1 0 dla xxxx≥5 - E-SGH

Jednowymiarowa zmienna losowa
Zadanie 1
Zmienna losowa przyjmuje wartości –1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi, odpowiednio, ¼, ½ i
¼ . Należy:
a) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej
b) Zdefiniować i przedstawić graficznie dystrybuantę zmiennej.
Zadanie 2
Mając daną dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej X:
F(x)=
0
dla x<0,5
1/3 dla 0,5≤x<1
2/3 dla 1≤x<5
1
dla
x≥5
wyznacz:
a) moment zwykły rzędu pierwszego zmiennej X
b) P(X≤0,5), P(0,5≤X≤5), P(X≥1), P(X>0,5).
c) Narysuj wykres funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuantę.
Zadanie 3
Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisują następujące wartości P(-4)=0,1, P(-2)=0,2,
P(0)=0,5, P(1)=0,1 i P(4)=0,1.
a) Przedstaw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=2X + 1.
b) Czy przekształcenie matematyczne zmiennej X w zmienną Y zgodnie z powyższą regułą zmienia
wartości dwóch podstawowych parametrów rozkładu, tj. wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej
Y w stosunku do wartości parametrów zmiennej X. Udowodnij odpowiedź.
c) Przedstaw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z=2X2 + 1. Wyznacz wartość
oczekiwaną zmiennej Z korzystając z jej własności.
Zadanie 4
Zmienna losowa X ma rozkład:
xi
-1
0
1
2
P(xi)
0,1
0,4
0,2
0,3
a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y=X2+1
b) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Z=3X+1
Zadanie 5
Z wcześniejszych badań jakości produkcji wynika, że 20 partii produkcji na 100 nie spełnia przyjętych
norm i zostaje odrzucona. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kontrola odrzuci 2 partie żarówek z 10
zbadanych?
Zadanie 6
Prawdopodobieństwo, że sprzęt zakupiony w pewnym sklepie AGD nie trafi w ustalonym terminie
pod wskazany adres wynosi 0,25. Ekipa transportowa ma dowieźć 6 lodówek do nowych właścicieli.
Obliczyć
a) jaka jest oczekiwana liczba lodówek dostarczonych w terminie na wskazany adres?
b) prawdopodobieństwo, że wszystkie lodówki trafią pod wskazany adres,
c) prawdopodobieństwo, że będą 2 pomyłki,
d) prawdopodobieństwo, że będą co najmniej 3 pomyłki.
Jakie założenia należy przyjąć w rozwiązaniu zadania?
1
Zadanie 7
Czas świecenia żarówki ma rozkład normalny z parametrami
µ= 2000 godz. oraz σ = 200 godz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić:
a) od 1800 do 2200 godzin?
b) mniej niż 1600 godzin?
c) więcej niż 2600 godzin ?
d) dokładnie 2100 godzin?
e) Dla jakiej wartości czasu świecenia żarówki dystrybuanta w badanym rozkładzie przyjmuje
wartość 0,25? Proszę zinterpretować tę wielkość.
Zadanie 8
Waga kotów dachowców jest zmienną losową (X) o rozkładzie normalnym ze średnią równą 3 kg i
odchyleniu standardowym równym 0,5 kg. Waga psów podwórkowych jest zmienną losową (Y) o
rozkładzie normalnym N(6 kg; 1 kg). Co jest bardziej prawdopodobne: że waga losowo wybranego
kota będzie nie większa niż 2,5 kg, czy znalezienie psa, który będzie ważył więcej niż 7,5 kg.
Zaznaczyć wyniki na wykresie funkcji gęstości przed i po standaryzacji.
Zadanie 9
Zakładając, że czas oczekiwania w kolejce do banku na SGH ma rozkład normalny N(15, 5), określić,
jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie się stało w kolejce:
a) w czasie nie dłuższym niż 10 min?
b) w czasie krótszym niż 18 min ale dłuższym niż 12 min?
c) jaki procent klientów będzie oczekiwał w kolejce w czasie nie krótszym niż 18 min?
Wyniki proszę zilustrować graficznie.
Zadanie 10
Janek biega ze średnią prędkością 6 km. na godz. z odchyleniem standardowym wyników 2 godz.,
rzuca młotem zaś, średnio na 30 m, z odchyleniem standardowym 15 m. Dziś Janek przebiegł dystans
z prędkością 7 km na godz. i rzucił młotem na 32 m. Jeśli przyjąć, że wyniki sportowe Janka mają
rozkład normalny, to:
a) Jaki procent wyników Janka w bieganiu jest gorszych od dzisiejszego?
b) Jaki procent wyników w rzucie młotem jest lepszych od dzisiejszego?
c) Jakie wyniki Janka należą do 5% najlepszych w bieganiu?
d) Jakie wyniki Janka należą do 10% najgorszych w rzucie młotem?
