1) Na czym polega zadanie interpolacji

INTERPOLACJA
Na
czym
polega
zadanie
interpolacji ?
Zadaniem
interpolacji
jest
wyznaczenie
przybliżonych wartości funkcji w punktach nie
będących węzłami oraz oszacowanie błędu tych
przybliżonych wartości .W tym celu należy znaleźć
funkcje p(x), zwaną funkcją interpolacyjną , którą w
węzłach interpolacji przyjmujemy takie same
wartości co funkcja f(x). Dla pełnego zdefiniowania
zadania interpolacji należy ,jeszcze określić zbiór , w
którym szukamy funkcji p(x) spełniające warunki
interpolacji .
Jaki jest wpływ rozmieszczenia węzłów na
dokładność interpolacji ?
Wraz ze wzrostem ilości węzłów błędy powinny maleć
dla odpowiednich metod.
Na czym polega zbieżność procesu interpolacji?
Dla odpowiedniej funkcji musi być dobrana
odpowiednia metoda oraz wraz ze wzrostem ilości
węzłów powinny maleć błędy.
Aby zmierzyć dokładność interpolacji należy
:Zwiększyć ilość węzłów, dobrać odpowiednią
metodę, dobrać odpowiednie rozmieszczenie węzłów.
INTERPOLACJA
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
Interpolacja wielomianowa: Mamy n węzłów i n
wartości. Stopień wielo
n−1
mianu n-1
1 2
n
Wielomian jest postaci:
f ( x ) = a + a x + ... + a x
n
Wn −1 ( x ) = ∑ ak x
k −1
k =1
Żeby obliczyć n współczyn. mamy n punktów.
to spełnia układ równań normalnych;
 x1n−1
 n−1
 x2
 ...
 n−1
 xn
... x1 1   an   y1 

  
... x2 1   a n−1   y2 
=
... ... ...  ...   ... 

