zmienna losowa - zadania - E-SGH

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA – ZADANIA
1. Zmienna losowa przyjmuje wartości –1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi,
odpowiednio, ¼, ½ i ¼ . Należy:
a) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej
b) Zdefiniować i przedstawić graficznie dystrybuantę zmiennej.
2. Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisują następujące wartości P(-4)=0,1, P(2)=0,2, P(0)=0,5, P(1)=0,1 i P(4)=0,1.
a) Przedstaw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=2X + 1.
b) Czy przekształcenie matematyczne zmiennej X w zmienną Y zgodnie z powyższą regułą
zmienia wartości dwóch podstawowych parametrów rozkładu, tj. wartość oczekiwaną i
wariancję zmiennej Y w stosunku do wartości parametrów zmiennej X. Udowodnij
odpowiedź.
3. Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisują następujące wartości P(-4)=0,1, P(2)=0,2, P(0)=0,5, P(1)=0,1 i P(4)=0,1. Przedstaw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej Y=2X2 + 1. Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej Y korzystając z jej własności.
4. Mając daną dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej
{
F(x)=
0
1/3
2/3
1
dla x<0,5
dla 0,5≤x<1
dla 1≤x<5
dla
x≥5
wyznacz P(X≤0,5), P(0,5≤X≤5), P(X≥1), P(X>0,5).
5. Prawdopodobieństwo, że sprzęt zakupiony w pewnym sklepie AGD nie trafi w ustalonym
terminie pod wskazany adres wynosi 0,25. Ekipa transportowa ma dowieźć 6 lodówek do
nowych właścicieli. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) wszystkie lodówki trafią pod wskazany adres,
b) będą 2 pomyłki,
c) będą co najmniej 3 pomyłki.
6. Waga kotów dachowców jest zmienną losową (X) o rozkładzie normalnym ze średnią równą 3
kg i odchyleniu standardowym równym 0,5 kg. Waga psów podwórkowych jest zmienną losową
(Y) o rozkładzie normalnym N(6 kg; 1 kg). Wyznaczyć:
a) Jaki jest oczekiwany procent kotów badanej populacji o wadze nie większej niż 2,5 kg?
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pies będzie ważył więcej niż 7,5 kg .
c)Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne: znalezienie kota, który będzie ważył co najmniej
4 kg, czy znalezienie psa, który będzie ważył co najwyżej 4 kg.
7. Czas świecenia żarówki ma rozkład normalny z parametrami
m= 2000 godz. oraz σ = 200 godz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić:
a) od 1800 do 2200 godzin?
b) mniej niż 1600 godzin?
c) więcej niż 2600 godzin ?
8. Zakładając, że czas oczekiwania w kolejce do banku na SGH ma rozkład normalny N(15, 5),
określić, jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie się stało w kolejce:
a) w czasie nie dłuższym niż 10 min
b) w czasie krótszym niż 18 min ale dłuższym niż 12 min
c) jaki procent klientów będzie oczekiwał w kolejce w czasie nie krótszym niż 18 min?
Wyniki proszę zilustrować graficznie.
9. Janek biega ze średnią prędkością 6 km. na godz. z odchyleniem standardowym wyników 2
godz., rzuca młotem zaś, średnio na 30 m, z odchyleniem standardowym 15 m. Dziś Janek
przebiegł dystans z prędkością 7 km na godz. i rzucił młotem na 32 m. Jeśli przyjąć, że wyniki
sportowe Janka mają rozkład normalny, to:
a) Jaki procent wyników Janka w bieganiu jest gorszych od dzisiejszego?
b) Jaki procent wyników w rzucie młotem jest lepszych od dzisiejszego?
c) Jakie wyniki Janka należą do 5% najlepszych w bieganiu?
d) Jakie wyniki Janka należą do 10% najgorszych w rzucie młotem?
10. Średnia waga produktu wynosi 21 kg a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładając, że waga ma
rozkład normalny obliczyć prawdopodobieństwo, że:
- losowo wybrany produkt waży nie mniej niż 21,2 kg,
- losowo wybrany produkt waży więcej niż 20 kg.
11. Pewna zmienna losowa z wartością oczekiwaną 5 i wariancją 4 ma rozkład normalny.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że ta zmienna losowa przyjmie wartość ujemną.
12. Określić odchylenie standardowe przyrządu pomiarowego, o którym wiadomo, że z
prawdopodobieństwem 0,95 daje błąd nieprzekraczający 3 jednostek. Zakłada się ,że rozkład
błędu pomiaru jest normalny z wartością oczekiwaną równą zero.
13. Zmienna losowa X ma rozkład N(m, 30). Znaleźć m wiedząc, że P( X < 80 ) = 0,6915.
14. Czas spóźnień studentów na zajęcia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wariancji
0,25.
- Jakie jest średni czas spóźnienia jeśli co piąte spóźnienie było krótsze od 2 min.?
- Jak często studenci spóźniają się o dłużej niż średni czas spóźnienia?
15. Jeśli wynik ma rozkład normalny, to które wartości są bardziej prawdopodobne: bliższe
środka rozkładu, czy dalej od środka położone?
16. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(5; 1,5). Obliczyć:
− P(m-σ < X < m+σ)
− P(m-2σ < X < m+2σ)
− P(m-3σ < X < m+3σ)
17. Dane są następujące zmienne losowe: X∼ N(2;1), Y∼ N(5;2), Z∼ N(3;0,5), U∼ N(1;0).
Obliczyć P(X+Y+Z+U > 12).
18. Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta o 5 stopniach swobody. Obliczyć:
− P( | t| < 1,48)
− P( t < 2,5 )
− P( t > 4,0 )
19. Zmienna losowa χ2 ma rozkład chi-kwadrat o 10 stopniach swobody. Obliczyć:
− P (χ2 >18,3)
− P (3,9 < χ2 < 18,3)