Definicja caªki podwójnej 1

Caªki wielokrotne
Denicja caªki podwójnej 1
Niech D b¦dzie ograniczonym podzbiorem R2 i f : D → R funkcj¡ ograniczon¡. Niech D ⊂ [a, b] × [c , d ] i
fˆ : [a, b] × [c , d ] → R
½
f (x ) dla x ∈ D
ˆ
f (x ) :=
0
dla x ∈
/D
Bierzemy podziaªy a = x0 < x1 < . . . < xs = b,
c = y0 < y1 < . . . < yt = d , punkty po±rednie ξi ∈ [xi −1 , xi ],
i = 1, . . . , s , ηj ∈ [yj −1 , yj ], j = 1, . . . , t , i tworzymy sum¦
caªkow¡ Riemanna
S (f , {xi , yj }, {ξi , ηj }) :=
s X
t
X
i =1 j =1
fˆ(ξi , ηj )(xi − xi −1 )(yj − yj −1 ).
Caªki wielokrotne
Denicja caªki podwójnej 1
Niech D b¦dzie ograniczonym podzbiorem R2 i f : D → R funkcj¡ ograniczon¡. Niech D ⊂ [a, b] × [c , d ] i
fˆ : [a, b] × [c , d ] → R
½
f (x ) dla x ∈ D
ˆ
f (x ) :=
0
dla x ∈
/D
Bierzemy podziaªy a = x0 < x1 < . . . < xs = b,
c = y0 < y1 < . . . < yt = d , punkty po±rednie ξi ∈ [xi −1 , xi ],
i = 1, . . . , s , ηj ∈ [yj −1 , yj ], j = 1, . . . , t , i tworzymy sum¦
caªkow¡ Riemanna
S (f , {xi , yj }, {ξi , ηj }) :=
s X
t
X
i =1 j =1
fˆ(ξi , ηj )(xi − xi −1 )(yj − yj −1 ).
Caªki wielokrotne
Denicja caªki podwójnej 1
Niech D b¦dzie ograniczonym podzbiorem R2 i f : D → R funkcj¡ ograniczon¡. Niech D ⊂ [a, b] × [c , d ] i
fˆ : [a, b] × [c , d ] → R
½
f (x ) dla x ∈ D
ˆ
f (x ) :=
0
dla x ∈
/D
Bierzemy podziaªy a = x0 < x1 < . . . < xs = b,
c = y0 < y1 < . . . < yt = d , punkty po±rednie ξi ∈ [xi −1 , xi ],
i = 1, . . . , s , ηj ∈ [yj −1 , yj ], j = 1, . . . , t , i tworzymy sum¦
caªkow¡ Riemanna
S (f , {xi , yj }, {ξi , ηj }) :=
s X
t
X
i =1 j =1
fˆ(ξi , ηj )(xi − xi −1 )(yj − yj −1 ).
Caªki wielokrotne
Denicja caªki podwójnej 1
Niech D b¦dzie ograniczonym podzbiorem R2 i f : D → R funkcj¡ ograniczon¡. Niech D ⊂ [a, b] × [c , d ] i
fˆ : [a, b] × [c , d ] → R
½
f (x ) dla x ∈ D
ˆ
f (x ) :=
0
dla x ∈
/D
Bierzemy podziaªy a = x0 < x1 < . . . < xs = b,
c = y0 < y1 < . . . < yt = d , punkty po±rednie ξi ∈ [xi −1 , xi ],
i = 1, . . . , s , ηj ∈ [yj −1 , yj ], j = 1, . . . , t , i tworzymy sum¦
caªkow¡ Riemanna
S (f , {xi , yj }, {ξi , ηj }) :=
s X
t
X
i =1 j =1
fˆ(ξi , ηj )(xi − xi −1 )(yj − yj −1 ).
Caªki wielokrotne
Denicja caªki podwójnej 2
Je»eli istnieje sko«czona granica ci¡gu sum caªkowych i nie
zale»y ona od wyboru punktów po±rednich, to funkcj¦ f
nazywamy caªkowaln¡, a t¦ granic¦ nazywamy caªk¡ z f po
zbiorze D i oznaczamy
Z Z
f (x , y ) dx dy .
D
Caªkowalno±¢ i warto±¢ caªki nie zale»¡ od wyboru prostok¡ta
[a, b] × [c , d ] i ci¡gów podziaªów.
Zbiór D nie mo»e by¢ nieregularny: musi by¢ mierzalny w
sensie Jordana.
Caªki wielokrotne
Denicja caªki podwójnej 2
Je»eli istnieje sko«czona granica ci¡gu sum caªkowych i nie
zale»y ona od wyboru punktów po±rednich, to funkcj¦ f
nazywamy caªkowaln¡, a t¦ granic¦ nazywamy caªk¡ z f po
zbiorze D i oznaczamy
Z Z
f (x , y ) dx dy .
D
Caªkowalno±¢ i warto±¢ caªki nie zale»¡ od wyboru prostok¡ta
[a, b] × [c , d ] i ci¡gów podziaªów.
Zbiór D nie mo»e by¢ nieregularny: musi by¢ mierzalny w
sensie Jordana.
Caªki wielokrotne
Denicja caªki podwójnej 2
Je»eli istnieje sko«czona granica ci¡gu sum caªkowych i nie
zale»y ona od wyboru punktów po±rednich, to funkcj¦ f
nazywamy caªkowaln¡, a t¦ granic¦ nazywamy caªk¡ z f po
zbiorze D i oznaczamy
Z Z
f (x , y ) dx dy .
