gdy
a      
, gdy
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
[j.w.]
a 0
a0
a0
a 0
Wyrażenia nieoznaczone przy obliczaniu granic
0 
,
0 
ˆ
[stosuje się regułę de l'Hospitala
lub odpowiednio przekształca wyraz ogólny ciągu]
0 
[ab 
00 , 0 , 1
[wyrażenie zlogarytmować (co da 0   ), potem j.w.
a
1/ b 
,
co daje nieoznaczoność typu
0
lub
0
†


0
]
lub
0
granicę A, ostatecznie zaś granicę

[a b 
eA
 
1
b

1


, otrzymujemy stąd
]
/
a
1
, co daje nieoznaczoność typu
ab
0
]
0
Granice niektórych ciągów
n
 1
lim 1    e  2, 718281828
n  
n
1
 1 1 1
lim 1     ...    e
n  
1! 2! 3!
n! 

1

bo
e




n  0 n! 

n
 a
lim 1    ea
n  
n
n
 1 1
lim 1   
n  
n
e
n
lim a  1, dla a  0
lim n n  1,
n 
n 
lim a n  0, jeżeli a  1
n 
lim
n 
†
an
 0,
n!
lim
n 
ln n
0
n
Czyli obliczyć granicę z logarytmu, tj.
lim  ln an   A, stąd lim an  eA .
n 
n 
5
Przykłady
ciąg naprzemienny 1, -1, 1, -1, 1, -1, … nie ma granicy (tzn. nie jest zbieżny; choć jest ograniczony!, z
góry przez 1, z dołu przez -1), gdyż jeśli weźmiemy pod uwagę   1/ 4 , to żaden przedział
1)
g  ,g   (długości ½) nie może jednocześnie zawierać liczb 1 oraz -1; poza tym przedziałem leży
więc nieskończenie wiele wyrazów danego ciągu;
3)
1 1 1 1
1, 0,  ,  ,  ,  ,... ma granicę w  równą 0;
2 4 8 16
ciąg 1, 2,3, 4,5,... przy n   jest rozbieżny do  ; lim n  
4)
Z definicji:
ciąg
2)
n 
1/ 2 n , gdyż dla dowolnego   0 istnieje takie N   , że
1/ 2  N   oraz jeśli n  N , to 1/ 2 n  1/ 2 N   , czyli prawie wszystkie wyrazy ciągu
0 jest granicą ciągu
n
(tj.
5)
1
nieskończenie wiele wyrazów) leżą w przedziale ,  , co zapiszemy następująco lim    0
n   2 
Z definicji:
n
. Pokażemy, że g  1 jest granicą ciągu  an  przy n  .
n 1
Niech   0. Sprawdźmy, dla jakich n spełniona jest następująca nierówność
an  g  
Niech
an 
n
1  
n 1
1

/  n  1
n 1
1
 n 1

1 
n

1
n
1 g
Zatem dla n  N   1 mamy, że granica lim a n  lim
n

n


n 1
Jak liczyć granice ciągów liczbowych
a)
b)
c)
1 

 3  n  3  0
3n 2  n
3
lim
 lim 



2

n  1  2n
n 
2
 1  2   0  2 
2
n

1 1
1  2
n2  n 1
n n  1 0  0   1
lim 2
 lim

n  2n  3n  5
n 
3 5 
2  2 20 0 2
n n
1
9 13
 6 7
4
n 3  9n  13
n
n  0  0  0  0
lim 7
 lim n
4
 2  0  0 
n  2n  3n  5
n 
3 5
2 3  7
n n
6
d)
e)
9 13
n  2
n 3  9n  13
n n    0  0  
lim 2
 lim

n  2n  3n  5
n 
3 5 
2  2  200 
n n
Jeżeli jeden z ciągów jest ograniczony, zaś granica drugiego jest równa „zero”, to granica ich iloczynu też jest
równa „zero”.
 1



n


lim  2
 sin  n  1   lim  n  sin 1   0  ogr   0
n  n  1

 n  1  1

 n 2

f)
Jeżeli jeden z ciągów jest ograniczony, zaś granica drugiego jest równa „zero”, to granica ich iloczynu też jest
równa „zero”.
lim
1 


