Wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego do ilustracji podstawowych

Wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego
do ilustracji podstawowych pojęć z rachunku prawdopodobieństwa.
Arkusz kalkulacyjny można wykorzystać do ilustracji wielu pojęć omawianych na
lekcjach matematyki w szkole średniej. Jednym z działów, który do tego nadaje się
doskonale, jest rachunek prawdopodobieństwa. Postaram się opisać jak można to zrobić na
przykładzie bardzo prostego zadania:
Znajdź rozkład prawdopodobieństwa sumy oczek w dwukrotnym rzucie symetryczną
kostką sześcienną.
Rozkład ten będzie zawierał przybliżone wartości prawdopodobieństw, które policzymy
badając częstość wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych tego doświadczenia
losowego. W praktyce pokazanie uczniom, bez użycia komputera, że w przypadku dużej
liczby doświadczeń losowych częstość zdarzeń, (wyznaczona eksperymentalnie jako iloraz
liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich zdarzeń) zbliża się do teoretycznie
obliczonej wartości prawdopodobieństwa, nie jest praktycznie możliwe. Korzystając
z arkusza możemy w prosty sposób symulować wykonywanie dużej liczby doświadczeń.
Liczba ta jest ograniczona jedynie ilością komórek (w Excelu z pakietu Microsoft Office XP
mamy do dyspozycji 65536 wierszy). Problem wykonania dostatecznie wielu prób
praktycznie więc nie istnieje. Poniżej opiszę jak zdefiniować formuły, które umożliwią
ilustrację rozwiązania tego zadania w arkuszu kalkulacyjnym.
Do symulacji wyników rzutu kostką sześcienną użyjemy funkcji bezparametrowej LOS().
Funkcja ta zwraca liczbę losową o równomiernym rozkładzie z przedziału <0,1). Mnożąc tę
liczbę przez 6 otrzymamy liczbę losową z przedziału <0,6). Następnie należy znaleźć jej
część całkowitą stosując funkcję LICZBA.CAŁK(LOS()*6). W ten sposób otrzymamy
losową liczbę całkowitą z przedziału <0,6). Aby uzyskać końcowy efekt należy do wyniku
dodać 1. W ten sposób w kolumnach B i C arkusza uzyskaliśmy symulację wyników rzutu
dwiema kostkami sześciennymi. Kolumna A zawiera numer kolejnego doświadczenia
losowego. W kolumnie D sumujemy wyniki obu rzutów. Poniżej przedstawiam gotowe
rozwiązanie (komórki odnoszące się do doświadczenia numer 1 zawierają wyświetlone
formuły).
A
B
C
D
KOLEJNY
NR
SUMA
KOSTKA 1
KOSTKA 2
OCZEK
1 =LICZBA.CAŁK(LOS()*6)+1 =LICZBA.CAŁK(LOS()*6)+1 =B3+C3
2
4
5
9
3
6
2
8
4
4
1
5
5
6
5
11
6
6
5
11
7
2
1
3
8
5
5
10
9
6
5
11
W omawianym przykładzie wykonałem 1000 doświadczeń losowych. Aby policzyć
częstość wszystkich zdarzeń należy policzyć ilość wystąpienia poszczególnych sum
w kolumnie D. Zrobić to można korzystając z funkcji LICZJEŻELI(…). Gotowe rozwiązanie
przedstawione jest poniżej w kolumnach F i G (użycie adresowania bezwzględnego
D$3:D$1003 umożliwia przepisanie formuły w dół, co ułatwia definiowanie kolejnych formuł
w kolumnie G).
F
G
ILOŚĆ
1000
RZUTÓW
ILOŚĆ WYSTĄPIENIA POSZCZEGÓLNYCH
SUM
SUMA = 2
=LICZ.JEŻELI(D$3:D$1003;"=2")
SUMA = 3
46
SUMA = 4
92
SUMA = 5
119
SUMA = 6
152
SUMA = 7
172
SUMA = 8
124
SUMA = 9
109
SUMA = 10
90
SUMA = 11
55
SUMA = 12
18
Jak widać już 1000 prób umożliwia pokazanie faktu, że poszczególne zdarzenia nie są
jednakowo prawdopodobne. Widać również jak duża jest różnica w występowaniu
poszczególnych wyników. Do policzenia częstości zdarzeń (kolumna J) wystarczy podzielić
ich ilość przez ogólną liczbę doświadczeń, która jest wyświetlona w komórce G3. Dla lepszej
ilustracji komórkom tym nadałem format procentowy.
I
J
CZĘSTOŚĆ
WYSTĘPOWANIA
POSZCZEGÓLNYCH SUM %
SUMA = 2
=G7/G$3
SUMA = 3
6,10%
SUMA = 4
8,30%
SUMA = 5
10,90%
SUMA = 6
13,00%
SUMA = 7
17,00%
SUMA = 8
15,60%
SUMA = 9
10,90%
SUMA = 10
7,50%
SUMA = 11
5,00%
SUMA = 12
2,70%
Sposób postępowania opisany powyżej można wykorzystać do ilustracji innych
doświadczeń losowych, polegających na wielokrotnym losowaniu elementów dowolnego
zbioru o skończonej liczbie elementów. Zwiększając liczbę doświadczeń można zauważyć, że
częstość będzie zbliżała się do teoretycznej wartości prawdopodobieństwa.
Przykładowy arkusz