Zestaw IV Wstęp do matematyki wyższej (cz. 1) 1 Funkcje

Zestaw IV
Wstęp do matematyki wyższej (cz. 1)
Łukasz Kuśmierz, Jan Major, Adam Wyrzykowski
e-mail: [email protected]
http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/
warsztaty-z-fizykiśzkoly-ponadgimnazjalne
8 października 2013 r.
1
Funkcje trygonometryczne
1.1
Definicja
Funkcje trygonometryczne można zdefiniować jako zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego.
Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny o jednym ostrym kącie α, przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c.
Wartość funkcji sinus jest stosunkiem długości przyprostokątnej nieleżącej przy kącie α (b) a przeciwprostokątnej (c)
w funkcji kąta α (Rysunek 1a):
b
sin α = ,
c
(1)
zaś cosinus jest stosunkiem długości drugiej przyprostokątnej a i przeciwprostokątnej c (Rysunek 1b):
sin α =
(a) Sinus kąta α jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej b do przeciwprostokątnej c
a
.
c
(2)
(b) Cosinus kąta α jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej a do
przeciwprostokątnej c.
Rysunek 1: Definicja funkcji trygonometrycznych na podstawie trójkąta prostokątnego.
1.2
Przykłady
Możemy rozważyć kilka prostych przypadków (dla ułatwienia ustalamy długość przeciprostokątnej na 1):
α = 0◦
α = 30◦
”Trójkąt” jest płaski, przeciwprostokątna pokrywa się z przyprostokątną a, przyprostokątna b ma długość zero:
sin α = 0
Trójkąt jest połową trójkąta równobocznego, z zależności między długościami boków a wysokością w takim trójkącie mamy:
sin α =
cos α = 1
cos α =
1
2
√
3
2
α = 45◦
Trójkąt jest połową kwadratu,
prze√
ciwprostokątna jest 2 razy dłuższa od przyprostokątnych:
√
sin α =
cos α =
2
2
√
2
2
To są tylko przykładowe wartości, funkcje trygonometryczne są zdefiniowane także dla innych kątów jednak zazwyczaj przybierają wartości przestępne (niedające się wyrazić liczbami wymiernymi ani ich pierwiastkami). Istnieją
metody obliczania przybliżonych wartości tych funkcji, także wszystkie programy i kalkulatory przeznaczone do obliczeń naukowych potrafią podawać przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla różnych kątów.
1.3
Co dalej?
Dziedzina funkcji trygonometrycznych nie kończy się na kącie 90◦ . Opis przebiegu funkcji dla wyższych kątów jest
łatwiejszy, jeśli umieścimy trójkąt w układzie współrzędnych kartezjańskich. Wierzchołek przy kącie α znajduje się w
środku układu {0,0}, przeciwprostokątna c zakreśla okrąg o promieniu 1 - współrzędne jej końca oznaczamy {x,y} i
to te współrzędne określają wartości funkcji. W przypadku kątów mniejszych od kąta prostego uzyskujemy te same
wyniki co w powyższym rozumowaniu. Dla kątów większych od α = 90◦ nasz trójkąt prostokątny ”przeskakuje” do
drugiej ćwiartki układu współrzędnych, należy jednak pamiętać, że współrzędna x ma tu wartości ujemne, a więc i
funkcja cosinus staje się mniejsza od zera. Analogicznie możemy postąpić, gdy przechodzimy do kolejnych ćwiartek
układu. Gdy osiągniemy α = 360◦ wracamy do punktu wyjścia, jeśli będziemy nadal zwiększali kąt α to uzyskamy
takie same wyniki jak dla α − 360◦ , funkcje sinus i cosinus są więc okresowe, z okresem 360◦ stopni.
(a) Przypadek α < 90◦
(b) Przypadek α > 90◦
Rysunek 2: Uogólniona definicja funkcji trygonometrycznych na podstawie trójkata prostokątnego.