 
1
0
n
n

 lim  1  2  
 lim   1  2  n   ogr 
 ogr  0   0


n

n

1
2n  1
2n  1
20


2  
n

 1
n 
n
2


lub z tw. o trzech ciągach
1
1  2  1  2 1  2
3




2n  1 2n  1
2n  1
2n  1 2n  1
n  

n
n

0
0
g)
lim 
n 
 lim
n 
h)
lim 
n 
n 1  n
2
i)
lim
n 


n2 1  n2 1

 2 

0
n  1  n 1     
2
n 1  n
2

 n  2        lim
2
n 1  n  n  2
2
n 2  1  n 2  n  2  n 2  1  n 2  n  2 
n 
n 1 n  n  2
2
2
1
n
 lim
n 




1
1 2
1  2  1   2  
n n 
n
1 



n 2  1  n 2  1  n 2  1  n 2  1 
n 
2
2
n 
n 

 1        lim
2

 lim
 lim
2
0

n2  1  n2  n  2
n  1

1
1 2 
n  1  2  1   2 
n n 
n


 lim
n 

n 


1

n  1  
n


1
1 2 
1  2  1   2 
n n 
n

1 
1


1  1
2
1 0  1 0  0

1  0
n  n  n  n         lim
n 


n n  n n

n n  n n
n n  n n

7
n n n n
 lim
n 
 lim
n 
j)
n 

2
2 


 1
1
1   1  0  1  0 1  1
1
 1

n
n 



n 
n 
n  3n  7 

7
n 1  4  
n

n 

n2  n  2  n2  1
 lim
n 
n2  n  2  n2  1
n 
1
 lim
n 

n 
2
 4n 2  7n
n  4n 2  7n

   7
  7 


 
n 
3 
7 1  4  0
1 4 
n
 1 

  lim
2
2
n  n  2  n  1      n 
 lim
4n  7n
2
  lim n
3n  7
 lim
1
lim

4n 2  7n  n  4n 2  7n
n 
n 

1
1 
n  1 
 1

n
n 

n 
2
lim  n  4n  7n         lim
n 
2 n
 lim
n n  n n
2
 lim
k)
n n  n n
2 n
 lim

n2  n  2  n2  1
n2  n  2  n2  1

n2  n  2  n2  1



1 2
1 
n  1   2  1  2 
n n
n 
n2  n  2  n2  1
 lim 

n 
n 1
 1
n 1  
 n
1 2
1
 2  1 2
n n
n   1  0  0  1  0  1  1  2


1
1 0
1 

1
n
n
2
9n
2  n  3 n
n
n
2  2  39
9  lim
 lim
 lim 9 n
n
n
n
n 
n

n 
4 9
4
9

9n 9n
n
2
2   3
 2  0  3
9

3
n
 0  1 
4
  1
9
l)
2n 1  32n 1
lim
n 
4n  9n
m)
1
1
6   2n  3n  5n
6 n   6 n  5n
6n  2n  3n 1  5n
3
3
lim
 lim
 lim
 lim
n
n 1
n 
n

n

n 
1
1 n
4  26
n
n
n
4  2 6
4  6
6
3

n
4 5
 
3 6

4 6 n 5n
 
3 6n 6n 
4n 1 6n
 
6n 3 6n
n
4

3 0 4

 lim




3



  4
n
n 
 4 1 0 1 3

  

3


6 3
 2n 3n 1 2 
2 1 2
 2  lim n 3  n  n  n   lim n 3n n     n  3  1  3,
n 
3
3  n 
3 3 3
3
n
n)
n 1
lim 2  3
n
n
n 
bo
n
n
 
3  3
n
n
1
n
n
 3 oraz
n
1
1
2 1 2
    n  n 0   0  n  1, bo
3
3
3 3 3
n
a 1
8
o)
1
2 
1
2

lim n 5n 7  n 2  2  lim n n 7  5  5  7   lim n n 7  n 5  5  7  1  1  1,
n 
n 
n
n  n 
n
n

n
bo
p)
n 7  1 oraz
n
5
1
2
 7  1, bo
5
n
n
1
 0,
n5
2
 0,
n7
n
a 1
z tw. o trzech ciągach
lim n 3n  5n  7n
lim n a  1 dla a  0
n 
n 
7  7  3  5  7  n 7n  7n  7n  n 3  7n  7  n 3
n
n
n
n
n
n  

