ortonormalną 3-ty

 Andrzej Leśnicki
Uogólniony szereg Fouriera
1/1
SZEREGI FOURIERA
Uogólniony szereg Fouriera
Iloczyn skalarny x, y dwóch sygnałów zespolonych xt  , y t  w przedziale a  t  b
b
x, y   xt  y  t dt
a
Dla iloczynu skalarnego zachodzi symetria hermitowska x, y   y , x
.

Dwa sygnały xt  , y t  są ortogonalne x  y , gdy ich iloczyn x, y  0 .
Norma x sygnału xt  całkowalnego z kwadratem
b
x 
x, x 
 xt 
2
dt  0
a
Skończony lub nieskończony ciąg sygnałów g 0 , g1 , g 2 ,  jest ciągiem ortogonalnym, gdy
2
g m , g n  0 dla m  n i g k , g k  g k
 0 dla każdego k .
2
Ciąg ortogonalny g 0 , g1 , g 2 ,  jest ciągiem ortonormalnym, gdy g k , g k  g k  1 .
Ciąg ortogonalny jest zupełny, gdy poza tym ciągiem nie istnieje w przestrzeni sygnałów
całkowalnych z kwadratem sygnał (oprócz sygnału zerowego), który byłby ortogonalny do
wszystkich sygnałów ciągu.
Uogólniony szeregiem Fouriera sygnału xt  całkowalnego z kwadratem w przedziale
a  t  b względem ciągu ortogonalnego g 0 , g1 , g 2 ,  nazywamy szereg

xt    c k g k t  ,
k 0
ck 
x, g k
gk
2
W przypadku, gdy ciąg g 0 , g1 , g 2 ,  jest ortonormalny i zupełny (jest bazą ortonormalną),
to zachodzi równość Parsevala
x
2

  ck
k 0
2
 Andrzej Leśnicki
Trygonometryczny szereg Fouriera
1/3
Trygonometryczny szereg Fouriera
W trygonometrycznym szeregu Fouriera wybrano jako ciąg ortonormalny, zupełny (bazę)
ciąg funkcji trygonometrycznych
1, cos  0 t , sin  0 t , cos 2 0 t , sin 2 0 t , cos 3 0 t , sin 3 0 t , 
Są to funkcje okresowe z podstawowym okresem T0  2  0 , gdzie pulsacja  0 nazywa się
pulsacją podstawową. Dzięki temu będzie możliwe rozwinięcie w szereg nie tylko sygnału
xt  określonego w przedziale t 0  t  t 0  T0 , ale też sygnału okresowego xt   xt  T0  ,
określonego na całej osi czasu.
Rozwinięcie rzeczywistego sygnału okresowego xt   xt  T0  w trygonometryczny szereg
Fouriera


k 1
k 0
xt   a 0   a k cos k 0 t  bk sin k 0 t   C k cosk 0 t   k 
gdzie dla k  0
t T
1 0 0
a0 
xt dt
T0 t0
jest wartością średnią w okresie T0 sygnału, a dla k  1, 2, 
2
ak 
T0
t 0  T0
2
T0
t 0  T0
bk 
 xt  cos k
0
tdt
t0
 xt  sin k
0
tdt
t0
t 0 T0
Skracamy zapis tych całek

t0


.
T0
Ponieważ obowiązuje wzór trygonometryczny
b

a cos   b sin   a 2  b 2 cos   arctg 
a

to między parametrami obu postaci szeregu trygonometrycznego zachodzą związki
b
C 0  a 0 ,  0  0 , C k  a k2  bk2 ,  k   arctg k , k  1, 2, 
ak
Współczynniki C k nazywają się widmem amplitudowym, a kąty  k widmem fazowym
sygnału okresowego xt  .
Sygnał okresowy ma widmo dyskretne, prążkowe.
Prążki widma występują na pulsacjach k 0 i nazywają się harmonicznymi sygnału.
Wartości prążków widma amplitudowego są podawane w takich samych jednostkach jak
sygnał, tzn. jeśli sygnał jest sygnałem napięciowym, to wartości prążków są podawane w
woltach. Jeśli sygnał jest sygnałem prądowym, to wartości prążków są podawane w
amperach.
Wartości prążków widma fazowego są podawane w radianach lub stopniach.
 Andrzej Leśnicki
Trygonometryczny szereg Fouriera
2/3
Ponieważ dla każdego zbieżnego szeregu (nie tylko szeregu Fouriera) wyrazy zmierzają do
zera przy k   , to prążki widma amplitudowego maleją do zera przy pulsacji zmierzającej
do nieskończoności. Dokładniej, jeżeli sygnał xt  jest funkcją ciągłą wraz pochodnymi do
rzędu n -tego włącznie, to lim C k k n 1  0 .
k 
Równość Parsevala dla trygonometrycznego szeregu Fouriera
1
1  2
1  2
2
2
2
2
x

