1. całkowanie przez podstawianie a. ∫ dx , b. ∫ x3 sin(x2 + 1)dx c

1. całkowanie przez podstawianie
R
a. x dx
,
R 3ln x 2
b. x sin(x + 1)dx
R
c. cos3 x sin2 xdx itp.
2. całkowanie przez części:
R
a. cos2 xdx,
R
b. sin4 xdx,
R
c. xex dx,
R
d. sin xex dx
R
e. arc sin xdx itp.
3. algorytm całkowania funkcji wymiernych,
4. całki funkcji niewymiernych
√
xdx
√
,
3
x+1
a.
R
b.
R q ax+b
c.
R
d.
R
e.
R√
f.
R
g.
R
cx+d dx,
√ 5x+7
dx,
2x2 +3x−1
√ x−2
dx,
1+3x−2x2
ax2 + bx + cdx,
W (x)dx
√ n
.
ax2 +bx+c
(x−α)n
√dx
.
ax2 +bx+c
5. całki funkcji trygonometrycznych - metody z przykładów
R
7.45 sin 5x cos 3xdx,
R
7.49 1+sindx
x+cos x ,
R
dx
7.50 1−sin
4 x.
Przykładowe zadania z całek nieoznaczonych:
2
1.
R
ex sin xdx,
1.
R
xex xdx,
1.
R
ex sin xdx,
2.
R
cos x
2arc
dx
√
,
1−x2
2.
R
dx
sin x+cos x ,
2.
R
sin xdx
,
sin2 x+cos x
3.
R
x2 dx
x3 +2x2 −x−2 ,
3.
R
(1−2x)dx
2−x−x2 ,
3.
R
x2 dx
x6 +1 ,
4.
R
.
4.
R
4.
R
dx
√
.
(x−1) 4−x2
1.
R
x2 ex xdx,
1.
R
1.
R
sin 2x cos 3xdx,
2.
R
xdx
(x2 +1) ln (x2 +1) ,
2.
R
2.
R
√
√ xdx
√ ,
x+ 4 x
3.
R
dx
x4 −1 ,
3.
R
x2 −xdx
x3 +x2 +3x−5 ,
3.
R
x3 dx
x4 −x2 +1 ,
4.
R
dx
2−x−x2 .
4.
R
(x−1)dx
√
.
1−4x2
4.
R
(x−1)dx
√
.
4−x2
dx
x2 +2x+2
(x2 +1)dx
(x2 +2x+5)(x−1)
,
sin2 2xdx,
√
3
tgxdx
cos2 x ,
Ostatni sprawdzian
R
R 3
R √
R
(2p.) arctgxdx, (2p.) xx2 +1
dx, (3p.) 2 x2 + 2x + 2dx; (3p.) cos4 xdx
+1
R
R
R
R
(2p.) x dx
(3p.) x3xdx
(3p.) x√3x2dx
; (2p.) sin 5x cos 3xdx
3 +1 ,
ln x ,
+2x−1
R
R
R 2x2 dx
R
dx
(2p.) ex cos xdx, (2p.) x(xx+1dx
(3p.) √3+2x−x
; (3p.) sin x+cos
2 +2x−3) ,
2
x
R
R x2 +3x+2
R √x+1
R
(2p.) x ln xdx, (3p.) x2 +2x+2 dx, (3p.) √
dx;
(2p.)
cos
7x
sin
2xdx
3
x−x