7

n
n
7 1  7
lim n 3n  5n  7 n  7
n 
q)
r)
 n  1!  n!
n!  n  1  1
n
1
 1 
 lim
 lim
 lim

1
n   n  1 !  n!
n  n!  n  1  1
n  n  2
n 
2 1  0 
1
n
3
3n 1  n!
3  3n  n!
3
 0 
lim
 lim
 lim
 lim n  
0
n
n
n   n  1 !  3
n  n!   n  1  3
n  n  1
n 
1 1  0 
1
n
lim
2n
s)
1

lim  3  
n 
n

t)

n
1
1
1
1


n
n
n
n
n 1
1
 2n  1 
 n  n 1
 n
 n

lim 
 lim 
 lim 

 lim 
 1  lim 
 1 



n 
n 
n  n  1
n  n  1
n 
n 1
 n 1 
 n 1 



 1  1

n


  3  0 


 3
z własności f  cji wykładniczej  0

1
0
 1


 
 1   20   1
 1  0 

u)
1 


n 

n   1  ln 0  1  ln 0  1      
lim 1  ln

lim
1

ln

 


n 
1
0 1
1  n 2  n  


 

1

2
n


v)
 1
lim 1  
n 
 n
‡
Silnia n:
3n
n

1  
 lim 1 
 
n 
 n  
3
 e 3
‡
n!  1 2  3  ...  n   n  1! n
9
Granica i ciągłość funkcji
Niech będzie dana funkcja
f : X  , gdzie X  .
y
y = f(x)
DEF. (granica funkcji w nieskończoności)
Jeśli funkcja f jest określona w przedziale (a, +)  ;b   , to możemy określić jej
granicę w
  .
x
lim f  x   g 
x 

lim x n    lim f  x n   g
n 
 x n  X
n 
y
x n  x 0 ,n
(tzn. mówimy wówczas, że f ma w + [] granicę równą g lub, że zbiega asymptotycznie do g w + [];
prosta y = g jest asymptotą poziomą prawostronną [lewostronną] funkcji f )
y = f (x)
DEF. (granica funkcji w punkcie)
Powiemy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x0 (w sensie Heinego [Cauchy’ego]),
x
jeżeli
(GH)
lim f  x   g 
x x 0
 xn


lim x n  x 0  lim f  x n   g
n 
X
x n  x 0 ,n
 x n  takiego, że dla każdego n   zachodzi
 x 0 , to lim f  x n   g )
n 
(GC)
y = f (x)
n 
(tzn. dla dowolnego ciągu
funkcji), jeśli lim x n
y
g
x n  x 0 , x n  X (dziedziny
n 
 lim f  x   g 
 x x0

  xx
0 0
xX
0
   f  x   g  

DEF. (granica niewłaściwa funkcji w punkcie)
§
Jeśli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0
lim f  x    
x x 0

x
x0
y
y = f(x)
lim x n  x 0  lim f  x n   
n 
 x n  X
n 
x n  x0 ,n
x0
x
Twierdzenia o granicach funkcji w punkcie
lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x 
x x 0
x x 0
x x 0
lim  f  x  - g  x    lim f  x   lim g  x 
x x 0
x x 0
x x 0
x x 0
x x 0
lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x 
lim  c  f  x    c  lim f  x 
x x 0
x x 0
x x 0
(*patrz niżej granica stałej c)
f x
f  x  xlim
x0
lim