1.4
Tangens i Cotangens
Funkcje tangens i cotangens są zdefiniowane przez sinus i cosinus:
sin α
,
cos α
cos α
ctgα =
.
sin α
tgα =
(3)
(4)
Łatwo zauważyć, że powyzsze wzory oznaczają, że wartosci funkcji tangens i cotangens są stosunkami długości przyprostokatnych:
sin α
b/c
b
=
= ,
cos α
a/c
a
a/c
a
cos α
ctgα =
=
= .
sin α
b/c
b
tgα =
(5)
(6)
Jak widać ze wzorów i na wykresach 4, funkcje te mają dwa razy krótszy okres niż sinus i cosinus, co więcej do ich
dziedziny nie należą wszyskie liczby rzeczywiste. Dla tangensa punkty: α = π2 + kπ (gdzie k ∈ N) nie mogą należeć do
dziedziny – funkcja dąży w ich otoczeniu do nieskończoności. Podobnie dla cotangensa dla α = kπ.
(a) Funkcja sinus
(b) Funkcja cosinus
Rysunek 3: Wykresy funkcji sinus i cosinus.
(a) Funkcja tangens
(b) Funkcja cotangens
Rysunek 4: Funkcje tangens i cotangens.
1.5
Funkcje odwrotne
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych oznaczamy przez przedrostek arc . . . (arcus):
arcus sinus:
arcus cosinus:
arcus tangens:
arcus cotangens:
1.6
sin α = a
cos α = a
tgα = a
ctgα = a
arcsina = α
arccosa = α
arctga = α
arccta = α
Zadania
Zadanie 1.
Bardzo przydatną tożsamością trygonometryczną jest jedynka trygonometryczna:
sin2 α + cos2 α ≡ 1
(7)
gdzie sin2 α oznacza po prostu (sin α)2 . Zastanów się jak można udowodnić podaną tożsamość używając znanych Ci
twierdzeń dotyczących trójkąta prostokątnego.
Zadanie 2.
Łódka porusza się w górę rzeki skierowana pod kątem 30◦ od kierunku nurtu, płynącego z prędkością v = 5m/s, z
jaką prędkością musi płynąć względem wody by poruszać się prostopadle do brzegu?
Zadanie 3.
Jaki kurs steru i jaką prędkośc wypadkową v powinien mieć sterowiec o prędkości własnej v1 = 100km/h, jeżeli musi
lecieć w kierunku od S do N, a wiatr pędzi go w kierunku od NO do SW z prędkością v2 = 8m/s.
Zadanie 4.
Uzupełnij poniższe tożsamości:
π
− α) = . . .
2
π
cos( − α) = . . .
2
sin(−α) = . . .
sin(
cos(−α) = . . .
sin(π + α) = . . .
cos(π + α) = . . .
2
Wektory
2.1
Definicja
Wielkości, takie jak masa, moc, energia, temperatura, które są charakteryzowane liczbami rzeczywistymi, nazywamy skalarami. W odróżnieniu od skalarów wielkości, które do
pełnego opisu oprócz zadania pewnej liczby rzeczywistej wymagają również określenia kierunku i zwrotu, nazywamy wektorami. Fizycznymi przykładami mogą być: siła, prędkość,
pęd, moment siły, moment pędu, przyspieszenie, prędkość kątowa oraz natężenie pola magnetycznego czy elektrycznego.
Graficznym przedstawieniem wektora w przestrzeni są odcinki skierowane, tzn. strzałki,
Rysunek 5: Graficzne
których grot służy do określenia zwrotu.
2.2
przedstawienie
dwóch
wektorów na płaszczyznie.
Równość wektorów
Mówimy, że dwa wektory ~a i ~c są równe, jeżeli mają taką samą długość i ten sam kierunek
oraz zwrot (czyli są równoległe): ~a = ~c.
(b) Wektory przeciwne
(a) Dwa wektory równoległe
Rysunek 6
~ = ~b i BA
~ = −~b, ale |AB|
~ = |BA|.
~
Wektory przeciwne mają te same długości, ale przeciwne wzroty: AB
2.3
Mnożenie wektora przez skalar
Mnożenie wektora przez skalar zmienia tylko jego długość, nie kierunek. Jeśli ~b = A~a to: ~b k ~a i |~b| = A|~a|.
