Lista 5_c

Lista nr 5_c
Zad 1 Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f, punktów x 0 oraz n:
1
a) f ( x)  x 3 , x0  1, n  4; b) f ( x)  2 , x0  1, n  2; c) f ( x)  sin 2 x, x0   , n  3;
x
1
d ) f ( x)  e  x , x0  0, n  5; e) f ( x)  , x0  2, n  3;
f ) f ( x)  ln x, x0  e, n  4.
x
Zad 2 Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange’a dla funkcji:
x
x
a) f ( x)  e x ; b) f ( x)  cos x; c) f ( x)  x ; d ) f ( x)  sin .
3
e
Zad 3 Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych
przedziałach:
a) tgx  x,
x

b) cos 2 x  1  x 2 ,
;
12
x x2
c) 1  x  1   ,
2 8
x  0.25;
x  0.1;
d ) ln(1  x)   x 
x2 x3
 ,
2
3
x  0.1.
Zad 4 Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
1
a ) z dokładnością 10 3 ;
b) 3 0.997 z dokładnością 10 3 ;
e
d ) sin 0.1 z dokładnością 10 5.
c) ln 1.1 z dokładnością 10 4 ;
Zad 5 Stosując regułę de L’Hospitala obliczyć granice:
x2  x  6
x10  10 x  9
ln cos x
sin x
a ) lim 2
; b) lim 5
; c) lim
; d ) lim
;
x2 x  3x  2
x 1 x  5 x  4
x 0 ln cos 3 x
x 0 x cos x
1
1
sin
sin
1  cos x
x ; g ) lim 1  cos x ; h) lim
x ;
e) lim x
; f ) lim
1
1
x 0 2  e  x  2
x 
x 0 2 x  e  x  2
x 
x
1 e
1 e x
ln x
tgx
i ) lim 3 ; j ) lim
; k ) lim (1  x)  ln(1  x); l ) lim (  2arctgx )  ln x;
x  x
x 
x 1


x
)
2 ln( x 
2
1
1
1 2
2
m) lim (ctgx  ); n) lim x 2 e x ; o) lim (1  ) x ;
x 0
x 
x 0
x
x
p ) lim (tgx ) 2 x  .
x

2