Rzut ukośny

Rzut ukośny
r
Punkt materialny wyrzucony (wystrzelony) z prędkością początkową v0 pod kątem α do poziomu, poruszający się w grawitacyjnym polu sił
gdzie: m - masa punktu
(Q = m ⋅ q )
g - przyspieszenie grawitacyjne (ziemskie)
H - wysokość rzutu
y
L - zasięg rzutu
y=H
m
V0
Q
H
parabola
α
x=L
x=0
x
L
tor
Rzut ukośny = ruch jednostajny w kierunku osi x + ruch jednostajnie opóźniony z przyspieszeniem g w kierunku osi y
kierunek osi x:
ax = 0
v x = v x 0 = v0 cos α = const
x = v 0 cos α ⋅ t
kierunek osi y:
a y = − g = const
v y = v y 0 − g ⋅ t = v 0 sin α ⋅ t
y = v y0 ⋅ t − g
t2
t2
= v0 sin α ⋅ t − g
2
2
Prof. Edmund Wittbrodt
Tor punktu:
y = x(tgα −
g
⋅ x) - parabola
2v cos 2 α
2
0
Zasięg rzutu: współrzędna x=L miejsca zerowego funkcji toru y=y(x), tj.:
g
Dla y=0 , mamy:
x=0 lub tgα − 2
⋅x = 0,
2v0 cos 2 α
Wysokość rzutu:
współrzędna y, dla x =
skąd: x = L =
v02 sin 2α
g
L v02 sin 2α
=
2
2g
v02 sin 2α
v02 sin 2α
v02 sin 2 α
g
y=H =
)=
⋅ (tgα − 2
⋅
2g
2g
2g
2v0 cos 2 α
Przykładowa analiza ruchu:
maksymalny zasięg dla
2α = 90 0 ,
skąd α = 45 0 ;
wówczas:
maksymalna wysokość dla α = 90 (wyrzut punktu pionowo w górę), dla którego
0
L(α = 45 0 ) =
v02
g
v02
H=
2g
Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch po okręgu lub elipsie
y
V
kierunek ruchu
A
Ruch po okręgu
ω
równania ruchu:
x = r ⋅ cos ωt
y = r ⋅ sin ωt
a
y
α = ωt
x
x
t=0
położenie
początkowe
prędkość:
przyspieszenie:
vx = x& = − rω sin ωt
,
v y = y& = rω cos ωt
a x = &x& = − rω 2 cos ωt
a y = &y& = − rω sin ωt
2
,
gdzie: r , ω - const
tor: x 2 + y 2 = r 2 , położenie początkowe: t = 0 ; x = r , y = 0
stąd
v = x& 2 + y& 2 = rω = const
stąd
a = &x&2 + &y& 2 = rω 2 = const
Prof. Edmund Wittbrodt
y
Ruch po elipsie
V
kierunek ruchu
ω a
α = ωt
prędkość:
przyspieszenie:
vx = x& = −bω sin ωt
,
v y = y& = cω cos ωt
a x = &x& = −bω 2 cos ωt
a y = &y& = −cω sin ωt
2
,
gdzie: b,c, ω - const
y
x
równania ruchu:
x = b ⋅ cos ωt
y = c ⋅ sin ωt
2
x
tor:
t=0
położenie
początkowe
2
 x  y
  +   = 1 , położenie początk.: t = 0 ; x = b, y = 0
b  c 
stąd
v = x& 2 + y& 2 = ω b 2 sin 2 ωt + c 2 cos 2 ωt
stąd
a = &x&2 + &y& 2 = ω 2 b 2 cos 2 ωt + c 2 sin 2 ωt
Prof. Edmund Wittbrodt