  
... xn 1   a1   yn 
Macierz Vandermoude’a
Jeżeli detA≠0 – mamy jedno rozwiazanie
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
OPISZ
METODĘ
INTERPOLACJI
LAGRANGE’a
Zadaniem interpolacyjne Lagrange’a polega na polega
na znalezieniu wielomianu L ∈ ∏ n spełniającego dla
zadanych węzłów (x0,x1,...,xn) Xi≠ Xj i wartości (f0,f1,...fn)
warunki : L( xi) = fi dla 0<=i<=n
Algorytm sprowadza się do wykorzystania jawnej
postaci rozwiązania tego zadania , zapisanego
następująco :
n
Ln ( x ) = ∑ y i
i =0
( x − x0 )( x − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − x n )
( xi − x0 )( xi − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) ⋅ ... ⋅ ( xi − xn )
OPISZ METODĘ INTERPOLACJI LAGRANGE’a
INTERPOLACJA NEWTONA
Mamy (n+1) par węzłów, na których budujemy wzór
interpolacji
Newtona
za
pomocą
ilorazów
różnicowych. Ogólny wzór:
f n−1 = b1 + b2 ( x − x1 ) + ... + bn ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn −1 )
Aby wyznaczyć kolejne bi podstawiamy
x = xi.
INTERPOLACJA NEWTONA
INTERPOLACJA ODWROTNA
Polega na wyznaczeniu wartości zmiennej niezależnej
x, której odpowiada dana wartość funkcji nie
występująca w tablicy wartości. Po wyznaczeniu tych
wartości stosujemy któryś ze znanych wzorów
interpolacyjnych, zamieniając miejscami zmienne x i y
w tablicy i we wzorze.
INTERPOLACJA ODWROTNA
INTERPOLACJA HERMITE’A
Przypadek interpolacji za pomocą wielomianu Wm(x)
stopnia m = n + r + 1, który w węzłach od x0 do xn
przyjmuje wartości y0 do yn f-cji f(x) oraz w pewnych
węzłach od x0 do xr (r <= n) wartości od y’0 do y’r
pochodnej f-cji f’(x).
n
r
k =0
k =0
Wm ( x ) = ∑ yk ⋅ hk ( x ) + ∑ yk′ ⋅ hk ( x )
Gdzie h i h są wielomianami stopnia m =
n + r + 1.
INTERPOLACJA HERMITE’A
k
k
OPISZ METODĘ INTERPOLACJI FUNKCJĄ
SKLEJANĄ.
W przedstawionych powyżej algorytmach interpolacji
zakładano , że istnieje jedna funkcja interpolacyjna w
całym przedziale <a,b>. Przy tym założeniu jedyną
metodą uzyskania lepszego przybliżenia jest zwiększanie
stopnia wielomianu interpolacyjnego . Można jednak
podzielić przedział <a,b> na N części , tzn.
a=x0<x1<...<xn= b
W każdym z przedziałów <xi,xi+1> możemy
przeprowadzić interpolację inną funkcją ,istotne jest przy
tym aby była to funkcja ciągła wraz z odpowiednimi
pochodnymi na całym przedziale <a,b>. Funkcje o tych
samych własnościach nazywają się funkcjami
sklejanymi. Znajdowanie funkcji sklejanych stopnia 3
spełniającej
warunki
interpolacji
s( xi ) = f i , , , , , , , dla, , , , , ,0 ≤ i ≤ n
gdzie funkcja s(xi)
(2)
należy C [x0,x1] i ponadto spełniają warunki :
-s
( x) ∈ Π3
dla xi-1≤x≤xi
s′ ( x ) = s′ ( x ) = 0
0
n
Warunki te można zapisać w postaci układu równań
liniowych z macierzą trojdiagonalną .
OPISZ METODĘ INTERPOLACJI FUNKCJĄ
SKLEJANĄ.
OPISZ METODĘ INTERPOLACJI THELIEGO.
Jest to metoda konstrukcji wymiernej funkcji
interpolującej spełniającej warunki:
P(x i)/Q(x i) = f i dla 0\<i \<n
P należy ? l , Q należy ? m gdzie m =
n/2 , l = n – m
Rozwiązanie ma postać ułamka łańcuchowego.
Współczynniki tego ułamka są znajdowane na podstawie
tablicy odwrotności ilorazów liczonych według wzoru: h(
xo ,...,xl, xm, xn) = (xm - xn) / [h( xo ,...,xl, xm) – h(( xo ,...,xl,
xn)]
Rozwiązanie może nie istnieć, gdy któraś odwrotność
ilorazu różnicowego jest równa
OPISZ METODĘ INTERPOLACJI THELIEGO.
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
TWIERDZENIE CRONECKERA-CAPELLIEGO
Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności
ogólnego układu równań liniowych jest równość rzędu
macierzy W współczynników układu i rzędu macierzy
uzupełnionej U:
r = r(W) = r(U)
Gdy wspólny rząd r tych macierzy jest równy liczbie
niewiadomych n, to Układ r-nań ma dokładnie 1
rozwiązanie, gdy r < n, to układ ma nieskończenie wiele
rozwiązań, które zależą od n-r dowolnych parametrów.
Zawsze r(W) <= n. Gdy rząd r(W) <> r(U), to układ jest
sprzeczny.
TWIERDZENIE CRONECKERA-CAPELLIEGO
METODA ELIMINACJI GAUSSA
Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą
eliminacji Gaussa przebiega w dwóch etapach:
* pierwszy etap jest nazywany etapem
postępowania prostego (etapem
eliminacji niewiadomych),
* drugi etapem - postępowania
odwrotnego.
Na etapie postępowania prostego wyjściowy układ
równań zostaje przekształcony do postaci równoważnej
(tzn. takiej, która posiada dokładnie takie same
rozwiązania co układ wyjściowy) z trójkątną górną
macierzą główną układu. Przekształcenie to jest
realizowane w n krokach.
Krok 1 (eliminacja niewiadomej x1 z równań 2, 3, ... ,n).
Krok 2 (eliminacja niewiadomej x2 z równań 3, 4, ... ,n).
Aż do wyeliminowania zmiennej xn-1 z równania n
Na etapie postępowania odwrotnego trzeba obliczać
kolejne pierwiastki
od xn do x0.
SCHEMAT ELYMINACJI GAUSSA Z
CZĘŚCIOWYM WYBOREM
ELEMENTU GŁÓWNEGO
A ( 1 ) = [ A b]
A( k ) → A( k +1 )
Postępowanie w k-tym kroku
1. Wybrać r:
(k )
(k )
rk
ik
k ≤i ≤n
2. Przestawić wiersze k i r , przestawienie zapamiętać
3. Obliczyć
= max a
a
aik( k )
m i ,k = ( k ) ,
akk
i = k + 1, k + 2 ,..., n
(k )
a ij( k + 1 ) = a ij( k ) − m ik a kj
,
i = k + 1 , k + 2 ,..., n
j = k + 1 , k + 2 ,..., n + 1
4. Obliczyć
Ostatecznie
METODA ELIMINACJI GAUSSA
METODA ELIMINACJI GAUSSA Z PEŁNYM
WYBOREM ELEMENTU PODSTAWOWEGO
Załóżmy, że układ równań rozwiązujemy metodą
eliminacji Gaussa i zostało już wykonanych k-1 kroków
etapu postępowania prostego. Wyjściowy układ równań
został przekształcony do układu postaci
(1)
x1 + a12
x 2 + ...
(1)
+ a1(1n) x n = a10
x 2 + ...
( 2)
+ a 2( 2n) x n = a 20
.....................................................................
(1 )
a11

 0


 0
(1)
a12
(2)
a 21




0
 1
m
 21
L =  m 31
 

 mn1

0
1
m32

mn2
a1( n1 )   x1   b1( 1 ) 



