n - cjmat

Janusz Chojnacki
Politechnika Wrocławska
Filia w Jeleniej Górze
Wykład 2
Szeregi Nieskończone
Jeśli ktoś zauważy błędy, których starałem się uniknąć będę wdzięczny. Poprawię!
1. Definicja szeregu i szeregu zbieżnego
Zajmiemy się teraz ciągami nieskończonymi, zapisywanymi w postaci sum. Niech (an )
będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych. Szeregiem o wyrazach a0 , a1 , a2 ,... nazywamy
ciąg, którego kolejnymi wyrazami są sumy początkowych wyrazów ciągu
(an ) :
s0 = a0 , s1 = a0 + a1 , s2 = a0 + a1 + a3 ,... . Liczby s0 , s1 , s2 ,... nazywane są sumami częściowymi
szeregu o wyrazach a0 , a1 , a2 ,... . Szereg oznaczamy symbolem a0 + a1 + a2 + ... lub symbolem
∞
∑a
n=0
n
, czasem też
∑a
n
, jeśli nie jest istotne od jakiego wyrazu rozpoczynamy sumowanie.
Jeśli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu. Jeśli suma
szeregu jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym. Jeśli suma szeregu jest nieskończona,
lub jeśli ciąg sum częściowych nie ma granicy, to szereg nazywamy rozbieżnym.
Jeśli szereg ma sumę skończoną i nieskończoną, to oznaczamy ją tak samo jak szereg:
∞
∑a .
a0 + a1 + a2 + ... lub
n
n=0
Z
doświadczenia wynika, że w tym przypadku pewna
dwuznaczność oznaczeń nie prowadzi do nieporozumień a nawet jest ułatwieniem.
Tak jak w przypadku ciągów numerację wyrazów można zaczynać od dowolnej liczby
całkowitej. Jeśli rozpoczynamy od liczby k , to stosujemy oznaczenie ak + ak +1 + ... lub
∞
∑a .
n=k
n
Czytelnik może nieco zaskoczony tym, że rozpoczynamy od definicji i to nieco za długiej.
Otóż pojęcie sumy nieskończonej wymaga definicji. Na przykład jaka ma być wartość sumy
∞
nieskończonej
∑ (−1)
n
=1 − 1 + 1 − 1 + 1...?
Mogłaby
być
równa
0,
bo
n=0
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + .... Mogłaby być równa 1, bo
1
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... . A może nie zero ani 1 lecz ,
2
bo przecież sumujemy ciąg geometryczny o ilorazie −1 , a jak mówiono w szkole: suma
1
. Faktem jest że wielu absolwentów szkół średnich
nieskończonego ciągu jest równa
1− q
pamięta o tym, że trzeba było założyć, ale duża nie bardzo wie czemu takie założenie trzeba
uczynić.
Z naszych rozważań wynika, że zmiana kolejności wyrazów szeregu, czyli zmiana kolejności
sumowania nieskończonego doprowadziła do zmiany sumy szeregu. Można zmienić
kolejność wyrazów szeregu tak, by stał się on rozbieżny, np. by ciąg sum częściowych nie
miał granicy albo by miał granicę nieskończoną. Wskazuje to wyraźnie na konieczność
sprecyzowania pojęcia sumy nieskończonej – od tego zaczęliśmy ten wykład – a następnie
wyjaśnienia, jakie własności przysługują nieskończonym sumom, czyli szeregom. Tematu
tego nie wyczerpiemy, wykażemy jedynie kilka twierdzeń, które powinny pomóc zrozumieć,
jak można postępować z szeregami w najprostszych sytuacjach.
Udowodnimy teraz twierdzenie, które pozwala na dostawianie nawiasów w szeregu.
