ZiIP Lista nr 5 z matematyki Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej

ZiIP
Lista nr 5 z matematyki
Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej zastosowania.
zad.1. Obliczyć pochodne następujących funkcji:
√
√
1
3
a) f (x) = 5x3 + 2x2 + + 2 , b) f (x) = x + 3 x − 3ex , c) f (x) = sin x + cos x − 4 ln x,
x x
d) f (x) = xex ,
e) f (x) = 10x3 ln x,
f) f (x) = sin x cos x,
√
5x2 + x − 2
x sin x
g) f (x) =
,
h) f (x) =
,
i) f (x) = 7x4 + 2x2 − 6,
2
x +7
1 + tg x
2
j) f (x) = arc sin (3x − 8),
k) f (x) = cos (2x + 5),
l) f (x) = ex log3 x,
2−x
2
4
m) f (x) = ln (x + sin 4x),
n) f (x) = √
,
o)
f
(x)
=
cos
6x
−
5x
−
2
,
5
4x3 + 3x
v
√
u
u1 − x
t
√ ,
p) f (x) =
q) f (x) = xx ,
r) f (x) = (sin x)2x+1 ,
1+ x
3
1 x
.
s) f (x) = (10x)−5x −2x ,
t) f (x) = 1 +
x
zad.2. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne oraz przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:
3x2 + 4x + 4
a) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1, b) f (x) = −x3 + 6x2 + 9x − 4, c) f (x) = 2
,
x +x+1
2
x − 3x + 2
,
e) f (x) = x2 ln x,
f) f (x) = x2 e−x .
d) f (x) = 2
x + 3x + 2
zad.3. Wyznaczyć wartość najmniejszą i wartość największą funkcji f w podanym przedziale I:
a) f (x) = x − 2 ln x, I = [1, e], b) f (x) = x4 − 2x2 + 5, I = [−2, 2],
x
, I = R,
d) f (x) = arc tg x2 , I = R.
c) f (x) = 2
x +1
zad.4. Wyznaczyć pochodną n-tego rzędu funkcji określonej następującym wzorem:
2
a) f (x) = e2x , b) f (x) = cos x, c) f (x) = ln x, d) f (x) =
.
3+x
zad.5. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f w podanym punkcie x0 :
π
a) f (x) = x5 + x4 + x + 1, x0 = 1, b) f (x) = sin x + 2 cos x, x0 = ,
2
ex
x
, x0 = 0,
d) f (x) = ln (x + e ), x0 = 0.
c) f (x) =
x+1
zad.6. Wykorzystując regułę de l’Hospitala obliczyć podane granice:
ex − e−x
sin x
5x − 3−2x
ln (2x + 1)
,
b) lim
,
c) lim
,
d) lim 3
,
a) lim
2
x→0
x→0
x→0
x→0
x
x cos√x
3x + x
x + x2 + 2x
x − sin x
2− x+1
ln (ln x)
1 − sin x + cos x
e) lim
,
f) lim
,
g) lim
,
h) limπ
,
3
2
x→+∞
x→0
x→3
x→ 2
x
sin 2x − cos x
x
2x − 6x 1
1
x
cos x 1
i) lim
−
, j) lim+
−
, k) lim x e x − 1 , l) lim− (1 − x) ln (1 − x),
x→−∞
x→1 ln x
x→1
x→0
ln x
sin x x
x2
1
1
1
o) lim 1 +
.
m ) lim x2 e x2 ,
n) lim x x ,
x→+∞
x→+∞
x→0
x