, jeżeli lim g  x   0
x x0 g  x 
x x0
lim g  x 
x x0
Podstawowe wzory
lim c  c
x x0
lim x  a 
 x a

n
lim x  a n 
 x a

lim x  x 0
x x0
lim x n  x 0n
x x 0
§
W samym punkcie
x 0 nie musi być określona.
10
x  x0
lim
x x 0
 x0  0
lim x  a  a  0  
 x a

lim sin x  sin a 
 x a

lim cos x  cos a 
 x a

lim sin x  sin x 0
x x 0
lim cos x  cos x 0
x x0
lim
x 0
sin x
1
x
DEF. (granice jednostronne funkcji w punkcie)
Granicą lewostronną [prawostronną] funkcji
f : X   w punkcie x 0 nazywamy taki element
g    ,  , dla którego
lim f  x   g 
x n  x 0  lim x n  x 0  lim f  x n   g
 
x x 0
n 
 x n X n  x n  x0 
 xx  

0 
n 
(tzn. mówimy wówczas, że funkcja f ma granicę lewostronną [prawostronną] w punkcie
jeśli zaś
y
y = f (x)
x 0 równą g;
lim f  x   g  lim f  x  , to mówimy, że funkcja f ma granicę w punkcie x 0 równą g
x x 0
x x 0
 x x
 x X n  x  x 
lim f  x    
n
x x 0
n
n
 xx  
0 

(tzn. jeśli granice lim f  x   lim f  x  


x x0
lewostronną (gdy
x x 0
0
 lim x n  x 0  lim f  x n   
0
n 
x
x0
n 
 , to mówimy, że f jest rozbieżna do  w punkcie x 0 ; prosta x  x 0 jest asymptotą


x  x 0 ) [prawostronną (gdy x  x 0 )] funkcji f)
Ciągłość funkcji w punkcie
Powiemy, że
f : X  , X   jest ciągła w punkcie x0  X (w sensie Heinego[ Cauchy’ego]), jeżeli

(CH)
 x n  X
(CC)
lim x n  x 0  lim f  x n   f  x 0 
n 

0  0 xX
y
n 
y = f (x)
f ( x0 )
x  x0    f  x   f  x0   
a
(tzn. funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 z dziedziny, jeśli jest w tym punkcie określona oraz
granica
lim f  x  istnieje i jest równa f  x 0  )
x x0
UWAGA: Jeśli istnieje tylko granica jednostronna
punkcie
x
x0
lim f  x   f  x 0  [lub lim f  x   f  x 0  ], to mówimy, że funkcja f jest w
x  x 0
x x0
x 0 ciągła lewostronnie [prawostronnie].
Funkcję nazywamy ciągłą w zbiorze A  X , jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Funkcję nazywamy ciągłą, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.
Funkcja jest ciągłą w każdym izolowanym punkcie swej dziedziny.
f  g, f  g, f  g,
y = f (x)
x 10 x 20 x 30
Własności funkcji ciągłych
Tw. o działaniach arytmetycznych na funkcjach ciągłych
Jeśli funkcje f i g określone na zbiorze X   są ciągłe w punkcie
Punkt
izolowany
x
x 0  X, to funkcje
f
 gdy g  x 0   0 również są ciągłe w punkcie x 0 .
g
Złożenie funkcji ciągłych jest także funkcją ciągłą.
11
Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
a; b , to jest w tym przedziale ograniczona i osiąga swoje
kresy. Tzn., że w przedziale a; b , istnieją takie punkty x1 , x 2  a; b , że f  x1   f  x   f  x 2  dla każdego
x  a; b . Co można zapisać następująco


f ciągła w a; b
x1 ,x 2 a;b

x a;b
f  x1   f  x   f  x 2 
Własność Darboux
a; b przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między f  a  i f  b  .
Wniosek: Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale a; b i f  a   f  b   0, to istnieje takie c  a; b , że
f  c   0.
Funkcja ciągła w przedziale domkniętym
Tw. o lokalnym zachowaniu znaku
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale otwartym
[ujemną], to istnieje otoczenie punktu
Jeśli istnieje skończona granica