Twierdzenie ( łączność sumowania nieskończonego )
∞
∑a
Jeżeli szereg
n=0
k0 = 0, to szereg
n
jest zbieżny a ciąg (kn ) jest ściśle rosnący, bn = akn + akn +1 + ... + akn+1 −1 ,
∞
∑b
n=0
n
jest zbieżny.
∞
Ciąg sum częściowych szeregu
Dowód.
∑b
n =0
∞
szeregu
∑a
n=0
n
n
jest podciągiem ciągu sum częściowych
: b0 = a0 + a1 + ... + ak1 −1 , b0 + b1 = a0 + a1 + ... + ak2 −1 , itd. Jeśli ciąg jest zbieżny
to wszystkie jego podciągi są zbieżne do granicy tego ciągu.
Co należało dowieść
Twierdzenie to nic nie mówi o usuwaniu nawiasów. Ogólnie rzec biorąc nawiasów usuwać
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... jest zbieżny, natomiast po
nie wolno: szereg
otwarciu nawiasów mamy do czynienia z szeregiem 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ..., którego wyraz
(−1) n w ogóle nie ma granicy, w szczególności nie dąży do 0, wiec szereg ten jest rozbieżny.
Czasem jednak nawiasy można usunąć. Można to zrobić w przypadku, gdy wszystkie wyrazy
szeregu są tego samego znaku, np. wszystkie są nieujemne. Wtedy bowiem ciąg sum
∞
częściowych szeregu
∑a
n=0
n
jest monotoniczny, więc ma granicę i jest ona równa granicy
każdego podciągu.
Z twierdzenia o granicy iloczynu ciągów wynika, że po pomnożeniu wszystkich wyrazów
szeregu zbieżnego przez liczbę rzeczywistą otrzymujemy szereg zbieżny.
Twierdzenie
∞
∑ an jest zbieżny i c jest liczbą rzeczywistą, to szereg
Jeżeli szereg
n=0
zbieżny i zachodzi równość
∞
∞
n=0
n =0
∞
∑ (c ⋅ a )
n=0
n
też jest
∑ (c ⋅ an ) = c ⋅ ∑ an .
Szeregi zbieżne można też dodawać.
Twierdzenie ( o dodawaniu szeregów )
∞
∞
∑ a , ∑b
Jeżeli szeregi
n
n=0
∞
równość
n=0
∞
n
∞
∑ (a
są zbieżne, to również szereg
n=0
+ bn ) jest zbieżny i zachodzi
∞
∑ (an + bn ) = ∑ an + ∑ bn .
n=0
n=0
n=0
Wynika to z twierdzenia o granicy
sumy ciągów i tego, że suma częściowa szeregu
∞
∑ (an + bn ) jest równa sumie sum częściowych szeregów
n=0
∞
Szereg
n
∑ (an + bn ) nazywamy sumą szeregów
n=0
∞
∑ an i
n=0
∞
∑ an i
n=0
∞
∑b .
n=0
n
∞
∑b .
n=0
n
Warunek konieczny zbieżności szeregu, szereg harmoniczny
Twierdzenie.
∞
Jeżeli szereg
∑a
n=0
n
jest zbieżny, to lim an = 0.
n →∞
Dowód. Mamy an = sn − sn −1 . Granica lim sn jest skończona, bo szereg jest zbieżny, więc
n →∞
lim an = lim( sn − sn −1 ) = lim sn − lim sn −1 = 0. Dowód został zakończony.
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
Twierdzenia tego odwrócić nie można, co pokazuje następujący przykład.
Przykład – szereg harmoniczny
Zbadamy zbieżność szeregu
∞
1
∑ n.
1
= 0. Zauważmy, że dla każdej liczby
n →∞ n
Oczywiście lim
n =1
naturalnej k > 1 prawdziwa jest nierówność
1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
4
1
Stąd 1 + + + > 1 + + = 2, 1 + + + + + + + > 2 + = 2 .