a 2( n2 )   x 2   b2( 2 ) 
=
     
  (n)
( n )
a nn
  x n   bn 
0
0


1



 mnn −1
0
0

0

1
SCHEMAT ELYMINACJI GAUSSA Z
CZĘŚCIOWYM WYBOREM
ELEMENTU GŁÓWNEGO
( k −1)
( k −1)
a kk
x k + ... + a kn
x n = a k( k0−1)
...........................................
a
( k −1)
nk
x k + ... + a
( k −1)
nn
xn = a
( k −1)
n0
Algorytm z pełnym wyborem elementu podstawowego
jest następujący:
1) wyszukujemy element ars spełniający warunek:
a rs = max {| aij |} ,
k ≤i ≤n
k ≤ j≤n
2)
przestawiamy w układzie równanie r z równaniem k
oraz kolumnę s
z kolumną k,
3) eliminujemy niewiadomą xk z równań k + 1, k + 2,
…, n
zgodnie z algorytmem k-tego kroku prostej eliminacji
Gaussa. Jeżeli det( A) ≠ 0 , to żaden element podstawowy w
tej metodzie nie będzie równy zeru.
METODA ELIMINACJI GAUSSA Z PEŁNYM
WYBOREM ELEMENTU PODSTAWOWEGO
METODA GAUSSA-JORDANA***************
W tej metodzie rozwiązanie układu równań liniowych
uzyskujemy w jednym etapie. Podobnie jak w
metodzie eliminacji Gaussa, obliczenia przebiegają w n
krokach.
Krok 1 (eliminacja niewiadomej x1 z równań 2, 3, ... , n).
Krok 2 (eliminacja niewiadomej x2 z równań 1, 3, ... , n).
Kroki 3, 4, ... ,n
W k-tym (k=3,4,..,n) kroku algorytmu eliminujemy niewiadomą
xk z równań 1,2, …, k-1, k+1, …, n postępując podobnie jak w
krokach 1 i 2 metody. W konsekwencji po n-tym kroku
otrzymujemy układ równań
(n)
= a10
x1
x2
( n)
= a 20
.................................. ,
x n −1
= a n( n−1) , 0
x n = a n( n0)
reprezentujący gotowe rozwiązanie układu
METODA GAUSSA-JORDANA**********************
ROZKŁAD LU
1.Metoda Doolittle’a: macierz L ma 1-nki na
diagonali i jest macierzą trójkątną dolną (wartości
na dole), U – macierz trójkątna górna.
Współczynniki macierzy L i U wyznaczamy albo
jako przyrównanie elementu macierzy A z
elementem macierzy L*U, albo przy użyciu metody
eliminacji Gaussa:
a)wyznaczenie L(i) - macierz na diagonali ma 1nki, reszta elementów – zera oprócz i-tej kolumny,
poniżej danej 1-nki. Wartości te obliczamy ze
wzoru
l ji =
a (jii )
L = (L
)
−1
aii
⋅ ... ⋅ ( L
( n −1)
i=j
)
−1
U = A(n)
2.Metoda Crouta: macierz U ma jedynki na
diagonali i jest macierzą trójkątną górną, a macierz
L jest macierzą trójkątną dolną. Współczynniki
macierzy L i U wyznaczamy jako przyrównanie
elementu macierzy A z elementem macierzy L*U.
3.Metoda Cholesky’ego: macierz U jest macierzą
trójkątną górną, a macierz L jest macierzą trójkątną
dolną., przy czym lii = uii. Współczynniki macierzy
L i U wyznaczamy jako przyrównanie elementu
macierzy A z elementem macierzy L*U.
ROZKŁAD LU
METODY ITERACYJNE
1.Metoda Jacobiego:
W metodzie Jacobiego wybieramy dowolny wektor
X ( 0) i tworzymy ciąg kolejnych przybliżeń
X
(k )
( k = 1, 2, ... ) według wzorów
xi( k +1) =

1  i −1 ( k ) n
(k )
bi − ∑ a ij x j − ∑ aij x j 
aii 
j =1
j = i +1

Zapis macierzy A = L + D + U, gdzie L bierze
elementy pod diagonalą A,
D na diagonali, a U – nad diagonalą A. Wzór
macierzowy:
x ( k +1) = − D −1 ( L + U ) x ( k ) + D −1 B
1.Metoda Jacobiego:
METODY ITERACYJNE
METODY ITERACYJNE
2.Metoda Gaussa-Seidla:
W metodzie Gaussa-Seidela wybieramy dowolny
wektor X (0) i tworzymy
ciąg kolejnych przybliżeń X ( k ) (k = 1, 2, ... )
według wzorów
xi( k +1) =
xi( k +1) = xik +
1
aii
i −1
n


( k +1)
(k )
bi − ∑ aij x j − ∑ aij x j 
j =1
j = i +1


xi( k +1) = x ik + σ ik
gdzie drugi składnik sumy to wyraz korekcyjny.
a)nadrelaksacja
xi( k +1) = xik + ωσ ik , ω > 1
b)podrelaksacja
( i ) gdzie j = 1, …, n
+ 1, …, n
b)wyznaczenie macierz A(k) = L(k-1)*A(k-1) przy
założeniu, że A(1) = A. punkty a wykonujemy (n-1)
razy, punkt b - n razy i macierz
( 1)
METODY ITERACYJNE
3.Metoda SOR: Ogólna postać G-S:
1  i −1 ( k +1) n
(k ) 
bi − ∑ aij x j − ∑ aij x j 
aii  j =1
j =i +1