Zadanie 11
Średnia waga produktu wynosi 21 kg a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładając, że waga ma rozkład
normalny obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrany produkt waży nie mniej niż 21,2 kg,
b) losowo wybrany produkt waży więcej niż 20 kg.
Zadanie 12
Pewna zmienna losowa z wartością oczekiwaną 5 i wariancją 4 ma rozkład normalny. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że ta zmienna losowa przyjmie wartość ujemną.
Zadanie 13
Określić odchylenie standardowe przyrządu pomiarowego, o którym wiadomo, że
z prawdopodobieństwem 0,95 daje błąd nieprzekraczający 3 jednostek. Zakłada się, że rozkład błędu
pomiaru jest normalny z wartością oczekiwaną równą zero.
Zadanie 14
Zmienna losowa X ma rozkład N(m, 30). Znaleźć m wiedząc, że P( X < 80 ) = 0,6915.
2
Zadanie 15
Czas spóźnień studentów na zajęcia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wariancji 0,25.
a) Jakie jest średni czas spóźnienia jeśli co piąte spóźnienie było krótsze od 2 min.?
b) Jak często studenci spóźniają się dłużej niż o średni czas spóźnienia?
Zadanie 16
Jeśli wynik ma rozkład normalny, to które wartości są bardziej prawdopodobne: bliższe środka
rozkładu, czy dalej od środka położone?
Zadanie 17
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(5; 1,5). Obliczyć:
c) P(m-σ < X < m+σ)
d) P(m-2σ < X < m+2σ)
e) P(m-3σ < X < m+3σ)
Zadanie 18
Dane są następujące zmienne losowe: X∼ N(2;1), Y∼ N(5;2), Z∼ N(3;0,5), U∼ N(1;0). Obliczyć
P(X+Y+Z+U > 12).
Zadanie 19
Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta o 5 stopniach swobody. Obliczyć:
a) P( | t| < 1,48)
b) P( t < 2,5 )
c) P( t > 4,0 )
Zadanie 20
Zmienna losowa χ2 ma rozkład chi-kwadrat o 10 stopniach swobody. Obliczyć:
a) P (χ2 >18,3)
b) P (3,9 < χ2 < 18,3)
Dodatkowe zadania do rozwiązania w domu:
Zbiór zadań: 1.1.1, 1.1.2, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.11, 1.1.15, 1.2.13 – 1.2.17, 1.2.19, 1.2.23
Zestaw dr Wieczorek: 1-5, 7-10.
ODPOWIEDZI
Zadanie 1 a) EX=0; D2X=½.
Zadanie 2 a) m1=2,167; b) P(0,5≤X≤5)=1; P(X≥1)=2/3; P(X>0,5)=2/3.
Zadanie 3 a) EY=0,4; D2Y=16,04; b)EX=-0,3; D2X=4,01;EY=0,4;D2Y=16,04; c)EZ=9,2;D2Z=150,76.
Zadanie 4 a) EY=2,5; D2Y=2,85; b) EZ=3,1; D2Z=9,09 .
Zadanie 5 P(X=2)=0,3
Zadanie 6 a) 4,5; b) P(X=0)=0,178; c) P(X=2)=0,297; d) P(X>=3)=0,169.
Zadanie 7 a) P(1800≤X≤2200)=0,6826; b)P(X<1600)=0,02275; c)P(X>2600)=0,00135; d)0;e) 1866.
Zadanie 8 P(X≤2,5)=0,1587 > P(Y>4,5)= 0,0668.
Zadanie 9 a) P(X≤10)=0,1587; b) P(12<X<18)=0,4514; c) P(X>18)=0,2743.
Zadanie 10 a) P(X<xi)=69,15%; b) P(Y>yi)=0,4483; c) xj=9,28 km; d) yj=10,8 m.
Zadanie 11 a) P(X≥21,2)=0,4207; b) P(X>20)=0,8413.
Zadanie 12 P(X<0)=0,00621.
Zadanie 13 σ=1,53.
Zadanie 14 m = 65.
Zadanie 15 a) m=2,42 min; b) co drugi student.
Zadanie 17 a) 0,68269; b) 0,9545; c) 0,9973.
Zadanie 18 P(X+Y+Z+U>12)=0,33.
Zadanie 19 a) P( | t| < 1,48)=0,8; b) P( t < 2,5 )=0,975; c) P( t > 4,0 )=0,005.
Zadanie 20 a) P (χ2 >18,3)=0,05; b) P (3,9 < χ2 < 18,3)=0,9.
3