Rachunek prawdopodobieństwa, ćwiczenia 3: Zmienne losowe 21

Rachunek prawdopodobieństwa, ćwiczenia 3:
Zmienne losowe
21 listopad 2011
ćwiczenia łatwe
1
Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f (n) = n1 − n+1
(n = 1, 2, . . . ) określa rozkład
zmiennej losowej dyskretnej N . Jeżeli tak, obliczyć prawdopodobieństwo P(N ­ 3).
Zadanie 2. Zmienna losowa X ma dystrybuantę F . Jaka jest dystrybuanta zmiennej
Y = aX + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi?
Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli F i G są dystrybuantami oraz 0 ¬ λ ¬ 1, to λF +(1−λ)G
jest dystrybuantą.
Zadanie 4. Zmienne losowe X i Y są określone na tej samej dyskretnej przestrzeni
probabilistycznej i mają takie same dystrybuanty. Czy wynika z tego, że
a) ich rozkłady są takie same?
b) zmienne X i Y są równe?
W każdym przypadku przy odpowiedzi ”tak” podaj dowód, przy ”nie” - odpowiedni
kontrprzykład.
Zadanie 5. O zmiennej losowej X wiadomo, że P(X ∈ {a, b}) = 1, dla pewnych a i
1
b (a < b). Wiadomo też, że dystrybuanta X w punkcie a+b
2 wynosi 3 . Podaj rozkład
zmiennej losowej X.
ćwiczenia
Zadanie 6. Prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki w jednym rzucie monetą wynosi
p. Rzucamy monetą do chwili pojawienia się pierwszej reszki. Niech X oznacza całkowitą
liczbę rzutów. Jakie jest P(X > m)? Znaleźć rozkład zmiennej X.
Zadanie 7. Każda osoba korzystająca z linii lotniczych rezygnuje z lotu z prawdopodo1
bieństwem 10
, niezależnie od innych osób. Zatem Małe Linie Lotnicze sprzedają 10
biletów na 9 miejsc w samolocie, a Duże Linie Lotnicze sprzedają 20 biletów na 18 miejsc.
Dla których linii prawdopoodobieństwo, że będzie nadmiar pasażerów jest większe?
Zadanie 8. Udowodnić, że nie można obciążyć dwóch kostek w taki sposób, żeby każda
suma liczb oczek (od 2 do 12) pojawiła się z takim samym prawdopodobieństwem.
Zadanie 9. Rzucamy wielokrotnie monetą na której orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Niech On i Rn będą ilością wyrzuconych orłów i reszek po n rzutach. Pokazać,
dla > 0:
1
P(2p − 1 − ¬ (On − Rn ) ¬ 2p − 1 + ) → 1 ,gdy n → ∞.
n
Zadanie 10. Autobus przyjeżdża co 10 minut poczynając od południa. Człowiek przybywa na przystanek po losowej X liczbie minut po 12.00, gdzie X ma dystrybuantę
P(X ¬ x) =



0
gdy x ¬ 0,
gdy 0 < x ¬ x,
gdy 1 < x.
x


1
Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie czekał mniej niż 5 minut na autobus?
Zadanie 11. Pokazać, że FX (x) jest ciągła w x = x0 wtedy i tylko wtedy P(X = x0 ) =
0.
Zadanie 12. Musimy uporządkować n książek B1 , B2 , ..., Bn na półce w bibliotece tak,
aby czytelnicy przeszukując ją od lewej do prawej strony, średnio potrzebowali jak najmniej czasu by odnaleźć upragniony tytuł. Przyjmując, że dowolny czytelnik będzie
potrzebował książki Bi z prawdopodobieństwem pi , znaleźć porządek na książkach, który minimalizuje P(T ­ n) dla dowolnego n, gdzie T jest liczbą książek sprawdzonych
przez czytelnika zanim odnalazł właściwy tytuł.
1
2
Zadanie 13. Ustalić, czy w poniższych przypadkach F jest dystrybuantą wektora losowego (X, Y ). Jeżeli jest, znaleźć dystrybuanty zmiennych X i Y .
a)
(
1 − e−x−y gdy x, y ­ 0,
F (x, y) =
0
w przeciwnym przypadku
b)

−x
−y gdy 0 ¬ x ¬ y,


1 − e − xe
F (x, y) = 1 − e−y − ye−y gdy 0 ¬ y ¬ x,


0
w przeciwnym przypadku.
Zadanie 14. Dystrybuanta zmiennej losowej dana jest wzorem:
F (x) =


0




1


6
1
2


5



6


1
gdy
gdy
gdy
gdy
gdy
x < a,
a ¬ x < 0,
0 ¬ x < 1,
1 ¬ x < b,
x ­ b.
Podać rozkład tej zmiennej losowej.
Zadanie 15. Zmienna losowa X posiada gęstość:


0

gdy x < 0,
f (x) = Cx gdy 0 ¬ x ¬ 4,


0
gdy x > 4.
a) Obliczyć stałą C. b) Wyznaczyć dystrybuantę. c) Obliczyć P(1 ¬ X ¬ 2).
Zadanie 16. Zmienna losowa X posiada gęstość:


0

f (x) =
C sin x


0
gdy x < 0,
gdy 0 ¬ x ¬ 13 π,
gdy x > 13 π.
a) Obliczyć stałą C. b) Wyznaczyć dystrybuantę. c) Obliczyć P( 16 π ¬ X ¬ 14 π).
Zadanie 17. Zmienna losowa X przyjmuje wartości -1, 0 ,1 z prawdopodobieństwami
po 16 , natomiast reszta prawdopodobieństwa jest rozłożona równomiernie na przedziale
(0,1). Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej.
Zadanie 18. Funkcja
(
f (x, y) =
e−y
0
,gdy x ­ 0, y ­ x
w przeciwnym przypadku
jest gęstością wektora losowego (X, Y ). Znaleźć dystrybuantę tego wektora. Znaleźć
rozkłady brzegowe zmiennych X i Y .
Zadanie 19. Wykaż, że dla λ > 0 ciąg
λk −λ
e , dla k = 0, 1, 2, . . .
k!
jest poprawnie określonym rozkładem zmiennej losowej (jest to rozkład Poissona).
P(X = k) =
Zadanie 20. Myśliwy ma trzy naboje i strzela do momentu trafienia celu lub do momentu wystrzelenia wszystkich naboi. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy każdym strzale jest równe 0,8. Liczba wystrzelonych naboi jest zmienną losową. Podaj jej
rozkład.
Zadanie 21. Zmienna losowa X posiada gęstość:



0
gdy x < 0,
f (x) = ln x gdy 0 ¬ x ¬ a,


0
gdy x > a.
3
a) Obliczyć stałą a. b) Wyznaczyć dystrybuantę. c) Obliczyć P(2 ¬ X ¬ e).
Zadanie 22. Zmienna losowa X posiada dystrybuantę:
f (x) =



0
x2


1
gdy x < 0,
gdy 0 ¬ x ¬ 1,
gdy x > 1.
Wyznaczyć gęstość tej zmiennej.
Zadanie 23. Dana jest liczba naturalna k. Rzucamy monetą do momentu aż wyrzucimy przynajmniej k reszek i przynajmniej k orłów. Oznaczamy przez X liczbę rzutów.
Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.