Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
Załóżmy, że funkcja y  f  x  jest dwukrotnie różniczkowalna w
Jeżeli
Jeżeli
Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

f   x   0, to krzywa y  f  x  jest wypukła na przedziale  a; b  .

f   x   0, to krzywa y  f  x  jest wklęsła na przedziale  a; b  .
x a;b 
x a;b 
Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym
otoczeniu punktu x0 , przy czym:
1o
f   x   0 dla x  x0
f   x   0
przedziale  a;b  .


Punkt P  x0 , f  x0  nazywamy punktem przegięcia funkcji y  f  x  wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje takie
f   x   0 dla
x > x0
  0, że funkcja jest wklęsła na przedziale
x  x0
x0
x > x0
 x0  ; x0  i wypukła na przedziale  x0 ; x0  
f   x 
+
0
-
lub odwrotnie
f  x

f  x0 



[tj. Q  x0 , f  x0  nazywamy punktem przegięcia funkcji y  f  x  wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje takie
  0, że funkcja jest
2o
wypukła na przedziale  x0  ; x0  i wklęsła na
przedziale  x0 ; x0    ]
Q
P
Punkty przegięcia
p.p.
albo
f   x   0 dla x  x0
f   x   0
f   x   0 dla x > x0
f   x 
f  x
x  x0
x0
x > x0
-
0
+

f  x0 

p.p.
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
Jeżeli punkt  x0 , f  x0   jest punktem przegięcia funkcji f i funkcja ta jest w
tym punkcie dwukrotnie różniczkowalna (tj. istnieje f   x0  ), to f   x0   0.
to x0 jest punktem przegięcia funkcji f
 f x 
x 2  4x  4
lim 

lim
1

x  
x  x  x  x  1
 x 2  4x  4

 3x  4 
lim  f  x   x   lim 
 x   lim 
  3
x 
x  
x

x 1

 x 1 
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI obejmuje :
I.
Analizę ogólnych własności funkcji.
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów określoności.
3. * Wyznaczenie (o ile istnieją) asymptot wykresu funkcji.
4. Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu
współrzędnych.(miejsca zerowe oraz wartość funkcji dla x=0)
5. * Określenie szczególnych własności funkcji (parzystość, nieparzystość, okresowość)
II.
Analizę pierwszej pochodnej funkcji.
 f x 
x 2  4x  4
lim 
 lim
1

x  
x  x  x  x  1
 x 2  4x  4

 3x  4 
lim  f  x   x   lim 
 x   lim 
  3
x 
x  
x

x 1

 x 1 
Stąd asymptotą funkcji zarówno w
6. Obliczenie pierwszej pochodnej funkcji.
7. Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej i przedziałów, gdzie pochodna jest
dodatnia i ujemna (przedziałów monotoniczności funkcji).
8. Wyznaczenie ekstremów funkcji.
9. Obliczenie drugiej pochodnej funkcji.
10. Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej i przedziałów, gdzie drugiej
pochodna jest dodatnia i ujemna (przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu
funkcji).
11. Wyznaczenie punktów przegięcia funkcji.
12. Sporządzenie wykresu funkcji.
Przykłady
f x 

jest prosta y  x  3.
lim f  x   lim
x 2  4x  4  7 
     
x 1
0 
lim f  x   lim
x 2  4x  4  7 
     
x 1
0 
x 1
x 1
x 1
Funkcja ta jest różniczkowalna na zbiorze D, a jej pochodna wyraża się wzorem
f x 
 2x  4  x  1   x 2  4x  4 
 x  1
2

x 2  2x  8
 x  12
jej dziedziną jest również zbiór D.
Wyznaczymy przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji
a)
jak i w
 asymptoty pionowe:
x 1
III. Analizę drugiej pochodnej funkcji.

x 2  4x  4
x 1
Funkcja jest stale rosnąca, gdyż jest dodatnia na całej swej dziedzinie
f x  0 
Dziedziną funkcji jest zbiór D   ;1  1;   .



x 2  4x  4
 
x 
x 
x 1
x 2  4x  4
lim f  x   lim
 
x 
x 
x 1
lim f  x   lim
 asymptoty ukośne (gdyż nie ma asymptot poziomych):
 x  1
2
0 
 x 2  2x  8   x  12  0
 xD