D
Caªkowalno±¢ i warto±¢ caªki nie zale»¡ od wyboru prostok¡ta
[a, b] × [c , d ] i ci¡gów podziaªów.
Zbiór D nie mo»e by¢ nieregularny: musi by¢ mierzalny w
sensie Jordana.
Caªki wielokrotne
Denicja caªki podwójnej 2
Je»eli istnieje sko«czona granica ci¡gu sum caªkowych i nie
zale»y ona od wyboru punktów po±rednich, to funkcj¦ f
nazywamy caªkowaln¡, a t¦ granic¦ nazywamy caªk¡ z f po
zbiorze D i oznaczamy
Z Z
f (x , y ) dx dy .
D
Caªkowalno±¢ i warto±¢ caªki nie zale»¡ od wyboru prostok¡ta
[a, b] × [c , d ] i ci¡gów podziaªów.
Zbiór D nie mo»e by¢ nieregularny: musi by¢ mierzalny w
sensie Jordana.
Caªki wielokrotne
Zamiana na caªki iterowane
Je»eli caªka z funkcji f po zbiorze [a, b] × [c , d ] istnieje, to
¶
Z Z
Z b µZ d
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
c
Ogólniej, je»eli D = {(x , y ) : x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ(x ), ψ(x )]},
gdzie ϕ, ψ : [a, b] → R s¡ ci¡gªe i dla ka»dego x jest
ϕ(x ) ≤ ψ(x ), to dla funkcji f caªkowalnej po D
!
Z Z
Z b ÃZ ψ(x )
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
ϕ(x )
Caªki po prawej stronie nazywamy iterowanymi.
Bardziej skomplikowane zbiory D dzielimy na kawaªki tej
postaci.
Caªki wielokrotne
Zamiana na caªki iterowane
Je»eli caªka z funkcji f po zbiorze [a, b] × [c , d ] istnieje, to
¶
Z Z
Z b µZ d
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
c
Ogólniej, je»eli D = {(x , y ) : x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ(x ), ψ(x )]},
gdzie ϕ, ψ : [a, b] → R s¡ ci¡gªe i dla ka»dego x jest
ϕ(x ) ≤ ψ(x ), to dla funkcji f caªkowalnej po D
!
Z Z
Z b ÃZ ψ(x )
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
ϕ(x )
Caªki po prawej stronie nazywamy iterowanymi.
Bardziej skomplikowane zbiory D dzielimy na kawaªki tej
postaci.
Caªki wielokrotne
Zamiana na caªki iterowane
Je»eli caªka z funkcji f po zbiorze [a, b] × [c , d ] istnieje, to
¶
Z Z
Z b µZ d
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
c
Ogólniej, je»eli D = {(x , y ) : x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ(x ), ψ(x )]},
gdzie ϕ, ψ : [a, b] → R s¡ ci¡gªe i dla ka»dego x jest
ϕ(x ) ≤ ψ(x ), to dla funkcji f caªkowalnej po D
!
Z Z
Z b ÃZ ψ(x )
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
ϕ(x )
Caªki po prawej stronie nazywamy iterowanymi.
Bardziej skomplikowane zbiory D dzielimy na kawaªki tej
postaci.
Caªki wielokrotne
Zamiana na caªki iterowane
Je»eli caªka z funkcji f po zbiorze [a, b] × [c , d ] istnieje, to
¶
Z Z
Z b µZ d
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
c
Ogólniej, je»eli D = {(x , y ) : x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ(x ), ψ(x )]},
gdzie ϕ, ψ : [a, b] → R s¡ ci¡gªe i dla ka»dego x jest
ϕ(x ) ≤ ψ(x ), to dla funkcji f caªkowalnej po D
!
Z Z
Z b ÃZ ψ(x )
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
ϕ(x )
Caªki po prawej stronie nazywamy iterowanymi.
Bardziej skomplikowane zbiory D dzielimy na kawaªki tej
postaci.
Caªki wielokrotne
Zamiana na caªki iterowane
Je»eli caªka z funkcji f po zbiorze [a, b] × [c , d ] istnieje, to
¶
Z Z
Z b µZ d
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
c
Ogólniej, je»eli D = {(x , y ) : x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ(x ), ψ(x )]},