Jeśli funkcja f w przedziale
x 0   a; b  przyjmuje wartość dodatnią
lim f  x   y0 i funkcja h  y  jest ciągła w punkcie y0 , to
x x 0

x x 0
w punkcie
x 0 , w którym funkcja f jest dodatnia [ujemna].
lim h  f  x    h lim f  x   h  y0 
x x 0
 a; b  i
(tzn możemy wejść z granicą pod znak funkcji)
a; b jest ciągła i różnowartościowa, to jest w tym przedziale ściśle monotoniczna (tj.
rosnąca lub malejąca).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---Reguła
ˆ
de l'Hospitala
f  x  i g  x  są określone w sąsiedztwie punktu x0 (w samym x0 nie muszą być określone), są w
nim różniczkowalne (tzn. pochodne f'  x  i g'  x  są skończone), przy czym g'  x   0 , i spełnione są warunki
Jeśli funkcje
o
1
lim f  x   lim g  x   0
x x 0
x
o
2
lub
x x0
x
istnieje granica
lim f  x   lim g  x   
x x 0
x
lim
x x0
x
to istnieje również granica
x x 0
x
f'  x 
g'  x 
lim
x x0
x
f x H
f'  x 
 lim
x  x 0 g'  x 
g x
x
Regułę de l’Hospitala stosuje się zawsze w sytuacji wyrażenia nieoznaczonego postaci
0

. Zatem jeśli w
lub
0

trakcie obliczania granicy funkcji po raz kolejny otrzymana zostanie nieoznaczoność powyższego typu, regułę
stosuje się ponownie.
Reguła de l’Hospitala pozostaje prawdziwa w przypadku:
 granic w nieskończoności,
 granic w punkcie,
 granic jednostronnych.
Nieoznaczoności typów :
0 ,   , 00 , 0 ,1 przekształca się tak, aby otrzymać nieoznaczoność typu
0

.
lub
0

12
Przykłady
1)


lim x 3  x 2  x  1              1              1 


x 
3
2
             1  
2)
x 2 2x 1
1
2
1
 5 5
 4 5
5
3
x 2  2x  1
x  lim x
x
x  0  0  0  0  0
lim
 lim x 5 x
5
 1  0
x 
x 
x 
3
x
3
x 3
1 
1


x5
x5 x5
3)
lim
x 2
2x  3  2  2  3
43  7



2
2
1  3x
1  3  2 1  3  4  13
Spr., że jednocześnie f  x  
7
, co oznacza ciągłość funkcji w punkcie x = 2
13
4)
lim
 x  1  1 x  1  1
x  1  1 1  1 0 
1
1

   lim
 lim

x 0
x
0  x 0
 0
x 1 1 2
x  x  1  1
5)
lim
 x  1 x  1
x  1 1  1 0 
x 1
1
1

   lim
 lim
 lim

x

1
x

1
x

1
x  1 1  1 0 
 x  1  x  1
 x  1  x  1
x 1 2
6)

 

  x 2  5x  4
  x 2  3x  2

 

 x 2  5x  4  0  
lim 2
       25  16  9
   9  8  1


x 1 x  3x  2
0 

5  3
5  3  
3 1
3 1
 4 x1 
 1  x1 
 1 x1 
 2
 x1 
2
2
2
2

 

x 0
x 1
  x  4  x  1
 lim
 x  1 x  2 
x 1
7)
8)
 lim
x 1
lim
7
7
     
x 1  0 
lim
 13 
     
 x  1  0 
x 1
  x  4
 x  2
  1  4  

  3
 1 2 
13
x 1
2
tg x  0 
sin x
sin x
1
 0 
 1
    lim

 lim
 lim
 1   1

x 0 x
 0  x 0 x cos x  0 1  x 0 x x 0 cos x  1 
9)
lim
10)
lim
x 0
tg 3x  0 
sin 3x
1
1
 sin 3x 
 sin 3x 
 0 
    lim

 lim  3 
 lim
 3  lim 
 lim




x

0
x

0
x

0
x

0
x

0
x
x cos 3x  0  1 
3x 
cos 3x
cos 3x
0

 3x 
 3  1  1  3
11)


x

1 
 2

lim 1    1   lim 1 
x 
x 
1 
 x

x
2 

1
x 2
2
2
1
x

2 


1  
 lim 1 
 e2


x  
1
x 

2

 