Wzór macierzowy:
x ( k +1) = ( D + L ) Ux ( k ) + ( D + L ) B
−1
2.Metoda Gaussa-Seidla:
METODY ITERACYJNE
−1
xi( k +1) = (1 − ω ) xik + ωσ ik , ω ∈ ( 0,1)
Gdy omega=1, to mamy G-S.
Wzór macierzowy:
( D + ωL ) x ( k +1) = [ ( 1 − ω ) D − ωU ] x ( k )
3.Metoda SOR:
METODY ITERACYJNE
RÓWNANIA NIELINIOWE
METODA BISEKCJI
Metoda bisekcji pozwala znaleźć zera funkcji
o nieparzystej krotności, w których wykres
funkcji przecina oś odciętych. W metodzie tej
wykorzystuje się fakt, że wartość funkcji
zmienia znak w otoczeniu takiego zera. Po
ustaleniu przedziału [a,b] zawierającego jedno
takie zero, np. metodą tablicowania, jako
kolejne przybliżenie przyjmuje się środek
przedziału.Warunki:
1) Funkcja ciągła na [a,b].
2) Spełnia warunek, że f(a)f(b)<0.
3) Posiada w przedziale [a,b]
tylko jeden pierwiastek. Metoda:
Wyznaczamy środek przedziału:
[ak −1 , bk −1 ] , środek: m
k
=
ak −1 + bk −1
2
Jeżeli f (mk ) = 0 to mamy pierwiastek. A jeżeli
różne to:
(mk , bk −1 ) jesli f ( mk ) f (bk −1 ) < 0
( ak , bk ) = 
(ak −1 , mk ) jesli f (ak −1 ) f (mk ) < 0
α ∈ (ak , bk ) k = 1,2,...
Po n-krokach otrzymamy przedział przedział o
długości 1/2^n * (b-a). Wartość przybliżona
pierwiastka d1=1/2^(n+1) *(b-a).
Kryterium |d|<ε. Postępowanie to jest
kontynuowane tak długo, aż osiągnięta zostanie
założona dokładność przybliżenia. Miarą
dokładności może być długość przedziału
zawierającego poszukiwane zero lub wartość
bezwzględna funkcji w środku przedziału.
Metoda bisekcji jest zawsze zbieżna, ale z
reguły wolniejsza od pozostałych metod.
METODA BISEKCJI
METODA SIECZNYCH
W metodzie siecznych również rozpoczyna się
od kreślenia przedziału [a,b] zawierającego zero
funkcji.Warunki:
1) Funkcja musi być ciągła na tym
przedziale.
2) Spełnia warunek: f(a)f(b)<0.
3) Posiada w przedziale [a,b] tylko
jeden pierwiastek pojedynczy równania f(x)=0.
4) Funkcja jest klasy C^2, przy czym
pierwsza i druga pochodna mają stały
znak w [a,b].
Następnie prowadzona jest sieczna funkcji f
przechodząca przez krańce przedziału. Punkt
przecięcia siecznej z osią odciętych x3 jest
pierwszym przybliżeniem rozwiązania. Kolejne
przybliżenia wyznacza się w analogiczny
sposób, badając przedział [a,x1]. Ogólnie, jeśli
xi-1 i xi są kolejnymi przybliżonymi wartościami
zera funkcji f , to :
xi+1= xi –f(xi )( xi-xi-1)/(f(xi) – f(xi-1)) jest
następnym przybliżeniem.
METODA SIECZNYCH
METODA NEWTONA
Warunki:
1) Funkcja musi być ciągła na tym
przedziale.
2) Spełnia warunek:
f(a)f(b)<0.
3)
Posiada w przedziale [a,b] tylko
.
jeden pierwiastek pojedynczy
.
równania f(x)=0.
4) Funkcja jest klasy C^2, przy czym .
.
pierwsza i druga pochodna mają .
.
stały znak w [a,b].
Wybieramy ten kraniec przedziału, dla których
znak funkcji i drugiej pochodnej są równe:
f(x)f”(x)>0. Z tego punktu wyprowadzamy
styczną.
xi+1= xi –f(xi )/f’(xi)
Regula falsi
dane
xi , ai , f ( xi ) f ( ai ) < 0
a f ( x )− x f (a )
µi = i i i i ,
f ( xi ) − f ( ai )
obliczamy
xi +1 = µ i 
 ⇐ f ( xi ) f ( µ i ) > 0
a =a
wybieramy i +1 i 
x i +1 = µ i 
 ⇐ f ( xi ) f ( µ i ) < 0
a i +1 = x i 
p=1
METODA NEWTONA
UKŁADY RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODA NEWTONA-RAPHSONA
Jest to metoda iteracyjna o ogólnym wzorze:
( )( )
x( k +1) = x( k ) − J −1 x( k ) f x( k )
J to jakobian, w wektorze x zapisujemy
zmienne. W jakobianie ilość wierszy równa jest
ilości równań, a kolumny zawierają pochodne
po zmiennych. Do wzoru ogólnego podstawiamy
przybliżenia początkowe i następnie.
Otrzymujemy kolejne przybliżenia pierwiastków
układu.
ROZKŁAD SVD
Mamy daną macierz odwzorowania A.
Wyznaczamy macierz V = ATA.
Obliczamy
det[V − λI ] = 0
Oraz wartości własne równania. Dla każdej
wartości własnej
Wyznaczamy wektory własne. Otrzymane
wektory własne stanowią
kolejne kolumny macierzy V w rozkładzie SVD.