2 3 4
2 2
2 3 4 5 6 7 8
8
2
1
, czyli dopiszemy następną grupę
Jeśli rozważymy sumę kończącą się na składniku
32
1
ułamków, których sumę można oszacować z dołu przez , to stwierdzimy, że suma ta jest
2
1
1
otrzymujemy sumę większą niż 3 , kończąc na
większa niż 3.Podobbnie kończąc na
64
2
1
otrzymujemy sumę większą niż 4 itd. Widać więc, że ciąg sum częściowych , który jest
128
∞
1
rosnący, ma granicę +∞. Wykazaliśmy więc, że ∑ = +, ∞ co oznacza, że szereg nie jest
n=0 n
zbieżny.
Zbadamy teraz zbieżność szeregu
∞
1
∑n
n =1
2
. Podobnie jak w poprzednim wyraz ogólny szeregu
1
= 0. Wobec czego szereg ma szansę być zbieżny. Wykażemy, że
n →∞ n 2
jest zbieżny i że jego suma i że jego suma nie jest większa niż 2.
1
1
1
1
=
− dla n > 1. Wobec tego możemy napisać:
Mamy 2 <
n
n(n − 1) n − 1 n
1 1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
− = 2 − < 2.
1 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + − + − + − + ... +
n
n −1 n
n
2 3
1 2 2 3 3 4
∞
1
1 1
1
Z otrzymanej nierówności wynika, że ∑ 2 = lim(1 + 2 + 2 + ... + 2 ) < 2. Wykazaliśmy
n →∞
n
2 3
n =1 n
więc zbieżność szeregu (ciąg sum częściowych jest ograniczony z góry i rosnący).
Wypada nadmienić, że wiemy coś o jego sumie – jest ona ≤ 2, ale matematycy potrafią ją
ma granicę równą 0 : lim
znaleźć – jest ona równa
π2
. Uzyskanie tego wyniku wykracza jednak poza program
6
wykładu z Analizy dla studentów Politechniki. Podaliśmy ten rezultat po to, by uświadomić
słuchaczom, że czym innym jest wykazanie istnienia granicy ciągu lub zbieżności szeregu, a
czymś zupełnie innym jej znalezienie.
Szereg geometryczny
∞
Szereg geometryczny
∑q
n
jest rozbieżny, gdy q ≥ 1. Wynika to stąd, że w tym
n=0
przypadku ciąg (q n ) nie ma skończonej granicy, a jeśli ją ma ( w przypadku q = 1 ), to jest
ona różna od 0.
1 − qn
n −1
2
Jeśli q < 1, to szereg jest zbieżny. Zachodzi wzór 1 + q + q + ... + q =
. ( druga lub
1− q
trzecia klasa szkoły średniej )
Jeśli q < 1, to lim q n = 0, zatem
n →∞
∞
∑q
n=0
n
= 1 + q + q 2 + ... = lim(1 + q + q 2 + ... + q n −1 ) =
n →∞
1
.
1− q
Dla przykładu wykażemy, że 1 = 0,99999... − po przecinku występują same dziewiątki. Ten
wzór dziwi wiele osób. Trzeba jednak zrozumieć, że prawa strona jest równa
9
9
9
9
9
9
1
1
1
1
+
+
+
+ ... = ⋅ (1 + + 2 + 3 + 4 + ...) = 10 = 1
1
10 100 1000 10000
10
10 10 10 10
1−
10
Uzyskana równość wskazuje na niejednoznaczność zapisu liczb w postaci dziesiętnej. Podany
przykład stanowi w istocie rzeczy przykład typowy : albo od pewnego miejsca w rozwinięciu
dziesiętnym liczby rzeczywistej występują same dziewiątki, albo same zera; w drugim
przypadku cyfra poprzedzająca zera jest o 1 większa niż cyfra poprzedzająca dziewiątki np.
1234599,999999… = 1234600,000000… . Inne liczby można przedstawić tylko w jeden
sposób w postaci rozwinięcia dziesiętnego.