2.4
Rozkład wektora na składowe
Wektor można przedstawić jako listę jego składowych w kierunkach bazowych układu współrzędnych (w przypadku układu Kartezjańskiego: x, y, z). Składowe definiujemy jako iloczyn skalarny (rzut) wektora na wersor (wektor
jednostkowy) danej osi:
ax = ~a · x̂,
(8)
ay = ~a · ŷ,
(9)
az = ~a · ẑ
(10)
(x̂ oznacza wersor skierowany równolegle do osi x), wektor zapisujemy: ~a = (ax ,ay ,az ).
2.5
Iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów ~a i ~b nazywamy skalar (liczbę) określoną wzorem:
~a · ~b = |~a||~b| cos α,
(11)
gdzie α jest kątem zawartym pomiędzy ~a i ~b. W rozkładzie na składowe: ~a · ~b = ax bx + ay by + az bz
2.6
Iloczyn wektorowy
Mnożenie wektorowe jest operacją, która dwóm wektorom ~a i ~b przyporządkowuje ich iloczyn wektorowy, czyli
wektor ~c = ~a × ~b o własnościach:
• Wektor ~c jest prostopadły zarówno do wektora ~a i ~b.
• Wektory ~a, ~b i ~c tworzą układ prawoskrętny, to znaczy, że wektory ~a, ~b i ~c mają taką samą orientację jak kciuk,
palec wskazujący i palec środkowy prawej dłoni. Jest to tzw. reguła prawej ręki.
• Iloczyn wektorowy ma długość: |~c| = |~a × ~b| = |~a||~b| sin α.
Rysunek 7: Wektor ~c iloczynem wektorowym wektorów ~a i ~b.
2.7
Podsumowanie
Działanie
Iloczyn skalarny
Iloczyn wektorowy
2.8
Zapis
~a · ~b
~a × ~b
Wynik
skalar (liczba)
wektor
Zadania
Zadanie 5.
Rozłóż na składowe wektory (w dwóch wymiarach):
1. |~v | = 5, tworzy z osią OX kąt 30◦ ,
2. |~v | = 15, tworzy z osią OX kąt 45◦ ,
3. |~v | = 1, tworzy z osią OY kąt 90◦ ,
4. |~v | = 10, tworzy z osią OX kąt 150◦ .
~a · ~b = |~a||~b| cos α
Długość wektora: |~a × ~b| = |~a||~b| sin α
Zadanie 6.
Jaki jest kąt pomiędzy wektorami ~a = (0,4,3) a ~b = (2,5,1)?
Zadanie 7.
Znajdź wektor o długości 1 prostopadły jednocześnie do wektora o współrzędnych (1,2,3) i wersora osi y.
Zadanie 8.
Jaką pracę wykonujemy wnosząc ważącą 10kg torbę po schodach o długości 5m nachylonych pod kątem 30◦ ?
3
Pochodne
3.1
Formalna definicja
Definicja 1 (F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 1978).
Niech f będzie funkcją odwzorowującą przedział (a,b) w zbiór ⊂ R, x0 i x będą dwoma różnymi punktami przedziału, a h = x − x0 . Wyrażenie
f (x0 + h) − f (x0 )
h
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami x i x0 .
(12)
Przykład 1.
Weźmy funkcję liniową f (x) = a1 x + a0 . Iloraz różnicowy przyjmie postać:
[a1 (x0 + h) + a0 ] − (a1 x0 + a0 )
a1 h
f (x0 + h) − f (x0 )
=
=
= a1 .
h
h
h
(13)
Dla funkcji stałej (a1 = 0) iloraz różnicowy wynosi zero.
Przykład 2.
Weźmy funkcję kwadratową f (x) = x2 . Obliczamy iloraz różnicowy
(x0 + h)2 − x20
2x0 h + h2
f (x0 + h) − f (x0 )
=
=
= 2x0 + h.
h
h
h
(14)
W granicy h → 0 otrzymujemy 2x0 .
Definicja 2.
Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę dla h → 0, to granicę oznaczamy f 0 (x0 ) i nazywamy pochodną funkcji f w
punkcie x0 .
Interpretacja graficzna ilorazu różnicowego oraz pochodnej jest przedstawiona na rys. 8.
3.2
Notacja
d
Pochodne oznacza się czasem za pomocą prima, czasem przez symbol dx
, przy czym dx mówi nam, po czym chcemy
liczyć pochodna (różniczkę). Jeśli np. mamy funkcję zależną od czasu (od t) i chcemy ją zróżniczkować, powinniśmy
d
napisać dt
.