Aby znaleźć macierze
U i D korzystamy ze wzoru:
Avi = σ iui
W ten sposób wyznaczamy wektory ui
stanowiące kolejne kolumny macierzy
U. Wartości sigmai leżą na diagonali
macierzy D.
A = UDVT.
ROZKŁAD QR
Dla macierzy rzeczywistej A istnieje ortogonalna
Q i trójkątna
górna R , że A=QR.
Algorytm wyznaczania rozkładu QR wymaga
skończonej liczby operacji.
W i-tej iteracji metody QR:
- wyznaczamy rozkład QR macierzy Ai,
Ai = Qi Ri ,
Ai +1 = Ri Qi
A = Ri Qi = QiT Qi Ri Qi = QiT Ai Qi ,
Wtedy i +1
- obliczamy
czyli dokonaliśmy przekształcenia przez
podobieństwo z ortogonalną macierzą
przekształcenia. Ai dąży do macierzy trójkątnej
górnej z wartościami własnymi na przekątnej.
METODA ITERACJI ?????
Polega na stosowaniu następującego wzoru
iteracyjnego
( )
x ( k +1) = g x ( k )
Po przyjęciu pewnego początkowego
przybliżenia otrzymujemy ciąg kolejnych
przybliżeń pierwiastka.
METODA ITERACJI ?????
KWADRATURA NEWTONA-COTES’a
Wzory N-C są zbiorem wzorów całkowania
numerycznego zwanego również kwadraturą.
Przyjmujemy, że wartość funkcji jest znana w
równoodległych punktach xi dla i=0,…,n.
Definiujemy dwa typy wzorów: zamknięte
(które nie wykorzystują wartości funkcji w
skrajnych punktach), i otwarte (które
wykorzystują wszystkie wartości).
1)Zamknięty wzór N-C rzędu n:
b
n
a
k =0
∫ f ( x)dx ≈ ∑ A
k
f ( xk ) , gdzie :
b−a
n
n
( −1) n−k t (t − 1)...(t − n)
Ak = h
dt
k!(n − k )! ∫0
t−k
xk = hk + x0 , h =
Można skonstruować wzory N-C różnych
rzędów, które mają odpowiednio swoje nazwy:
n=1 (pierwszy rzad) – wzór trapezów:
b
∫
a
h
f ( x)dx = ( f 0 + f1 )
2
błąd metody:
− h3 ( 2)
f (ξ )
12
n=2 (drugi rząd) – wzór 1/3 Simpsona
h
( f 0 + 4 f1 + f 2 )
3
błąd metody:
− h5 ( 4 )
f (ξ )
90
n=3 (trzeci rzad) – metoda 3/8 Simpsona:
3h
( f 0 + 3 f1 + 3 f 2 + f3 )
8
5
−
3
h
błąd metody:
f ( 4) (ξ )
80
n=4 (czwarty rzad) – wzor Boole’a:
2h
(7 f0 + 32 f1 + 12 f2 + 32 f3 + 7 f 4 )
45
błąd metody:
− 8h7 ( 6 )
f (ξ )
945
Otwarte wzory N-C:
n-rząd
xi+1= xi –f(xi )( xi-xi-1)/(f(xi) – f(xi-1))
1h 3 ( 2)
n=2 2 hf(x1) błąd:
f (ξ )
3
n=3 3/2 h(f(x1) + f(x2))
3h3 ( 2 )
błąd:
f (ξ )
4
n=4 4/3 h(2f(x1) - f(x2)+2 f(x3))
14h5 ( 4 )
f (ξ )
45
n=5 5/24 h(11f(x1) + f(x2)+ f(x3)+ 11f(x4))
95h 5 ( 4 )
błąd:
f (ξ )
144
n=6 6/20 h(11f(x1) - 14f(x2)+ 26f(x3)14f(x4)+11f(x5))
41h 7 ( 6)
błąd:
f (ξ )
140
błąd:
Kwadratury N-C złożone:
Stosuje się je w następujący sposób:
1)Przedział całkowania [a,b] dzielimy na pewną
liczbę podprzedziałów.
2)W każdym podprzedziale stosujemy kwadraturę
niskiego rzędu i sumujemy wyniki.
•
wzor złozony trapezów
Przedział całkowania dzielimy na n części o
długości
h=
b−a
W każdym z tych przedziałów stosujemy
m
wzór trapezów i sumujemy wyniki.
m−1
1
S ( f ) = ∑ h( f k + f k +1 ) =
k =0 2
1 
1
= h f 0 + f1 + ... + f m−1 + f m 
2 
2
gdzie :
f i = f (a + ih)
błąd:
•
(b − a ) 3 ( 2 )
f (ξ )
12m 2
Wzór złożony parabol
Dzielimy przedział na m części o długości h =
b−a
m
Przy czym m jest parzyste.
W przedziałach [a,a+2h], …,[a+(m-2)h,b] o długości 2h
stosujemy wzór parabol i sumujemy wyniki.
m
S( f ) =
h 2
∑ ( f 2k−2 + 4 f 2k −1 + f 2k ) =
3 k =0
h
( f 0 + f m + 2( f 2 + f 4 + ... + f m−2 ) + 4( f1 + f3 + ... + f m−1 ))
3
gdzie :
=
fi = f (a + ih)
błąd:
(b − a ) 5 ( 4 )
f (ξ )
180m 4
KWADRATURA NEWTONACOTES’a
CO NAZYWAMY RZĘDEM METODY
ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH ?
Jeżeli przez r n+1 (h) oznaczymy różnicę
pomiędzy wartością dokładną y(tn + h), a jej
przybliżeniem na podstawie wartości dokładnej
y(tn) i traktując jako funkcję h rozwiniemy w
szereg to mamy: rn + 1(h) = rn+1(0) + h r’n+1(0) +
h2/2! r”n+1(0) + .....
Metoda jest rzędu p jeżeli dla każdego
zagadnienia początkowego: rn+1(h) = 0; r(i)n+1(0)
=0
dla i = 1,.....,p; r(p + 1)n+1(0) <> 0
Dla metody Rungego-Kutty największy