gdzie ϕ, ψ : [a, b] → R s¡ ci¡gªe i dla ka»dego x jest
ϕ(x ) ≤ ψ(x ), to dla funkcji f caªkowalnej po D
!
Z Z
Z b ÃZ ψ(x )
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dy dx .
D
a
ϕ(x )
Caªki po prawej stronie nazywamy iterowanymi.
Bardziej skomplikowane zbiory D dzielimy na kawaªki tej
postaci.
Caªki wielokrotne
Zamiana zmiennych
Niech Φ : G → U b¦dzie C 1 -dyfeomorzmem, D ⊂ U b¦dzie
ograniczony i funkcja f : D → R caªkowalna. Wtedy
Z Z
Z Z
f (x , y ) dx dy =
f (Φ(u , v )) det Φ0 (u , v ) du dv .
D
Φ−1 (D )
W szczególno±ci caªka po prawej stronie istnieje.
Najcz¦±ciej Φ jest dyfeomorzmem mi¦dzy ukªadem wsp.
kartezja«skich i biegunowych Φ(r , θ) = (r cos θ, r sin θ).
Caªki wielokrotne
Zamiana zmiennych
Niech Φ : G → U b¦dzie C 1 -dyfeomorzmem, D ⊂ U b¦dzie
ograniczony i funkcja f : D → R caªkowalna. Wtedy
Z Z
Z Z
f (x , y ) dx dy =
f (Φ(u , v )) det Φ0 (u , v ) du dv .
D
Φ−1 (D )
W szczególno±ci caªka po prawej stronie istnieje.
Najcz¦±ciej Φ jest dyfeomorzmem mi¦dzy ukªadem wsp.
kartezja«skich i biegunowych Φ(r , θ) = (r cos θ, r sin θ).
Caªki wielokrotne
Zamiana zmiennych
Niech Φ : G → U b¦dzie C 1 -dyfeomorzmem, D ⊂ U b¦dzie
ograniczony i funkcja f : D → R caªkowalna. Wtedy
Z Z
Z Z
f (x , y ) dx dy =
f (Φ(u , v )) det Φ0 (u , v ) du dv .
D
Φ−1 (D )
W szczególno±ci caªka po prawej stronie istnieje.
Najcz¦±ciej Φ jest dyfeomorzmem mi¦dzy ukªadem wsp.
kartezja«skich i biegunowych Φ(r , θ) = (r cos θ, r sin θ).
Caªki wielokrotne
Zamiana zmiennych
Niech Φ : G → U b¦dzie C 1 -dyfeomorzmem, D ⊂ U b¦dzie
ograniczony i funkcja f : D → R caªkowalna. Wtedy
Z Z
Z Z
f (x , y ) dx dy =
f (Φ(u , v )) det Φ0 (u , v ) du dv .
D
Φ−1 (D )
W szczególno±ci caªka po prawej stronie istnieje.
Najcz¦±ciej Φ jest dyfeomorzmem mi¦dzy ukªadem wsp.
kartezja«skich i biegunowych Φ(r , θ) = (r cos θ, r sin θ).
Caªki wielokrotne
Caªki potrójne 1
Analogicznie deniuje si¦ caªki potrójne (i jeszcze
wielokrotniejsze) zamykaj¡c zbiór D w prostopadªo±cianie,
rozszerzaj¡c funkcj¦ poza D zerem, bior¡c ci¡gi normalne
podziaªów kraw¦dzi prostopadªo±cianu, ci¡gi punktów
po±rednich i tworz¡c odpowiadaj¡ce ci¡gi sum Riemanna
s X
t X
r
X
fˆ(ξi , ηj , ζk )(xi − xi −1 )(yj − yj −1 )(zk − zk −1 ).
i =1 j =1 k =1
Ich sko«czon¡ granic¦ niezale»n¡ od wyboru punktów
po±rednich (o ile istnieje) nazywamy caªk¡ potrójn¡ z f po
zbiorze D i oznaczamy
Z Z Z
f (x , y , z ) dx dy dz .
D
Caªki wielokrotne
Caªki potrójne 1
Analogicznie deniuje si¦ caªki potrójne (i jeszcze
wielokrotniejsze) zamykaj¡c zbiór D w prostopadªo±cianie,
rozszerzaj¡c funkcj¦ poza D zerem, bior¡c ci¡gi normalne
podziaªów kraw¦dzi prostopadªo±cianu, ci¡gi punktów
po±rednich i tworz¡c odpowiadaj¡ce ci¡gi sum Riemanna
s X
t X
r
X
fˆ(ξi , ηj , ζk )(xi − xi −1 )(yj − yj −1 )(zk − zk −1 ).
i =1 j =1 k =1
Ich sko«czon¡ granic¦ niezale»n¡ od wyboru punktów
po±rednich (o ile istnieje) nazywamy caªk¡ potrójn¡ z f po
zbiorze D i oznaczamy
Z Z Z
f (x , y , z ) dx dy dz .
D
Caªki wielokrotne
Caªki potrójne 1
Analogicznie deniuje si¦ caªki potrójne (i jeszcze
wielokrotniejsze) zamykaj¡c zbiór D w prostopadªo±cianie,
rozszerzaj¡c funkcj¦ poza D zerem, bior¡c ci¡gi normalne
podziaªów kraw¦dzi prostopadªo±cianu, ci¡gi punktów
po±rednich i tworz¡c odpowiadaj¡ce ci¡gi sum Riemanna