Używanie prima jest powszechne, gdy z kontekstu wiadomo po czym się różniczkuje, np. mamy funkcję jednej
(x)
zmiennej: f (x) = 4x4 − 12x + 1. Jej pochodną można zapisać jako f 0 (x). Równoważnie można byłoby też zapisać dfdx
.
0
0
Weźmy jednak wzór na ciśnienie: p = ρgh. Zapisując p = (ρgh) nie wiadomo po czym chcemy różniczkować! Należy
użyć wtedy zapisu z “d”:
d
d(ρgh)
dp
=
ρgh =
.
dρ
dρ
dρ
gdzie powyższej zaprezentowano różne sposoby zapisu danej pochodnej.
Rysunek 8: Interpretacja graficzna ilorazu różnicowego oraz pochodnej.
3.3
Podstawowe wzory
Jest kilka wzorów, które trzeba niestety zapamiętać.
Funkcja f (x)
Pochodna f 0 (x)
Funkcja f (x)
Pochodna f 0 (x)
c
0
x
1
1/x
−1/x2
xa
axa−1
ex
ex
ax
ax · ln a
ln x
1
x
loga x
1
x ln a
sin x
cos x
cosx
− sin x
tg x
1
cos2 x
ctgx
−1
sin2 x
√
x
√
3
1
√
2 x
x
3
1
√
3 2
x
Tabela 2: Podstawowe wzory ułatwiające różniczkowanie funkcji. Wszystkie litery poza x to stałe.
Opis
Wyrażenie różniczkowane
(1) Suma funkcji
(f (x) + g(x))
(2) Iloczyn funkcji
(f (x)g(x))
(3) Iloraz funkcji
(4) Funkcje złożone
f (x)
g(x)
0
0
0
Pochodna
f 0 (x) + g 0 (x)
f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
[g(x)]2
0
(f (g(x)))
f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Tabela 3: Podstawowe wzory ułatwiające różniczkowanie funkcji.
Kilka przykładów do (1) z powyższej tabeli:
0
1
5
4x − 4x +
x
0
sin(x) + 2x3
1
x2
=
20x4 − 4 −
=
cos(x) + 6x2
Kilka przykładów do (2) z powyższej tabeli:
(x + 2) · (x2 − 1)
0
0
(sin(x) cos(x))
Kilka przykładów do (3) z powyższej tabeli:
0
ax + 2
=
sin x
0
4
=
ax + b
=
1 · (x2 − 1) + (x + 2) · 2x
=
cos2 (x) − sin2 (x)
a sin x − (ax + 2) cos x
sin2 x
0 · (ax + b) − 4a
−4a
=
(ax + b)2
(ax + b)2
Kilka przykładów do (4) z powyższej tabeli:
0
(f (ax + b))
0
sin(ax2 + bx + c)
3.4
=
af 0 (ax + b)
=
(2ax + b) cos(ax2 + bx + c)
Trochę praktyki
Zadanie 9.
Obliczyć pochodne funkcji:
a) y = x3 + 2x,
Roz.: y 0 = 3x2 + 2
b) y = x sin x,
Roz.: y 0 = sin x + x cos x
c) y =
x2
x−1 ,
d) y = tg x =
sin x
cos x ,
e) y = ctg x.
Roz.: y 0 =
x2 −2x
(x−1)2
Roz.: y 0 =
1
cos2 x
Roz.: y 0 =
1
cos2 x
Zadanie 10.
Obliczyć pochodne funkcji złożonej:
5
a) f = x2 − 1 ,
Roz.: f 0 = 10x x2 − 1
b) f = sin (3x + 5),
Roz.: f 0 = 3 cos (3x + 5)
c) f =
√
Roz.: f 0 =
1 + x2 ,
√ x
1+x2
Roz.: f 0 = ctgx
d) f = ln (sin x).
Zadanie 11.