rząd p jaki można uzyskać dla metody
m- etapowej to: p = m dla m =
1,2,3,4; p = m –1 dla m = 5,6,7; p =
m-2 dla m = 8,9; p<= m – 2 dla m
>=10
Najprostsze spośród metod RungegoKutty to metody:- jawna Eulera,modyfikacja met. Eulera,- Rungego,Eulera – Cauchy’ego,
-Heuna,- Rungego – Kutty.
CO NAZYWAMY RZĘDEM METODY
ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH ?
OMÓWIĆ RÓŻNICE POMIĘDZY
METODĄ JEDNOKROKOWĄ A
WIELOKROKOWĄ ROZWIĄZANIA
RÓZNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Metody rozwiązań równań różniczkowych
dzieli się na jedno i wielokrokowe. W
metodach jednokrokowych do obliczania
kolejnej wartości przybliżonej yi w punktach ti
wykorzystujemy tylko przybliżone y i-1
obliczone w bezpośrednio poprzedzającym
kroku. W metodzie wielokrokowej
wykorzystujemy przybliżenia obliczone w kilku
kolejnych, bezpośrednio poprzedzających
krokach. Metody wielokrokowe są określone
tylko dla stałego kroku całkowania.
WYJAŚNIĆ POJĘCIE STABILNOŚCI
ROZWIĄZANIA RÓWNANIA
RÓŻNICZKOWEGO
Stabilność absolutna metody różniczkowalnej
zależy od wyboru zagadnienia początkowego a
także od długości kroku całkowania. Aby
łatwiej określić zakres dopuszczalnych zmian
długości kroku h określmy tzw. obszar
stabilności absolutnej metody, tj. obszar na
płaszczyznie zespolonej wyznaczony przez
wszystkie liczby λh spełniające warunek
stabilności absolutnej dla danej metody. Część
wspólną obszaru stabilności absolutnej i osi Re
nazywamy przedziałem stabilności absolutnej.
Metoda numeryczna jest absolutnie stabilna dla
danej długości kroku całkowania h , jeżeli
zastosowanie tej metody do liniowego układu
stabilnego daje ciąg rozwiązań przybliżonych yn
zbieżny do zera , gdy n dąży do
nieskończoności dla h=const. Jeżeli dla danej
długości kroku całkowania warunki
gwarantujące stabilność nie są spełnione , to po
wykonaniu niewielkiej liczby kroków
rozwiązania przybliżone na ogół gwałtownie
rosną dając tzw. lawinę błędów. W celu
uniknięcia lawiny błędów należy odpowiednio
zmniejszyć krok całkowania . Jeżeli układ jest
niedobrze uwarunkowany , możliwe jest , że
wymagane będzie stosowanie bardzo małej
długości kroku całkowania h .
WYJAŚNIĆ POJĘCIE STABILNOŚCI
ROZWIĄZANIA RÓWNANIA
RÓŻNICZKOWEGO
OMÓWIĆ
NA
CZYM
POLEGA
STEROWANIE DŁUGOŚCIĄ KROKU W
PROCESIE
ROZWIĄZYWANIA
RÓZNANIA RÓŻNICZKOWEGO
Metody numeryczne rozwiązywania równań
różniczkowych polegają na obliczeniu ze znanej
wartości przybliżonej yn wartości następnej yn+1.
DEFINICJA:Jeśli przez xn oznaczymy dowolny
ciąg
arytmetyczny,
rosnący
{x0,
x0+h,...,x0+nh} liczb z przedziału <a,b>, w
którym poszukujemy rozwiązania równania, to
h nazwiemy długością kroku całkowania.
STEROWANIE
DŁUGOŚCIĄ
KROKU
Dostosowywanie długości kroku do aktualnych
wyników obliczeń. Dokonuje się tego na
podstawie oszacowania błędu lokalnego
(powstałego w n-tym procesie obliczeniowym).
Jeśli na początku rozwiązania przyjęliśmy
ustalony błąd graniczny, poniżej którego
rozwiązanie uznamy za dokładne i oszacowany
błąd lokalny jest od błędu granicznego
mniejszy, można zwiększyć długość kroku
całkowania. Jeśli natomiast błąd lokalny jest
większy od przyjętego błędu granicznego, krok
całkowania należy zmniejszyć. Zachodzi
bowiem twierdzenie:
TWIERDZENIE:
Przy zmniejszaniu kroku oszacowanie błędu w
ustalonym punkcie x dąży do zera w tym stopniu
co h, tzn.:
DOWÓD Pominięty.
OMÓWIĆ
NA
CZYM
POLEGA
STEROWANIE DŁUGOŚCIĄ KROKU W
PROCESIE
ROZWIĄZYWANIA
RÓZNANIA RÓŻNICZKOWEGO
PODAJ
KRYTERIUM
WYBORU
POCZĄTKOWEGO
PRZYBLIŻENIA
ZERA DLA METOD INTERACYJNYCH
Równania postaci f(x)=0 bardzo często
rozwiązuje się w sposób przybliżony metodami
kolejnych przybliżeń pierwiastka spełniającego
to równanie. Rozwiązywanie polega więc na
tworzeniu ciągu liczb x1...xn zwanych kolejnymi