Miejsca zerowe to x  2 1  2
oraz x  2 1  2 .
Granice na końcach zbioru określoności funkcji (dziedziny):
 asymptoty poziome:
x 2  2x  8
Druga pochodna funkcji wyraża się wzorem
2
 x 2  2x  8   2x  2  x  1  2  x 2  2x  8   x  1
f   x   



2
 x  14
  x  1 
14  x  1
14


4
 x  1
 x  13
Nie ma miejsc zerowych, zatem funkcja nie ma punktów przegięcia.
f   x   0 
14
 x  13
3
3
 0   14  x  1  0   x  1  0  x  1
14
f   x   0 
Zauważmy, że
Funkcja ta jest różniczkowalna na zbiorze D, stąd jej pochodna wyraża się wzorem
3
3
 0   14  x  1  0   x  1  0  x  1
2
2
 x 2  1
x 2  1
 x   x  1  2x
f x   2



 
 x 1 
 x 2  12
 x 2  12
 x 2  12
 x  1
f   x   2  0 zatem funkcja jest wypukła na całej dziedzinie.
3

xD
x
…
2 1  2 
…
+
0
+
f x
f   x 
f x
1
jej dziedziną jest również zbiór D.
…
2 1  2 
…
+
+
+
+
+
+
-
-
-
x 3 
0

 
0
x 3
40
Funkcja jest stale malejąca, gdyż pochodna jest stale ujemna

f   x   0 gdyż
xD


xD
x2 1
 x 2  12
0
Druga pochodna funkcji wyraża się wzorem

x2 1
f   x    
  2 2
 x 1
30
20
2
 2x  x  1  2  x 2  1  x  1 2x  3  x 2 

 
 x 2  14
 x 2  13

20
10
-10
-5
5
10
-2
-1
Miejsca zerowe drugiej pochodnej
1
2
2x  3  x 2 
f   x   0 
 x 2  13
-10
0  x0
-20
-20
-30
-40
Rys. Do przykładu a)
b)
f x 
Znaki drugiej pochodnej
2x  3  x 2 
f   x   0 
 x 2  1
3
Rys. Do przykładu b)
 0  2x  3  x 2   x 2  1  0 
3
 x   ; 1   0;1
x
x 1
f   x   0 
2
Dziedziną funkcji jest zbiór D   \ 1, 1.
2x  3  x 2 
 x 2  1
3
 0  2x  3  x 2   x 2  1  0 
3
 x   1;0   1;  
Miejsce zerowe to x  0.
Granice na końcach zbioru określoności funkcji (dziedziny):
 asymptoty poziome:
x
0
x  x  1
lim f  x   lim
x 
2
x
0
x  x  1
lim f  x   lim
x 
2
lim f  x   lim
x 1
x 1
lim f  x   lim
x 1
x 1
f x
f   x 
f x
 asymptoty pionowe:
x
 1 
     
x 1  0 
2
x
1

 
x 2  1  0 
lim f  x   lim
x 1
x 1
lim f  x   lim
x 1
x 1
x
 1 
     
x 1  0 
2
x
1

 
x 2  1  0 
…
0
…
-
-
-
-
…
-
-
+
0
-
+
0
 
…
x
0
 
-1


1

0
c)
f x 
x  2
x3
 x  1 x  2 
Dziedziną funkcji jest zbiór D   \ 1, 2.
Miejsce zerowe to x  0.
Granice na końcach zbioru określoności funkcji (dziedziny):
 asymptoty poziome:
x3
x3
x
 
 
 lim 2
 lim


 
x 
x   x  1 x  2 
x  x  x  2
x 
1 2
1

0

0
1 
1  2 
x x
3
x
x
 
 
lim f  x   lim
 lim


 
x 
x   x  1 x  2 
x 
1 2 1  0  0
1 
1  2
x x
lim f  x   lim
Brak asymptot poziomych. Wówczas sprawdzamy czy występują
 asymptoty ukośne postaci y = ax + b
f x
x2
x2
1
 1 
 lim
 lim 2
 lim