Policz pochodne następujących funkcji (tym razem bez podpowiedzi):
1
3x4 + 6x3 − 2x +
x
p
2
g(x) =
2x + 3
2x3 + x
h(x) =
x2 − 1
i(x) = rx sin(ax − z)
f (x)
=
4
3.5
Wykorzystanie pochodnych
Pochodne wykorzystuje się m.in. do rozwiązywanie tzw. “problemów optymalizacyjnych”. Z
interpretacji geometrycznej (patrz rys. 8) mamy bowiem, że jeśli funkcja ma maksimum, minimum
lub punkt przegięcia (jak np. funkcja y = x3 dla x = 0), to pochodna tej funkcji jest równa zero.
Jeśli policzymy drugą pochodną danej funkcji, to pozwoli ona na rozróżnić wymienione przypadki.
Dla drugiej dodatniej drugiej pochodnej mamy do czynienia z minimum. Jeśli druga pochodna jest
ujemna, to mamy do czynienia z maksimum. Jeśli jest równa zero, to może być zarówno maksimum,
minimum lub punkt przegięcia, i potrzebna jest dalsza analiza.
Przykład: Skupmy się na przykładzie: niech obwód okna przedstawionego na rysunku obok
wynosi 7 m. W jakim stosunku powinny pozostawać odcinki a i b, aby przez okno wpadało jak
najwięcej światła?
√
Rozwiązanie: Pole okna wynosi P = ab + 43 a2 . Wiemy też, że 3a + 2b = 7. Możemy wiec
wyeliminować
b w pierwszym
wzorze podstawiając b = 3,5 − 1,5a. Dostajemy P (a) = a(3,5 −
√
√
3 2
6− 3 2
1,5a) + 4 a = 3,5a − 4 a , czyli pole P (a) można traktować jako funkcję jednej zmiennej a.
Aby rozwiązać zadanie trzeba policzyć dla jakiego a pole P (a) będzie największe. √W tym celu sprawdzamy, dla
jakiego a pochodna P 0 (a) zeruje się. Musimy rozwiązać równanie P 0 (a) = 3,5 − (6−2 3) a = 0, z czego dostajemy
√
a = 6−7√3 ≈ 1,64 m. Liczymy drugą pochodną, dostajemy P 00 (a) = − (6−2 3) < 0, mamy więc do czynienia z maksimum.
Rozwiązaniem jest a = 6−7√3 ≈ 1,64 m oraz b = 3,5 − a = 3,5 − 6−7√3 ≈ 1,04 m.
Zadanie 12.
Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 12 cm. Punkty M , N i P należą odpowiednio do boków AB,
BC, AC tego trójkąta przy czym |AM | = |BN | = |CP | = x. Zbadaj dla jakiej wartości x, pole trójkąta M N P będzie
najmniejsze. Znajdź wartość tego pola.
Zadanie 13.
Puszka konserwy ma kształt walca. Jaką wysokość i jaki promień podstawy powinna mieć ta puszka, aby przy
objętości puszki 250π cm3 zużyć jak najmniej materiału na jej wykonanie.
3.6
Pochodne w kinematyce
Związek między położeniem, prędkością, a przyśpieszeniem można zapisać za pomocą odpowiednich pochodnych:
4
v
=
a
=
dx
dt
dv
d2 v
= 2
dt
dt
Całki
4.1
Formalna definicja
Definicja 3 (F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 1978).
Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f jeśli:
F 0 (x) = f (x).
Inaczej mówimy o całce nieoznaczonej F (x) =
funkcji f .
R
(15)
f (x)dx. Obliczanie funkcji pierwotnej do f nazywamy całkowaniem
Przykład 3 (właściwości całek).
Funkcja pierwotna wyznaczona jest z dokładnością do stałej:
0
[F (x) + C] = F 0 (x) + 0 = f (x).
Stałą C nazywamy stałą całkowania.
(16)
4.2
Nieformalnie
Całki to generalnie działanie odwrotne do różniczkowania. Można byłoby przepisać tabele 2 zamieniając miejscami
wszystkie wyrażenia i dopisując do kratek wynik całki stałą całkowania C (patrz tabela 4).
R
R
Całka f (x) Funkcja f (x) Całka f (x) Funkcja f (x)
C
0
x+C
1
1/x + C
−1/x2
xa + C
axa−1
ex + C
ex
ax + C
ax · ln a
ln x + C
1
x
loga x + C
1
x ln a
sin x + C
cos x
cosx + C
− sin x
tg x + C
1
cos2 x
ctgx + C
−1
sin2 x
√
√
3
1
√
2 x
x+C
x+C
3
1
√
3 2
x
Tabela 4: Podstawowe wzory ułatwiające całkowanie funkcji. Wszystkie litery poza x to stałe.