przybliżeniami pierwiastka x=ξ. Metody te
można podzielić na dwie grupy, metody
jednokrokowe, w których do znalezienia xn+1
przybliżenia ξ potrzebna jest znajomość xn
przybliżenia, oraz metody wielokrokowe, w
których dla zbudowania xn+1 przybliżenia
konieczna jest znajomość kilku poprzednich.
Podstawowym warunkiem, jaki powinna
spełniać
metoda
kolejnych
przybliżeń
przekształconego równania f(x)=0 do postaci:
x=g(x), (wówczas jest to metoda iteracyjna), jest
zbieżność ciągu x1...xn do pierwiastka x=ξ.
Mówi się wówczas, że metoda jest zbieżna.
TWIERDZENIE:Jeśli w otoczeniu
x − ξ < h pierwiastka ξ równania
x=g(x) zachodzą nierówności:
g ′( x) ≤ q < 1, g ′( ξ ) ≠ 0
to dla każdego x0 z tego otoczenia
metoda
iteracyjna
jest
zbieżna.
(Zbieżny jest do ξ ciąg kolejnych
przybliżeń).
PODAJ
KRYTERIUM
WYBORU
POCZĄTKOWEGO
PRZYBLIŻENIA
ZERA DLA METOD INTERACYJNYCH
CO WIESZ O METODZIE
LEHMERA_SCHURA ZNAJDOWANIA
ZER WIELOMIANU
Metoda Lehmera-Schura umożliwia obliczenie
zer wielomianu o współczynnikach zespolonych
.Wynikiem tych obliczeń jest okrąg na
płaszczyźnie zespolonej o założonym promieniu
, zawierającym co najmniej jedno zero
wielomianu . Środek tego okręgu jest
przybliżanym zerem .Chcąc wyznaczyć kolejne
zero , należy wykonać deflację wielomianu i do
otrzymanego w taki sposób wielomianu
niższego stopnia ponownie zastosować metodę
Lehmera-Schura.
Kryterium sprawdzające istnienie zera w kole
jednostkowym:
f ( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 +  + a1 z + a 0
f * ( z ) = a 0 z n + a 1 z n −1 +  + a n −1 z + a n
a = Re( a ) − j Im( a )
,
T [ ⋅ ] : T [ f ( z )] = a0 f ( z ) − an f * ( z )
2
T [ f ( 0 )] = a 0 f ( 0 ) − a n f * ( 0 ) = a0 a0 − an a0 = a0 − a n
2
j −1
T [ f ( z )] = T [T [ f ( z )],  ,T [ f ( z )] = T [T [ f ( z )]
2
j
A) Czy f ( 0 ) = 0 ? TAK, to perwiastek=0, NIE to B)
T [ f ( 0 )] < 0
B) Czy
TAK, pierwiastek w kole
jednostkowym, NIEtoC)
j
C) Obliczyć T [ f ( z )], j = 1 ,2 , , k aż do uzyskania
T k [ f ( 0 )] < 0 (wtedy istnieje pierwiastek w kole
jednostkowym)
k
lub T [ f ( 0 )] = 0 (wtedy żaden pierwiastek nie
leży wewnątrz
k −1
koła jednostkowego, jeśli T [ f ( z )] jest stałą
Jeżeli wielomian
ma zero wewnątrz koła
z − c = r , to wielomian
ma zero
wewnątrz koła jednostkowego (
może mieć
współczynniki zespolone).
f ( z )
g ( z ) = f ( rz + c )
g( z )
CO WIESZ O METODZIE
LEHMERA_SCHURA ZNAJDOWANIA
ZER WIELOMIANU
DZIELENIE WIELOMIANÓW???
Czynnik liniowy:
f ( z ) = an z n + an−1 z n−1 +  + a1 z + a0 =
= ( z − z0 )( bn−1 z n−1 + bn−2 z n−2 +  + b1 z + b0 ) + R( z0 )
bn = 0 , bk = a k +1 + z 0 bk +1 , k = n − 1, n − 2 ,...,0
R( z 0 ) = a0 + z 0 b0
Czynnik kwadratowy:
f ( z ) = an z n + an−1 z n −1 +  + a1z + a0 =
= ( z 2 + rz + q )( bn− 2 z n− 2 + bn− 3 z n− 3 +  + b1 z + b0 ) + A( r ,q )z + B( r ,q )
bn = bn−1 = 0 , bk = ak +2 − rbk +1 − qbk +2 , k = n − 2 , n − 3 ,...,0
A( r , q ) = a1 − rb0 − qb1 , B( r , q ) = ao − qb0
DZIELENIE WIELOMIANÓW????
NA
CZYM
POLEGA
ZADANIE
APROKSYMACJI
Wiele zadań rozpatrywanych w metodach
numerycznych polega na aproksymacji (inaczej
przybliżeniu) funkcji za pomocą wielomianów.
Aproksymacją
jednostajną
nazywamy
aproksymację funkcji z przestrzeni
C(T)
funkcji rzeczywistych ciągłych w ustalonym
zbiorze domkniętym T liczb rzeczywistych , z
normą ƒ∞ = max ƒ(x) .
NA
CZYM
POLEGA
ZADANIE
APROKSYMACJI
CO TO JEST BŁĄD APROKSYMACJI
Oznaczmy przez Π n podprzestrzeń
przestrzeni C(T) złożoną z wszystkich
wielomianów co najwyżej n-tego stopnia. Dla
każdej funkcji ƒ ∈C(T) istnieje dokładnie jeden
taki wielomian pƒ ∈ Πn , że zachodzi nierówność
ƒ-pƒ∞ <lub=
ƒ-q∞ dla dowolnego
wielomianu q ∈Πn. Wielomian pƒ nazywa się ntym wielomianem optymalnym dla funkcji ƒ na
zbiorze T, a wielkość En(ƒ)= ƒ-pƒ -- n-tym
błędem aproksymacji optymalnej.