13
1 0

 lim
x  0  x 
12)
lim x  sin
13)
 e1 
ex
lim
     
x 1 x  1
0 
14)
13  13 
     
x  e3x
0 
15)
lim
x 
sin a
1
a 0
a
ponieważ lim
lim
x2
0
    lim
x  1  1  0  x 2
x 2
 lim
 x  2 

  lim
x 1  1
x2
x 2
16)
1
1
sin

x   0   lim
x  1,
  1
1
1
0

0
  x
x
x
sin
x 2
 x  2 

x 1 1

x 1 1


x 1 1
 lim
 x  2 
x 2

x 1  1
x 1 1

x  1  1   2  1  1  2
x  1  1, gdy x  1
f x 

x  1 1, gdy x  1
jest określona dla
x   / 1 (dziedzina)
x 1
lim f  x   lim
1
x  x  1
x 
x 1
lim f  x   lim
 1
x 
x  x  1
lim f  x   lim1
1

x 1
x 1
lim f  x   lim  1  1
x 1
x 1
Zatem nie istnieje granica
lim f  x  , gdyż lim f  x   lim f  x  .
x 1
x 1
x 1
 / 1 .
x  1 , gdyż nie należy do dziedziny !!!)
Ponadto funkcja jest ciągła w swej dziedzinie
(Uwaga: nie rozważamy ciągłości w punkcie
Wyznacz granicę wykorzystując regułę de l’Hospital
17)
18)
19)
20)
lim
x 0
lim
e x  e  x 1  1 0  H
e x  e  x 1  1 

   lim

2
sin x
0  x 0 cos x
 1 
 0
ln  ln x 
x 
x
1 1

1
  

x
ln x  lim 1  

 lim
0


x

x

1
x ln x         
  
H
e2x  1
2e2x
1  1 0  H
lim

   lim
 lim e2x 1  2x   11  1
x 0 ln 1  2x 
x

0
x 0
1
0
 0
2
1  2x
lim
x 0
e3x  3x  1
 sin 5x 
2
3e3x  3
1  0  1 0  H
 3 1  3 0  H

   lim

 
0  x 0 2sin 5x  cos 5x  5  0
0
 0
14
9 1

 9


x 0
10 1 5  10  5  0  50
10  cos 5x   5  10  5   sin 5x
9e3x
 lim
21)

2
2

1
 sin 2 x   0  H
ln x    H
cos x 

x
lim


lim

lim



lim

2sin
x





x 0 ctg x
x 0 
x   0  x 0 
1 
   x 0  1

sin 2 x
 lim  2sin x  cos x    2  0 1  0
x 0
22)
1
 sin 2 x   0 
ln x    H
sin x 

x
lim


lim

lim

    lim   sin x 

  ograniczona 1  0

 

x 0 ctg x
x 0
x   0  x 0 
x 
   x 0  1

sin 2 x
23)
1
1  1 1
sin x  x  0  0 0  H

lim  











lim




  

 x 0 x sin x   0  0  0  
x 0
 x sin x   0 0
 lim
x 0
24)
cos x  1
0 H
 sin x
0
0
 1 1


   lim
 0

sin x  x cos x  0  0 1 0  x 0 cos x  cos x  x sin x 1  1  0  0 2 
ln x   x  1  0  0 0  H
 1
1  1 1

lim 

                   lim

 

x 1
 x 1  x  1 ln x
 0  0 0 
 x  1 ln x   0 0
1
1
x
1
1 1
1
 2
 

H
1

1
0


x  lim
x x  lim x   1   1
 lim
 lim

   lim
x 1
1 x 1
1  0  1  1 0  x 1 1 1 x 1 1  1  x 1
1 1  1  2
ln x   x  1 
ln x  1 
 2
1
1 

x
x
x x
x
x x
25)
lim x  lim e
x
x 0
ln x x
x 0
lim   x 
 ex0
26)
1
1
x
 lim e
x 0
x ln x
e
lim  x ln x 
x 0
e
0   
e


 ln x 
lim 

x 0  1 


 x 
e
   H


  
e
 1

lim  x

x 0   1

 x2






e


 1 
lim 

x 0  1 
 
 x

 e0  1
2
f x 
x
lim f  x  nie istnieje, bo lim f  x    natomiast
x 0
x 0
lim f  x   
x 0
(granice są różne)
1
27)
1