s X
t X
r
X
fˆ(ξi , ηj , ζk )(xi − xi −1 )(yj − yj −1 )(zk − zk −1 ).
i =1 j =1 k =1
Ich sko«czon¡ granic¦ niezale»n¡ od wyboru punktów
po±rednich (o ile istnieje) nazywamy caªk¡ potrójn¡ z f po
zbiorze D i oznaczamy
Z Z Z
f (x , y , z ) dx dy dz .
D
Caªki wielokrotne
Caªki potrójne 1
Analogicznie deniuje si¦ caªki potrójne (i jeszcze
wielokrotniejsze) zamykaj¡c zbiór D w prostopadªo±cianie,
rozszerzaj¡c funkcj¦ poza D zerem, bior¡c ci¡gi normalne
podziaªów kraw¦dzi prostopadªo±cianu, ci¡gi punktów
po±rednich i tworz¡c odpowiadaj¡ce ci¡gi sum Riemanna
s X
t X
r
X
fˆ(ξi , ηj , ζk )(xi − xi −1 )(yj − yj −1 )(zk − zk −1 ).
i =1 j =1 k =1
Ich sko«czon¡ granic¦ niezale»n¡ od wyboru punktów
po±rednich (o ile istnieje) nazywamy caªk¡ potrójn¡ z f po
zbiorze D i oznaczamy
Z Z Z
f (x , y , z ) dx dy dz .
D
Caªki wielokrotne
Caªki potrójne 2
Tak»e zachodzi wzór zamiany na caªki iterowane, gdy
D = {(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D 0 ⊂ R2 z ∈ [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]} i
obie funkcje ϕ, ψ s¡ ci¡gªe na D 0 zwartym:
!
Z Z Z
Z Z ÃZ
D
f (x , y , z ) dx dy dz =
ψ(x ,y )
D0
ϕ(x ,y )
f (x , y , z ) dz
W ten sposób obliczenie caªki potrójnej sprowadza sie do
kolejnego obliczenia caªki oznaczonej i podwójnej.
Taki sam jest wzór na zamian¦ zmiennych w caªce potrójnej.
Zwykle stosuje si¦ tu zamian¦ na wspóªrz¦dne sferyczne lub
walcowe.
dx dy .
Caªki wielokrotne
Caªki potrójne 2
Tak»e zachodzi wzór zamiany na caªki iterowane, gdy
D = {(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D 0 ⊂ R2 z ∈ [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]} i
obie funkcje ϕ, ψ s¡ ci¡gªe na D 0 zwartym:
!
Z Z Z
Z Z ÃZ
D
f (x , y , z ) dx dy dz =
ψ(x ,y )
D0
ϕ(x ,y )
f (x , y , z ) dz
W ten sposób obliczenie caªki potrójnej sprowadza sie do
kolejnego obliczenia caªki oznaczonej i podwójnej.
Taki sam jest wzór na zamian¦ zmiennych w caªce potrójnej.
Zwykle stosuje si¦ tu zamian¦ na wspóªrz¦dne sferyczne lub
walcowe.
dx dy .
Caªki wielokrotne
Caªki potrójne 2
Tak»e zachodzi wzór zamiany na caªki iterowane, gdy
D = {(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D 0 ⊂ R2 z ∈ [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]} i
obie funkcje ϕ, ψ s¡ ci¡gªe na D 0 zwartym:
!
Z Z Z
Z Z ÃZ
D
f (x , y , z ) dx dy dz =
ψ(x ,y )
D0
ϕ(x ,y )
f (x , y , z ) dz
W ten sposób obliczenie caªki potrójnej sprowadza sie do
kolejnego obliczenia caªki oznaczonej i podwójnej.
Taki sam jest wzór na zamian¦ zmiennych w caªce potrójnej.
Zwykle stosuje si¦ tu zamian¦ na wspóªrz¦dne sferyczne lub
walcowe.
dx dy .
Caªki wielokrotne
Caªki potrójne 2
Tak»e zachodzi wzór zamiany na caªki iterowane, gdy
D = {(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D 0 ⊂ R2 z ∈ [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]} i
obie funkcje ϕ, ψ s¡ ci¡gªe na D 0 zwartym:
!
Z Z Z
Z Z ÃZ
D
f (x , y , z ) dx dy dz =
ψ(x ,y )
D0
ϕ(x ,y )
f (x , y , z ) dz
W ten sposób obliczenie caªki potrójnej sprowadza sie do
kolejnego obliczenia caªki oznaczonej i podwójnej.
Taki sam jest wzór na zamian¦ zmiennych w caªce potrójnej.
Zwykle stosuje si¦ tu zamian¦ na wspóªrz¦dne sferyczne lub
walcowe.
dx dy .
Caªki wielokrotne
Zamiana zmiennych
Wsp. walcowe:

 x = r cos θ,
y = r sin θ,

z = h,
r > 0,
θ ∈ (0, 2π),
h ∈ R,
Tu wªa±ciwie wprowadzamy wsp. biegunowe na pªaszczy¹nie
x , y trzeciej wspóªrz¦dnej nie zmieniamy.
Wsp. sferyczne:

 x = r cos θ cos η, r > 0,
y = r sin θ cos η,
θ ∈ (0, 2π),

z = r sin η,
η ∈ (−π/2, π/2),
Tu bierzemy wsp. biegunowe rzutu punktu (x , y , z ) na
pªaszczyzn¦ x , y , wsp. η to k¡t mi¦dzy pªaszczyzn¡ x , y i
promieniem wodz¡cym punktu.
Caªki wielokrotne
Zamiana zmiennych
Wsp. walcowe:

 x = r cos θ,
y = r sin θ,

z = h,
r > 0,
θ ∈ (0, 2π),
h ∈ R,
Tu wªa±ciwie wprowadzamy wsp. biegunowe na pªaszczy¹nie
x , y trzeciej wspóªrz¦dnej nie zmieniamy.
Wsp. sferyczne:

 x = r cos θ cos η, r > 0,
y = r sin θ cos η,
θ ∈ (0, 2π),

z = r sin η,
η ∈ (−π/2, π/2),
Tu bierzemy wsp. biegunowe rzutu punktu (x , y , z ) na
pªaszczyzn¦ x , y , wsp. η to k¡t mi¦dzy pªaszczyzn¡ x , y i
promieniem wodz¡cym punktu.
Caªki wielokrotne
Zastosowania 1
Obliczanie obj¦to±ci. Je»eli f , g : R2 ⊃ D → R s¡ ci¡gªe na
zbiorze zwartym D i f (x , y ) ≤ g (x , y ) dla dowolnego
(x , y ) ∈ D , to obj¦to±¢ zbioru
V := {(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D , z ∈ [f (x , y ), g (x , y )]}
jest równa
Z Z
D
(g (x , y ) − f (x , y )) dx dy .
Obliczanie pola powierzchni. Wykres funkcji
f : R2 ⊃ D → R klasy C 1 jest powierzchni¡. Jej pole (intuicja
- denicja porz¡dna w podr¦czniku Rudnickiego) to liczba
Z Z q
1 + fx2 (x , y ) + fy2 (x , y ) dx dy .
D
Caªki wielokrotne
Zastosowania 1
Obliczanie obj¦to±ci. Je»eli f , g : R2 ⊃ D → R s¡ ci¡gªe na
zbiorze zwartym D i f (x , y ) ≤ g (x , y ) dla dowolnego
(x , y ) ∈ D , to obj¦to±¢ zbioru
V := {(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D , z ∈ [f (x , y ), g (x , y )]}
jest równa
Z Z
D
(g (x , y ) − f (x , y )) dx dy .
Obliczanie pola powierzchni. Wykres funkcji
f : R2 ⊃ D → R klasy C 1 jest powierzchni¡. Jej pole (intuicja
- denicja porz¡dna w podr¦czniku Rudnickiego) to liczba
Z Z q
1 + fx2 (x , y ) + fy2 (x , y ) dx dy .
D
Caªki wielokrotne
Zastosowania 1
Obliczanie obj¦to±ci. Je»eli f , g : R2 ⊃ D → R s¡ ci¡gªe na