t

dt

a

a

b

C

Ck
 k k 0 2
0
T0 T0
2 k 1
k 1
Równość ta oznacza, że moc sygnału okresowego może być obliczona w dziedzinie czasu
1
2
P
xt  dt lub w dziedzinie częstotliwości jako suma ważona podniesionych do

T0 T0
kwadratu prążków widma amplitudowego.
Podniesione do kwadratu widmo amplitudowe nazywa się widmem mocy. W przypadku
okresowych sygnałów napięciowych i prądowych moc sygnału jest mocą na rezystancji
jednostkowej. Wartość prążka widma mocy jest podawana w watach.
Pierwiastek z mocy sygnału na rezystancji jednostkowej jest wartością skuteczną sygnału
okresowego X sk  P .
Warunkiem dostatecznym istnienia szeregu Fouriera jest bezwzględna całkowalność sygnału
 xt  dt  
T0
Jest to tzw. słaby warunek Dirichleta.
Szereg Fouriera sygnału ma w każdym punkcie przedziału t 0  t  t 0  T0 wartość równą
sygnałowi rozwijanemu xt  , gdy są spełnione tzw. mocne warunki Dirichleta:
a) przedział t 0  t  t 0  T0 można podzielić na skończoną liczbę przedziałów otwartych,
w których xt  jest funkcją monotoniczną;
b) w przedziale t 0  t  t 0  T0 istnieje skończona liczba nieciągłości pierwszego rodzaju
1
(skoków), w których xt   xt  0  xt  0  .
2
Przykładem sygnału okresowego, który nie spełnia warunków Dirichleta jest sygnał tgt  .
 Andrzej Leśnicki
Trygonometryczny szereg Fouriera
3/3
Dla sygnałów okresowych oblicza się:
- współczynnik szczytu
A
ks 
X sk
- zawartość harmonicznych
C
hk  k
C1 k  2, 3,
- współczynnik zawartości harmonicznych
P  P0
h  h22  h32  h42   
1
P1
Zbieżność szeregu Fouriera na przykładzie fali kwadratowej o rozwinięciu
4
1
1
1

xt    sin  0 t  sin 3 0 t  sin 5 0 t  sin 7 0 t  

3
5
7

W miarę uwzględniania coraz większej liczby harmonicznych aproksymacja jest coraz
dokładniejsza, ale tylko w sensie średniego błędu kwadratowego.
W sensie wartości bezwzględnej odchyłki dokładność aproksymacji nie polepsza się ze
wzrostem liczby harmonicznych. Amplituda pierwszego przerzutu nie maleje do zera i
pozostaje na poziomie około 18%. Nazywa się to zjawiskiem Gibbsa.
 Andrzej Leśnicki
Wykładniczy szereg Fouriera
1/1
Wykładniczy szereg Fouriera
W wykładniczym szeregu Fouriera wybrano jako ciąg bazę ciąg funkcji wykładniczych
 , e  j 3 0t , e  j 20 t , e  j 0t , 1, e j0t , e j 20 t , e j 3 0t , 
Wykładniczy szereg Fouriera

xt  
D e
jk  0 t
k
k  
gdzie
Dk 
1
T0
 xt e
 jk  0t
dt
T0
są współczynnikami zespolonymi Dk  Dk e j k spełniającymi zależność D k  Dk .
Widmo Dk jest widmem dwustronnym, gdyż indeksy k rozciągają się od minus do plus
nieskończoności.
Widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a widmo fazowe funkcją nieparzystą dla sygnału
rzeczywistego.
Z przekształcenia
xt  