e x  e   H

lim x  e  0  e 0  0  e   0  e   0       lim



x 0

 x 0 1    
x
1
x
1
1
 2 ex
1
 1

 lim x
 lim e x  e 0  e    
x 0
1
x 0


 2
x
15
28)
lim x 2  e x      e 

2
x 


x
 e 0  H
e
ex
     0   lim

   lim
 ....
 x  1
x 
1
2
0


 3
x 2  
x

29)
x 2    H
2
 2x
lim x 2  e x      e      0  lim  x  
 lim    x


 x  e
x 
   x   e
2  2 
    H
 lim  x  
0


    x  e
  
30)
ex
ex
 0 H


lim
 lim e x  0

x  x  1
x

1 x 
  
31)
lim
32)
lim
33)
1
H
0
x2 1  0 
 
x
lim
    lim
 lim
 0
x 0
x 1
1
x2
1 
x 2  1  0  x 0 2x 
2
2 x 1
34)
1
1
 2
H
sin 2 x  0  H
2sin x  cos x
sin x  cos x
  
x
x
lim

 lim
 lim
    lim
 lim

2

x 0 ctg x
x

0
1
x

0
x

0
x

0
x
2x
x
  
0
 2
sin x
lim
sin x  0  H
cos x
    lim
1
x 0
x
 0  x 0 1
x  sin x  0  H
1  cos x 1  1 0  H
sin x  0  H
cos x 1


lim



lim
    lim

3
2




x 0
x
0  x 0 6x
6
 0  x 0 3x
 0
 0  x 0 6
ln x
cos x  cos x  sin x  sin x
 0 1 0  H

   lim
 lim  cos 2 x  sin 2 x   1  0  1
x 0
0  x 0
1
 0
35)
1
1
 2
H

sin 2 x  0  H
2sin x  cos x
sin x  cos x


x
lim x  

lim

lim
    lim
 lim

2



x 0 ctg x
x 0
x 0
x
2x
x
   x 0  1
 0  x 0
sin 2 x
 lim
x 0
36)
sin x
 cos x  11  1
x


1


H
2
tgx  1
1 1
0
1
lim

   lim cos x
 lim

2
 sin x  cos x


0  x  cos x  sin x x  cos x  cos x  sin x 
2
2
x

4
4
4
 2  2





1
1
2 




 2
 2

2
2
2
2
 



2
2 
 4  2

16
Wyznacz dziedzinę i granice niewłaściwe funkcji (tj. granice w nieskończoności)
i punktach nieokreśloności (granice jednostronne) danej wzorem
1)
f x 
D   \ 1,1
x
x2
1
x
x
x2
1
x
x
0
 0
 lim 2
 lim

 0
x

x

1
x
1
x 1
1  2 1  0 1 
 2
2
x
x
x
lim
2
x 
x
0
 0
 lim 2
 lim

 0
x

x

1
x
1
x 1
1  2 1  0 1 
 2
2
x
x
x
lim
2
x 
lim
x
 1 
     
x 1  0 
lim
x
 1 
     
x 1  0 
x 1
x 1
lim
x
1
     
x 1  0 
x 0
1    1
2
2
f x 
lim

2
x
1
     
x 1  0 
x 1

2
lim
x 1
2)
x
x 1
2
x 1
x x
D   0,  
x  1  0  1 1 

    

0 
x x  0
x 1
x 1
lim
 lim 3/2 
x  x x
x  x
1
1

0  0 0
 lim x x x 
 0
x 
1
1
 1

0
17
3)
f x  x 

 0
lim x 
4
    0  
x
lim x 
4 
4

 0    0      
x  0

lim x 
4 
4

 0    0      
x  0

x 
x  0
x 0
f x  e
lim e
x2
x 2 1
lim e
x2
x 2 1
x2
x 2 1
x 1
lim e
x2
x 2 1
x 1
x
2
1
x 1
x2
x 2 1
x 1
f x 
lim
x 1
lim
x 1
x2
lim
x  x 2 1
x2
x  x 2 1
lim
lim
x 
e
lim
x 
e
lim
x2
2
1
lim
x2
x 2 1
e
x 1 x
e
x 1
e
e
lim
x
e
x 1 x
e
x 1
lim
2x  1
x2 1
2
2
1
x2
x 2 1
e
e
1
 