Przykład:
Z
dx (4x3 − x) =
Z
1
(4x3 − x)dx = x4 − x2 + C.
2
Stałą C trzeba pisać, bo gdy różniczkujemy prawą stronę mamy:
1
(x4 − x2 + C)0 = 4x3 − x + 0 = 4x3 − x
2
i stała C nam znika.
4.3
Własności całek
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx =
Z
f (x)dx +
Z
Z
Af (x)dx = A
4.4
g(x)dx,
f (x)dx.
Trochę praktyki
Zadanie 14.
Oblicz:
a)
R
b)
R
4.5
3 cos xdx,
x3 − 5x + 2 dx.
Roz.: 3 sin x
Roz.:
x4
4
2
− 5 x2 + 2x
Związek całki z polem
Weźmy f - funkcję ciągłą i dodatnią w [a, b] i P = P (x) pole ograniczone krzywą, osią odciętych i rzędnymi w
a i x (Rys. 9). Podzielmy powierzchnię P na wiele cienkich pasków o szerokości h. Zakładając, że zarówno x, jak i
x + h ∈ [a,b], różnica P (x + h) − P (x) równa jest powierzchni paska i spełnia nierówności
f (xmin )h 6 P (x + h) − P (x) 6 f (xmax )h,
(17)
Rysunek 9: Pole ograniczone krzywą.
gdzie f (xmin ) to najmniejsza, a f (xmax ) największa wartość funkcji f w przedziale [x, x + h]. Dzieląc obustronnie
przez h otrzymujemy
P (x + h) − P (x)
6 f (xmax ).
(18)
f (xmin ) 6
h
Dla h → 0 mamy f (xmin ) → f (x) i f (xmax ) → f (x), a iloraz różnicowy przechodzi w pochodną, dostajemy więc
równanie:
P 0 (x) = f (x).
(19)
Tak zdefiniowane pole jest więc funkcją pierwotną funkcji f . Jak już wiemy, pierwotną zawsze otrzymujemy z dokładnością do stałej, tak więc
P (x) = F (x) + C.
(20)
Stałą całkowania otrzymujemy z warunku P (a) = 0 (skoro przez P oznaczyliśmy pole pomiedzy a a x). Stąd C =
−F (a). Ostatecznie
P (x) = F (x) − F (a).
(21)
Pole zaciemnione jak na Rys. 9 przyjmuje więc wartość F (b) − F (a). Alternatywnie zapisujemy to w postaci
Z b
P =
f (x)dx.
(22)
a
Zadanie 15.
Oblicz:
a)
Rπ
b)
R1
0
5
0
sin xdx,
Roz.: 2
x2 dx.
Roz.:
1
3
Liczby zespolone
Definicja 4 (F. Leja, Funkcje zespolone, Warszawa 1979).
Każda liczba zespolona z ma postać z = x + iy, gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, symbol i oznacza jednostkę
urojoną.
5.1
Właściwości
a) Zero zespolone to z = 0 + i0 = 0.
b) <(z) = re(z) = x to część rzeczywista liczby zespolonej. Jeżeli x = 0, to z jest liczbą urojoną.
c) =(z) = im(z) = y to część urojona liczby zespolonej. Jeżeli y = 0, to z jest liczbą rzeczywistą.
d) Liczbie zespolonej z = x + iy odpowiada na płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnych punkt o współrzędnych (x,y). Oś x (y) nazywamy osią rzeczywistą (urojoną).
e) Liczba przeciwna do z = x + iy to −z = −x − iy.
f) Liczba sprzężona do z = x + iy to z̄ = x − iy.
5.2
Działania na liczbach zespolonych
a) Dodawanie:
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ).
(23)
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ).
(24)
z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
(25)
b) Odejmowanie:
c) Mnożenie:
2
2
2
Stąd i = −1, z z̄ = x + y .
d) Jeżeli z 6= 0, to jest określona liczba odwrotna do z postaci
x
y
1
z̄
x − iy
= 2
− 2
i.