zbiorze zwartym D i f (x , y ) ≤ g (x , y ) dla dowolnego
(x , y ) ∈ D , to obj¦to±¢ zbioru
V := {(x , y , z ) : (x , y ) ∈ D , z ∈ [f (x , y ), g (x , y )]}
jest równa
Z Z
D
(g (x , y ) − f (x , y )) dx dy .
Obliczanie pola powierzchni. Wykres funkcji
f : R2 ⊃ D → R klasy C 1 jest powierzchni¡. Jej pole (intuicja
- denicja porz¡dna w podr¦czniku Rudnickiego) to liczba
Z Z q
1 + fx2 (x , y ) + fy2 (x , y ) dx dy .
D
Caªki wielokrotne
Zastosowania 2
Je±li powierzchnia zadana jest parametrycznie jako obraz
ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) : R2 ⊃ D → R3 , to jej pole jest równe
¯
Z Z √
¯ ϕ
ϕ1,y
a2 + b2 + c 2 dx dy , gdzie a = ¯¯ 1,x
ϕ2,x ϕ2,y
D
¯
¯
¯
¯
¯ ϕ2,x ϕ2,y ¯
¯ ϕ1,x ϕ1,y ¯
¯
¯
¯
¯.
b=¯
, c =¯
ϕ3,x ϕ3,y ¯
ϕ3,x ϕ3,y ¯
¯
¯
¯,
¯
Caªki wielokrotne
Zastosowania 2
Je±li powierzchnia zadana jest parametrycznie jako obraz
ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) : R2 ⊃ D → R3 , to jej pole jest równe
¯
Z Z √
¯ ϕ
ϕ1,y
a2 + b2 + c 2 dx dy , gdzie a = ¯¯ 1,x
ϕ2,x ϕ2,y
D
¯
¯
¯
¯
¯ ϕ2,x ϕ2,y ¯
¯ ϕ1,x ϕ1,y ¯
¯
¯
¯
¯.
b=¯
, c =¯
ϕ3,x ϕ3,y ¯
ϕ3,x ϕ3,y ¯
¯
¯
¯,
¯
Caªki wielokrotne
Zastosowania 3
‘rodek ci¦»ko±ci bryªy. Je±li bryªa V ⊂ R3 ma g¦sto±¢
zadan¡ przez funkcj¦ ci¡gª¡ % : V → [0, ∞), to jej ±rodek
ci¦»ko±ci ma wspóªrz¦dne (x0 , y0 , z0 ) :
RRR
x %(x , y , z ) dx dy dz
x0 := R R RV
,
%(
x
,
y
,
z
)
dx
dy
dz
V
RRR
y %(x , y , z ) dx dy dz
y0 := R R RV
,
V %(x , y , z ) dx dy dz
RRR
z %(x , y , z ) dx dy dz
z0 := R R RV
.
V %(x , y , z ) dx dy dz
Caªki wielokrotne
Zastosowania 3
‘rodek ci¦»ko±ci bryªy. Je±li bryªa V ⊂ R3 ma g¦sto±¢
zadan¡ przez funkcj¦ ci¡gª¡ % : V → [0, ∞), to jej ±rodek
ci¦»ko±ci ma wspóªrz¦dne (x0 , y0 , z0 ) :
RRR
x %(x , y , z ) dx dy dz
x0 := R R RV
,
%(
x
,
y
,
z
)
dx
dy
dz
V
RRR
y %(x , y , z ) dx dy dz
y0 := R R RV
,
V %(x , y , z ) dx dy dz
RRR
z %(x , y , z ) dx dy dz
z0 := R R RV
.
V %(x , y , z ) dx dy dz
Caªki wielokrotne
Zastosowania 4
Obj¦to±¢ elipsoidy
{(x , y , z ) :
x2 y2 z2
+ 2 + 2 ≤ 1}
a2
b
c
obliczamy jako caªk¦ z 1 po tej elipsoidzie.
Stosujemy zamian¦ zmiennych:

