dodawanie wektorów. - Romuald Kędzierski

Podstawy rachunku
wektorowego.
Dodawanie wektorów
dr inż. Romuald Kędzierski
Podział metod
dodawania
wektorów
Graficzne
(rysunkowe)
Analityczne
(rachunkowe)
1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów.
Założenia wyjściowe:
o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach.
(nie są znane współrzędne obu wektorów)
 dane są dwa wektory
 Kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe:
 Mniejszy z kątów pomiędzy wektorami wynosi:
Problem: jak znaleźć wektor
Metoda równoległoboku
Na obu wektorach wyjściowych należy zbudować równoległobok (łącząc je początkami )
Wektor będący sumą wektorów jest przekątną równoległoboku wychodzącą z wierzchołka,
gdzie oba wektory zostały połączone. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się w
nowoutworzonym wierzchołku równoległoboku.
Przypomnienie:
Jeżeli jest dana skala rysunku, to wartość wektora jest iloczynem skali rysunku
i zmierzonej długości otrzymanego wektora.
Uwaga:
Metody równoległoboku nie da się stosować dla wektorów równoległych!
Metoda wieloboku sznurowego
Do końca pierwszego z rozpatrywanych wektorów (zaczepionego w „dowolnym”
punkcie) doczepiamy początek drugiego z wektorów (zachowując kierunki,
wartości i zwroty obu wektorów wyjściowych!)
Aby znaleźć graficznie sumę obu wektorów, należy połączyć początek pierwszego
z wektorów z końcem drugiego z nich.
Zwrot (grot) tak otrzymanego wektora znajduje
się przy grocie drugiego (ostatniego) wektora.
Uwaga:
Jeżeli dodajemy więcej niż dwa wektory, to:
 do końca pierwszego
(dowolnie wybranego) wektora doczepiamy początek
dowolnego z pozostałych wektorów,

do końca drugiego wektora doczepiamy początek trzeciego itd..
Zawsze należy zachować kierunki, długości
(wartości) i zwroty przenoszonych wektorów!

Po zbudowaniu wieloboku sznurowego („łamanej”), tzn. połączeniu w wyżej
opisany sposób wszystkich dodawanych wektorów, należy połączyć „strzałką”
(wektorem) początek rysunku (początek pierwszego z rysowanych wektorów)
z końcem ostatniego z dodawanych wektorów. Zwrot (grot) tak otrzymanego
wektora znajduje się przy grocie ostatniego z rysowanych wektorów.
Przykład dla trzech wektorów:
Szukamy wektorów:
Co widać?
Wniosek:
Dodawanie wektorów jest przemienne!
2. Analityczne (rachunkowe) dodawanie dwóch wektorów.
Jak widać z metod graficznych, w przypadku dwóch wektorów nierównoległych
do siebie, miarą wartości ich sumy jest długość odpowiedniej przekątnej
równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.
Jeżeli kąt przy wierzchołku, z którego poprowadzono przekątną wynosi
to:
Uwaga:
 z powyższego wzoru można wyliczyć wartość sumy dwóch wektorów, ale nie wynika z
niego kierunek i zwrot otrzymanego wektora,
 do wyliczenia wartości sumy dwóch wektorów konieczna jest znajomość wartości funkcji
cosinus dla konkretnego kąta,
 powyższy wzór można również stosować w przypadku równoległości wektorów
wyjściowych!
Analiza szczególnych przypadków
a. Wektory równoległe i zgodnie zwrócone:
Wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach jest
równa sumie wartości obu wektorów.
Metoda graficzna: wielobok sznurowy!
b. Wektory równoległe i przeciwnie zwrócone:
Wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych
zwrotach, jest równa wartości bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów.
Metoda graficzna: wielobok sznurowy!
c. Wektory wzajemnie prostopadłe:
Wartość sumy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest
równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów wartości
wektorów wyjściowych.
Metoda graficzna:
Wielobok sznurowy
Metoda równoległoboku
3. Analityczne (rachunkowe) dodawanie wektorów o
znanych współrzędnych.
Założenie wyjściowe: w układzie XY dane są trzy wektory o znanych współrzędnych.
Z rysunku wynika, że:
]
]
]
]
]
]
Konstrukcja geometryczna sumy wektorów:
Wektor
zaczepiony w punkcie np.
Z rysunku wynika, że:
]
[
]
Ile wynosi suma odpowiednich współrzędnych
wektorów składowych?
Wniosek:
Dla rozpatrywanego przypadku, współrzędne wektora będącego sumą trzech
wektorów, są sumą odpowiednich współrzędnych wektorów składowych!
Można wykazać, że da się to uogólnić na sumę dowolnej liczby wektorów!
(również trójwymiarowych)
Jeżeli danych jest n trójwymiarowych wektorów o znanych współrzędnych:
to:
oraz:
Rozumienie sensu
matematycznego równań
nie oznacza…
rozumienia fizyki !
Richard Feynman