D e
k
k  
jk  0t




 D0   Dk e jk0 t  Dke  jk0 t  D0   2 Dk cosk 0 t   k 
k 1
k 1
widać, że między współczynnikami trygonometrycznego i wykładniczego szeregu Fouriera
zachodzą związki
C 0  D0 ,
C k  2 Dk ,  k  arg Dk
Równość Parsevala

1
2
2
P
x

t

dt

D

2
Dk

0
T0 T0
k 1
Przykład 55
Przykład 56
2
 Andrzej Leśnicki
Właściwości szeregu Fouriera
1/3
Właściwości szeregu Fouriera
Właściwość 1. Działanie obliczania współczynników rozwinięcia w szereg Fouriera jest
działaniem liniowym. Jeśli sygnał okresowy jest kombinacją liniową sygnałów okresowych,
to współczynniki jego rozwinięcia w szereg Fouriera są kombinacją współczynników
rozwinięć składowych sygnałów. Współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera są wprost
proporcjonalne do amplitudy A sygnału okresowego.
Właściwość 2. Przesunięcie sygnału okresowego w pionie na osi rzędnych spowoduje, że w
widmie zmieni się tylko prążek składowej stałej, a przesunięcie sygnału w poziomie na osi
czasu spowoduje, że w widmie zmieni się tylko widmo fazowe o wartość  k 0 t 0 :


k 1
k 1
xt   E0  xt  t 0  , C 0   C k cosk 0 t   k   C 0  E0   C k cosk 0 t  t 0    k 
Właściwość 3. Jeżeli rzeczywisty sygnał okresowy jest funkcja parzystą xt   x t  , to jego
widmo dwustronne jest czysto rzeczywiste, a w jego trygonometrycznym rozwinięciu w
szereg Fouriera występują wyłącznie składowe kosinusoidalne, gdyż składowe sinusoidalne
zerują się bk  0 .
Właściwość 4. Jeżeli rzeczywisty sygnał okresowy po odrzuceniu składowej stałej jest
funkcją nieparzystą xt    x t  , to jego widmo dwustronne jest czysto urojone, a w jego
trygonometrycznym rozwinięciu w szereg Fouriera występują wyłącznie składowe
sinusoidalne, gdyż składowe kosinusoidalne zerują się a k  0 ..
Właściwość 5. Jeżeli rzeczywisty sygnał okresowy po odrzuceniu składowej stałej ma
 T 
właściwość antysymetrii xt    x t  0  , to w widmie sygnału występują wyłącznie
2

nieparzyste harmoniczne  0 , 3 0 , 5 0 ,  . W sygnale antysymetrycznym w dwóch
kolejnych półokresach przebieg różni się tylko znakiem.
Właściwość 6. Sygnał xt  nazywamy odcinkami gładkim w przedziale a  t  b , gdy
funkcje xt  i x t  są w tym przedziale ciągłe poza skończoną liczbą punktów nieciągłości
pierwszego rodzaju (skoków). Jeżeli sygnał okresowy xt  jest odcinkami gładki, to równość
xt  

D e
jk 0t
k
może być dwustronnie zróżniczkowana
k  
x t  

 jk
k  
0
Dk e jk 0t
 Andrzej Leśnicki
Właściwości szeregu Fouriera
2/3
Właściwość 7. Jeżeli sygnał okresowy xt  o zerowej wartości średniej D0  0 jest
odcinkami ciągły, to w równości xt  

D e
jk 0t
można dwustronnie obliczyć całkę
k
k  
nieoznaczoną
y t    xt dt  E0  
k 0
Dk jk0t
e
,
jk 0
E0 
1
T0
 yt dt
T0
Całka z sygnału okresowego o zerowej wartości średniej
 xt dt
daje sygnał okresowy y t 
taki, że y t   xt  .
Właściwość 8. Ze zmianą okresu T0 sygnału okresowego xt  nie zmienia się wysokość
prążków widma amplitudowego i fazowego, a zmienia się jedynie skala na osi częstotliwości.
Szeregi Fouriera ważniejszych sygnałów okresowych
a)
xt   A