 x = ar cos θ cos η, r > 0,
y = br sin θ cos η,
θ ∈ (0, 2π),

z = cr sin η,
η ∈ (−π/2, π/2),
Po niej dostajemy caªk¦ po prostopadªo±cianie r ∈ (0, 1],
θ ∈ (0, 2π), η ∈ (−π/2, π/2). Wynik: 43 π abc .
Caªki wielokrotne
Zastosowania 4
Obj¦to±¢ elipsoidy
{(x , y , z ) :
x2 y2 z2
+ 2 + 2 ≤ 1}
a2
b
c
obliczamy jako caªk¦ z 1 po tej elipsoidzie.
Stosujemy zamian¦ zmiennych:

 x = ar cos θ cos η, r > 0,
y = br sin θ cos η,
θ ∈ (0, 2π),

z = cr sin η,
η ∈ (−π/2, π/2),
Po niej dostajemy caªk¦ po prostopadªo±cianie r ∈ (0, 1],
θ ∈ (0, 2π), η ∈ (−π/2, π/2). Wynik: 43 π abc .
Caªki wielokrotne
Zastosowania 4
Obj¦to±¢ elipsoidy
{(x , y , z ) :
x2 y2 z2
+ 2 + 2 ≤ 1}
a2
b
c
obliczamy jako caªk¦ z 1 po tej elipsoidzie.
Stosujemy zamian¦ zmiennych:

 x = ar cos θ cos η, r > 0,
y = br sin θ cos η,
θ ∈ (0, 2π),

z = cr sin η,
η ∈ (−π/2, π/2),
Po niej dostajemy caªk¦ po prostopadªo±cianie r ∈ (0, 1],
θ ∈ (0, 2π), η ∈ (−π/2, π/2). Wynik: 43 π abc .
Caªki wielokrotne
Zastosowania 4
Obj¦to±¢ elipsoidy
{(x , y , z ) :
x2 y2 z2
+ 2 + 2 ≤ 1}
a2
b
c
obliczamy jako caªk¦ z 1 po tej elipsoidzie.
Stosujemy zamian¦ zmiennych:

 x = ar cos θ cos η, r > 0,
y = br sin θ cos η,
θ ∈ (0, 2π),

z = cr sin η,
η ∈ (−π/2, π/2),
Po niej dostajemy caªk¦ po prostopadªo±cianie r ∈ (0, 1],
θ ∈ (0, 2π), η ∈ (−π/2, π/2). Wynik: 43 π abc .