 1
x

x

x
x  x  2 x  1  1  2
 x  1 x  2 
1  0  0 
2
x x
2
1


x3
x 3  x 3  x 2  2x
 1 0 
x
b  lim  f  x   a  x   lim 
 x   lim
 lim

2
 1
x 
x   x  1 x  2 
x 
x

1
2
x x2


1   2 1  0  0 
x x
a  lim
x 
f x
x2
x2
1
 1 
a  lim
 lim
 lim 2
 lim

 1
x 
x

x

x
x  x  2 x  1  1  2
 x  1 x  2 
1  0  0 
x x2
2
1


x3
x 3  x 3  x 2  2x
 1 0 
x
b  lim  f  x   a  x   lim 
 x   lim
 lim

1
x 
x   x  1 x  2 
x 
1 2 1  0  0 
x2  x  2

 x 
1  2
x x
 asymptoty pionowe:
lim f  x   lim
x 1
x 1
lim f  x   lim
x 1
x 1
x3
8
     

x 2  x  1 x  2 
0 
lim f  x   lim
x
3
 x  1 x  2 
 1 
     
0 
x3
 1 

 
 x  1 x  2   0 
x
8
lim f  x   lim
     
x 2
x 2  x  1 x  2 
0 
3
Funkcja ta jest różniczkowalna na zbiorze D, stąd jej pochodna wyraża się wzorem
2
2

 3x 2  x  1 x  2   x 3  2x  1 x x  2x  6
x3
f  x   



2
2
  x  1 x  2  
 x  1 x  2 
 x  1 x  2 




jej dziedziną jest również zbiór D   \ 1,2. .
Punkty podejrzane o występowanie ekstremum funkcji wyznaczamy z warunku
f   x   0 . Zatem


f   x   0  x 2 x 2  2x  6  0  x  0  x 2  2x  6  0
  28  x1 
22 7
 1 7
2
x2 
22 7
1 7
2
Ponieważ zmiana znaku pochodnej następuję w punktach x1  1  7, x 2  1  7,
stąd


funkcja jest malejąca w przedziale 1  7;1  7 \ 1,2 ,


f   x   0, gdyż

x 2 x 2  2x  6


x 1 7 ;1 7 \ 1,2

 x  1 x  2  
x 1 7 ;1 7 \ 1,2

x1
0
gdyż pochodna jest stale ujemna
 
2
x2
0

Natomiast funkcja jest rosnąca w przedziale ;1  7  1  7;  ,
gdyż pochodna jest stale dodatnia

 
x ;1 7  1 7 ; 

f   x   0, gdyż

 
1
…
x ;1 7  1 7 ; 
x 1 7
1 7
…
f x
+
0
-
f x

f 1  7 

2
0
-
-
0
+


f 1  7 

 2x  4 
 x  x  2 3
2
2
x 1 7
2
min lokalne
   6x  x


  x  1 x  2 
1 7
Druga pochodna funkcji wyraża się wzorem
 x 2 x 2  2x  6



f x 
  x  1 x  2   2



...
max lokalne


x 2 x 2  2x  6
15
Miejsca zerowe drugiej pochodnej
6x  x 2  2x  4 
f   x   0 
x
2
 x  2
3
 0  x  0  x 2  2x  4  0
10
  12  0 czyli x 2  2x  4  0
5
Znaki drugiej pochodnej
6x  x 2  2x  4 
f   x   0 
 x 2  x  2
3
5
 0  6x  x 2  2x  4  x 2  x  2   0 
3
5
5
Ponieważ x  2x  4  0 , pozostaje sprawdzić dla jakich x spełniona jest nierówność
2
6x  x 2  x  2  0
3
 10
Spr. x  x  2  0    9 x1  1 x 2  2
2
0
2
1
x   1;0   2;  
6x  x 2  2x  4 
f   x   0 

 x 2  x  2
x   ; 1   0;2
3
1
…
 15
 0  6x  x 2  2x  4  x 2  x  2   0 
3
…
0
…
2
...
f   x 
-
+
0
-
+
f x


f  0


p.p.
Reasumując powyższe badanie można wyniki umieścić w tabeli i na tej podstawie naszkicować
wykres funkcji.
x 1 7
1 7
…
f x
+
0
f   x 
-
f x


1
...
1 7
x 1 7
-
-
0
+
0
-
+
+
+

 
f 1  7 

…
0
…
-
-
-
-
-
+
f 1  7 
 
max lokalne


p.p.
2


min lokalne