ANALIZA MATEMATYCZNA 2 Egzamin na ocen˛e celuj ˛ac ˛a

ANALIZA MATEMATYCZNA 2
Egzamin na ocene¾ celujac
¾ a,
¾ czerwiec 2012
1.
ca÷
ke¾
Dla t 2 R niech f (t) oznacza jedyne rozwiazanie
¾
rzeczywiste równania x5 + x = t: Obliczyć
Z2
f (t) dt:
0
Rozwiazanie.
¾
Zauwaz·my najpierw, z·e f (t) jest funkcja¾ odwrotna¾ do funkcji t = g (x) = x5 + x:
Korzystajac
¾ z interpretacji geometrycznej ca÷
ki (zobacz rysunek) mamy
t2
x=f(t)
1
t=g(x)
0
0.0
Z1
0.5
g (x) dx +
0
R1
Poniewaz· g (x) dx =
2.
0
R1
0
(x5 + x) dx = 23 ; wiec
¾
Zbadać zbiezność
szeregu
·
( )
Z2
1.0
x
f (t) dt = 2:
0
R2
f (t) dt = 2
0
1
X
n=3
1
(ln ln n)ln n
2
3
= 43 :
:
e2
Rozwiazanie.
¾
Zauwaz·my, z·e dla n > ee zachodzi nierówność ln ln n > e2 : Wtedy dla tych
samych n mamy
1
1
1
0<
<
= 2:
ln n
ln
n
n
(ln ln n)
(e2 )
1
P
1
jest zbiez·ny, wiec
¾ takz·e szereg ( ) jest zbiez·ny.
Poniewaz· szereg
n2
3.
n=3
Znaleźć ekstrema lokalne funkcji
f (x; y) = x + y
p
2 x2 + y 2 :
Odpowiedź uzasadnić.
Rozwiazanie.
¾
I sposób. We wspó÷
rzednych
¾
biegunowych rozwaz·ana funkcja przyjmie postać
g ('; r) = f (r cos '; r sin ') = r (sin ' + cos ' 2) :
p
Poniewaz· sin ' + cos ' 6 2 dla kaz·dego '; wiec
¾ r (sin ' + cos ' 2) < 0 dla r > 0: Przy czym
g ('; r) = 0 dla r = 0: To oznacza, z·e funkcja f przyjmuje w punkcie (0; 0) wartość najwieksz
¾ a.
¾
×atwo pokazać, z·e w innych punktach p÷
aszczyzny funkcja f nie ma ekstremów.
II sposób. Sprawdzamy, w których punktach funkcja f spe÷
nia warunek konieczny istnienia
ekstremum. Dla (x; y) 6= (0; 0) otrzymamy uk÷
ad równań
8
<
:
@f
@x
@f
@y
p 2x
=1
x2 +y 2
p 2y
=1
x2 +y 2
= 0;
= 0:
Poniewaz· uk÷
ad ten jest sprzeczny, wiec
¾ funkcja f moz·e mieć ekstremum tylko w punkcie (0; 0) :
Pokaz·emy, z·e w tym punkcie funkcja f ma maksimum globalne w÷
aściwe. Z de…nicji oznacza to, z·e
dla (x; y) 6= (0; 0) zachodzi nierówność
p
0 = f (0; 0) > f (x; y) = x + y 2 x2 + y 2 :
Ostatnia¾ nierówność przepisujemy równowaz·nie do postaci
p
x + y < 2 x2 + y 2 :
Jez·eli pokaz·emy te¾ nierówność dla x > 0; y > 0; to bedzie
¾
ona prawdziwa takz·e dla dowolnych x; y:
Zatem niech x > 0; y > 0; przy czym (x; y) 6= (0; 0) : Podnoszac
¾ obie strony nierówności do kwadratu
otrzymamy
x2 + 2xy + y 2 < 4 x2 + y 2 :
Ostatnia nierówność jest równowaz·na oczywistej nierówności
y)2 + 2 x2 + y 2 :
0 < (x
Wykres funkcji f prezentujemy poniz·ej (jest to „stoz·ek”z osia¾ nieco odchylona¾ od pionu).
-2
-1
2
1
y
0
0 0
-1
1
-1
-2
x2
-2
-3
z
-4
-5
-6
4. Kwadrat jednostkowy obraca sie¾ jednostajnie wokó÷osi symetrii prostopad÷ej do jego
powierzchni i jednocześnie jednostajnie przesuwa w góre¾ wzd÷
uz· tej osi (rys.). Kwadrat wykona÷
pe÷
ny obrót i podniós÷sie¾ na wysokość 6 : Obliczyć objetość
¾
powsta÷
ej bry÷
y.
Rozwiazanie.
¾
Wykorzystamy wzór
objetość
¾
(V ) =
Zb
S (x) dx;
a
gdzie S (x) oznacza pole przekroju bry÷
y V p÷
aszczyzna¾prostopad÷
a¾do osi Ox wystawiona¾w punkcie
x 2 [a; b] : Dla bry÷
y rozwaz·anej w zadaniu (zobacz rysunek) mamy
objetość
¾
(V ) =
Z6
0
12 dx = 6 :