0 
1
 
0 
e
e
 1 1
10 1 


 1 1
10 1 


 e1  e


1    1
 e1  e
 e  
 e  0
 e  0
 e  
D   \ 1,1
2x  1  1 

 
x 2  1  0 


1    1
2x  1  1 

 
x 2  1  0 
2x  1  3 

 
x 2  1  0 
lim
2x  1  3 

 
x 2  1  0 
x 1
1
1
x2
1
1
 
0 
1
 
0 
lim
x 1
1
1
1 2
x
e
2
lim e x
lim e
D   \ 1,1
e
x 
lim e
x2
x 2 1
e
x 
5)
D   \ 0
4
    0  
x
lim x 
x 
4)
4
x
18
Zbadaj ciągłość funkcji
4
1)
 x 2  1 dla x  1


f x  2
,
 x  1 dla x  1
w punkcie x 0  1
2
Punkt x 0  1 należy do dziedziny funkcji
3
2
1
1
2
3
(innymi słowy funkcja jest określona dla x 0  1 )
2
Ponadto przyjmuje wartość f  x  1  12  1  2
Obliczając granice jednostronne w punkcie x 0  1 otrzymujemy

lim  x

lim  x 2  1   1  1  2
x 1
2
x 1


 1  1  1  2



4

lim x 2  1  lim x 2  1
x 1
x 1
Zatem nie istnieje granica lim f  x  i funkcja nie jest ciągła w punkcie x 0  1 .
x 1
2)
 x 2  1 dla x  0


f x 
  x dla x  0
3
2
Funkcja jest ciągła w swej dziedzinie D   \ 0 .
1
3
2
1
1
2
3
1
2
3
3)
 x 2  1 dla x  0


f x 
  x dla x  0
3
Funkcja nie jest ciągła w punkcie x 0  0, ponieważ
2
granice jednostronne w punkcie x 0 mają różne wartości
lim   x   0
x  0


lim x  1  1
x 0
2
1



lim  x   lim x 2  1
x 0
x 0
3
2
1
1
2
3
1
Stąd nie istnieje granica w punkcie lim f  x  .
x 0
2
3
19
4)
3
 x  1 dla x  0

f  x    0 dla x  0
1  x dla x  0

2
1
Funkcja nie jest ciągła w punkcie x 0  0.
3
2
1
1
Mimo że granice jednostronne w punkcie x 0 mają równe wartości
lim  x  1  1
x  0

lim 1  x   1
3
1
2
lim  x  1  lim 1  x 
x 0
2
x 0
3
x 0
i tym samym granica lim f  x   1, to f  x  0   0. Stąd lim f  x   1  0  f  0  .
x 0
5)
x 0
dla x  0
5  x

2
f  x    x  3x  5 dla 0  x  2
x  1
dla x  2

8
6
Funkcja jest ciągła w swej dziedzinie D  .
lim  5  x   5
x  0

4

lim x  3x  5  5
x 0
2


lim x 2  3x  5  3
x  2
lim  x  1  3



lim  5  x   5  lim x 2  3x  5
x 0
x 0



2
2
1
lim x 2  3x  5  3  lim  x  1
x 2
1
2
3
4
5
x 2
x  2
i tym samym istnieją granice lim f  x   5 oraz lim f  x   3.
x 0
x 2
Ponadto wartości funkcji f  x  0   5  0  5 i
f  x  2  2  1  3
Zatem lim f  x   5  f  0  oraz lim f  x   3  f  2  , co oznacza ciągłość funkcji w obu
x 0
x 2
punktach .
6)
2
1



f x 
0
3
dla x  2
dla x  1
dla x  1
dla x  2
5
4
3
Funkcja jest ciągła w swej dziedzinie
2
D    , 2  1,1   2,  
ponieważ każda funkcja jest ciągła w punktach izolowanych
(tutaj są to punkty dla x  1 i x  1 )
1
3
2
1
1
2
3
1
20
4