=
= 2
z
z z̄
x + y2
x + y2
x + y2
(26)
z1
1
z1 z2
= z1 ·
=
.
z2
z2
z2 z2
(27)
e) Dzielenie:
Zadanie 16.
Dla z1 = 3 − 4i, z2 = 3 + i obliczyć:
a) z1 + z2 ,
Roz.: 6 − 3i
b) z1 − z2 ,
Roz.: −5i
c) z1 z2 ,
Roz.: 13 − 9i
d) z1 /z2 .
Roz.: (1 − 3i)/2
Zadanie 17.
Wykazać, że z1 + z2 = z1 + z2 , z1 z2 = z1 z2 , z1 /z2 = z1 /z2 .
Moduł i argument liczby
Modułem lub wartością bezwzględną liczby z = x + iy nazywamy liczbę |z| =
odległości punktu z od początku układu współrzędnych.
Liczbę φ określoną równaniami
x
y
cos φ =
, sin φ =
,
|z|
|z|
p
x2 + y 2 . Moduł liczby z równa się
(28)
nazywamy argumentem liczby z, arg(z) = φ.
Postać biegunowa liczby zespolonej: z = |z|(cos φ + i sin φ).
Zadanie 18.
Pokazać, że
z1 z2 = |z1 ||z2 |[cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )].
(29)
z1
|z1 |
=
[cos(φ1 − φ2 ) + i sin(φ1 − φ2 )].
z2
|z2 |
(30)
Stąd wynika, że |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, |z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |.
Wskazówki
a) sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α,
b) cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
c) jeżeli z = |z|(cos φ + i sin φ), to
1
z
=
1
|z|
(cos φ − i sin φ).
Funkcja wykładnicza
a)
ez = exp(z) = 1 +
z
z2
+
+ ...
1!
2!
(31)
b)
e0 = 1, exp(z1 ) exp(z2 ) = exp(z1 + z2 ).
(32)
exp(iz) = cos z + i sin z.
(33)
exp(−iz) = cos z − i sin z.
(34)
ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y).
(35)
z = |z|(cos φ + i sin φ) = |z|eiφ .
(36)
c)
d)
e)
f)
Zadanie 19.
Udowodnić wzór Moivre’a
(cos φ + i sin φ)n = cos(nφ) + i sin(nφ).
6
(37)
Równania różniczkowe - przykłady
6.1
oscylator harmoniczny
Rozważmy ruch ciężarka na sprężynie (horyzontalny ruch bez tarcia). Możemy go opisać następującym równaniem:
ma = −kx
gdzie siła −kx jest siłą sprężystości Hooka. Pamiętajmy, iż przyspieszenie jest drugą pochodną położenia po czasie:
2
a = ddt2x . Teraz nasze równanie ma postać:
k
d2 x
=− x
2
dt
m
k
To równanie spełnione jest przez funkcje x(t) = Acos(ωt + δ), gdzie ω 2 = m
. (Podstaw i sprawdź!) Wartości A i
δ zależą od warunków początkowych, czyli w jakim położeniu znajdował się ciężarek i jaką miał prędkość w chwili
początkowej czyli t = 0.
7
Zadania rozszerzone
Zad 1
Nieuważny kot wypada z balkonu (uwaga - nic mu się nie dzieje). Wyjaśnij dlaczego tak się dzieje przyjmując, że
na spadającego kota działa siła grawitacji i siła oporu powietrza (F ∼ −αv). Przeanalizuj zależność prędkości kota od
czasu. Czy może on osiągnąć dowolnie dużą prędkość?
(Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m dv
dt = mg − αv)
Zad 2
Jaka będzie zależność położenia od czasu oscylatora harmonicznego (ciężarek na sprężynie ustawionej horyzontalnie) w wypadku gdy dodatkowo działa na niego siła oporu (np związana z oporami powietrza), bądź tarciem wprost
proporcjonalna do prędkości −αmv.
2
(Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m ddt2x = −αm dx
dt − kx)
Zad 3
Jak zmieni się zależność położenia od czasu oscylatora harmonicznego z poprzedniego zadania gdy dołożymy siłę
wymuszającą drgania przeciwko tarciu i oporom w postaci f (t) = f0 cos(Ωt).
2
(Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m ddt2x = −αm dx
dt − kx + f (t))