T0



 

sin  k 

 T0  cos k t
2 e jk0t  A   2 A 

0

T0
T0 k 1 k 
k0
2
T0
sin k0
k  
A
X sk  A


T
 0
2
0


2

2
t
T0
2
T0
k
b) xt  

4 A   1
4A 
1
1
1

cos2k  10 t 
 cos 0 t  cos 30 t  cos 50 t  cos 70t   

 k 0 2k  1
 
3
5
7

T0
2

c)

T0
xt  
T0
2
A
A
t
0
A
A

2     2
1  
T0  T0 
T0
X sk  A


 
sin  k 
 T0  sin k  t   


0
k2
 2
k 1

A

0

T0

t
X sk 
A
3
 Andrzej Leśnicki
Właściwości szeregu Fouriera
k 1
2 A   1

 k 1 k
xt  
d)

2A 
1
1
1

 sin 0 t  sin 20t  sin 30t  sin 40t  
 
2
3
4


A
T
 0
2
e)
sin k0 t 
3/3
0
A
t
T0
2
X sk 
T0
A
3

 
 k 
1

cos
A  2A  
 T0  cos k t
xt  
 2

0
2 T0  T0 k 1
k2
A




2
T
 0
2
t

2
0
X sk  A
T0
2
1
3 T0
T0
f)
xt  
8A 
1
8A 
1
1
1

cos2k  10 t  2  cos  0t  cos 30t  cos 50 t  cos 70 t  
2
2 
 k 1 2k  1
 
9
25
49

 
T0
2
T0
2
A
A

t
0
T0
X sk 
A
3
k
g)
A A
2 A   1
 cos 0 t 
cos 2 k0 t 

 2
 k 1 4k 2  1
xt  
A A
2A  1
1
1
1

 cos 0t 
 cos 20 t  cos 40 t  cos 60 t  cos 8 0t  
 2
 3
15
35
63

A
cos 0t
A
X sk 


2
t
T0
T
T
T0
0
T0
0
0


2
4
2
4

2 A 4 A   1

cos k0 t 


 k 1 4k 2  1
k
h)
xt  

2A 4A  1
1
1
1


 cos 0 t  cos 20t  cos 3 0t  cos 40 t  

 3
15
35
63

t
cos 0
A
2
A


X sk 
t
2
T0
T0
0
T
2T
0

0
2
2
 Andrzej Leśnicki
Sygnały okresowe w układach liniowych
1/1
Sygnały okresowe w układach liniowych
Sygnał sinusoidalny xt   A cos 0 t   x  , przechodząc przez układ liniowy o transmitancji
H  j  , zmienia swoją amplitudę i fazę o wartości zależne od wartości transmitancji na
pulsacji  0 sygnału sinusoidalnego: y t   A  H  j 0  cos 0 t   x  arg H  j 0  .
Wejściowy sygnał okresowy przedstawiony w postaci szeregu Fouriera jest sumą sygnałów
sinusoidalnych, a układ liniowy spełnia zasadę superpozycji. Dlatego dla okresowego sygnału

wejściowego xt   C 0   C k cosk 0 t   k  , układ ma odpowiedź o następującej postaci
k 1

y t   C 0 H 0   C k H  jk 0  cosk 0 t   k  arg H  jk 0 
k 1
a)

xt   C0   Ck cosk 0 t   k 
k 1
H  j 
y t   C0 H 0 

  Ck H  jk 0  cosk 0t   k  arg H  jk 0 
k 1
b)
Ck
k
C1
C0
C2
C3
0
C4
c)
0
2 0 3 0 4 0 5 0
1

0
0
d)
2 0 3 0 4 0 5 0
0
C4 H 4 0 
0
C5 H 5 0 

0

2
3
4
5
2 0 3 0 4 0 5 0
3 0 4 0 5 0
0
2 0

0
2 0 3 0 4 0 5 0


C2 H 2 0 
C3 H 3 0 
C1 H  0 
C0 H 0

arg H  j 
H  j 
0
2 0 3 0 4 0 5 0
C5

0
0

1 
arg H  0 
2 
arg H 2 0 

itd.
Widma sygnałów okresowych w układzie liniowym: a) transmisja sygnału w układzie; b)
widmo sygnału wejściowego; c) charakterystyki częstotliwościowe układu; d) widmo sygnału
wyjściowego
Przykład 57