CO TO JEST BŁĄD APROKSYMACJI
JAK
MOŻEMY
ZWIĘKSZYĆ
DOKŁADNOŚĆ APROKSYMACJI
Dokładność aproksymacji możemy zwiększyć
poprzez zmianę liczby m (większa liczba –
mniejszy błąd). Wtedy błąd aproksymacji
optymalnej nie
przekracza podanej liczby
dodatniej eps postaci 10^(-m), gdzie m jest
liczbą dodatnią.
JAK
MOŻEMY
ZWIĘKSZYĆ
DOKŁADNOŚĆ APROKSYMACJI
NA CZYM POLEGA APROKSYMACJIA
SUMĄ CZĘŚCIOWĄ SZEREGU
POTĘGOWEGO
Aproksymacja
sumą
częściową
szeregu
potęgowego polega na wyborze wielomianu,
który
podczas
wykonywania
programu
porównany jest z n-tym
wielomianem
optymalnym na odcinku [-1,1].
W tej metodzie wielomianem przybliżającym jest
n-ta suma częściowa rozwinięcia funkcji w szereg
potęgowy.
NA CZYM POLEGA APROKSYMACJIA
SUMĄ
CZĘŚCIOWĄ
SZEREGU
POTĘGOWEGO
NA CZYM POLEGA APROKSYMACJA
POPRZEZ INTERPOLACJĘ W ZERACH
(n+1)-go WIELOMIANU CZEBYSZEWA
Aproksymacja poprzez interpolację w zerach
(n+1)-go wielomianu polega na wyborze
wielomianu, który podczas wykonywania
programu porównany jest z n-tym wielomianem
optymalnym na odcinku [-1,1]. W tej metodzie
wielomianem przybliżającym jest wielomian
interpolujący funkcje w zerach (n+1)-go
wielomianu Czebyszewa, tj. w punktach
cos
( 2k + 1)π
( 2k + 2 )
dla
k=0,1,.....,n
NA CZYM POLEGA APROKSYMACJA
POPRZEZ INTERPOLACJĘ W ZERACH
(n+1)-go WIELOMIANU CZEBYSZEWA
JAKIE ZNASZ METODY ZWIĘKSZANIA
DOKŁADNOŚCI WYZNACZANIA CAŁKI
Rozróżniamy następujące metody dokładności
wyznaczania całki :
-metodę prostokątów :prawego końca,
punktu środkowego, lewego końca,
-metodę trapezów, -metodę Simpsona.
JAKIE ZNASZ METODY ZWIĘKSZANIA
DOKŁADNOŚCI WYZNACZANIA CAŁKI
JAKIE
ZNASZ
PRZYCZYNY
POWSTAWANIA
BŁĘDÓW
W
OBLICZENIACH NUMERYCZNYCH
Błędy metody, błąd obliczania, błąd przy
wprowadzaniu danych , mała dokładność
wyników
JAKIE
ZNASZ
PRZYCZYNY
POWSTAWANIA
BŁĘDÓW
W
OBLICZENIACH NUMERYCZNYCH
CO TO JEST I O CZYM MÓWI
WSPÓŁCZYNNIK
NUMERYCZNEJ
POPRAWNOŚCI ALGORYTMU
Współczynnikiem numerycznej poprawności
algorytmu
nazywa
się
wyrażenie:;
(
wsp = r 2 / macheps * y 2 * A F
)
gdzie r=b-Ay jest wektorem residuum, y jest
numerycznie obliczonym rozwiązaniem, a
macheps - dokładność maszynowa, tzn.
najmniejsza liczba dodatnia reprezentowana w
komputerze taka, że 1+macheps>1. Jeżeli
wyrażenie to jest rzędu n lub n2 , to przyjmuje
się, że algorytm jest numerycznie poprawny i
zaleca się jego stosowanie. Rozwiązanie
obliczone algorytmem numerycznie poprawnym
nie musi być jednak dokładne, gdyż jego
dokładność zależy również od uwarunkowania
zadania. W ogólnym przypadku mała norma
wektora residuum r oznacza, że obliczone
rozwiązanie jest obarczone małym błędem.
CO TO JEST I O CZYM MÓWI
WSPÓŁCZYNNIK
NUMERYCZNEJ
POPRAWNOŚCI ALGORYTMU
CO TO JEST I O CZYM MÓWI
WSPÓŁCZYNNIK
NUMERYCZNEJ
OSOBLIWOŚCI
Wcelu zbadania numerycznej osobliwości
macierzy stosuje się dwa kryteria. W pierwszym
porównywane są moduły wartości elementów
głównych
z
liczbą
tol
(współczynnik
numerycznej osobliwości macierzy) równą:
tol=10n*macheps*
A
F
.
Jeżeli
modół
któregoś elementu głównego jest mniejszy od tol,
to przyjmuje się, że macierz jest numerycznie
osobliwa. W drugim kryterium są porównywane
wartości
szczególne
macierzy
A
z
tol1=10n*macheps*σ1 , gdzie σ1
oznacza
największą wartość szczególną macierzy A.
CO TO JEST I O CZYM MÓWI
WSPÓŁCZYNNIK
NUMERYCZNEJ
OSOBLIWOŚCI
SCHEMAT i-tej ITERACJI METODY
BAIRSTOW’A
r = ri , q = q i
Obliczyć
bn = bn−1 = 0 , bk = ak +2 − rbk +1 − qbk +2 , k = n − 2 , n − 3 ,...,0
A( r , q ) = a1 − rb0 − qb1 , B( r , q ) = ao − qb0
Obliczyć
d n−1 = d n−2 = 0 , d k = −bk +1 − rd k +1 − qd k +2 , k = n − 3 , n − 4 ,...,0 ,−1
Wartości kolejnego przybliżenia:
−1
d 0   A( ri , q i
 ri +1   ri   d −1
 q  = q  −  − q d d + r d   B ( r , q
 i +1   i   i 0
−1
i 0 
i
i
SCHEMAT i-tej ITERACJI METODY
BAIRSTOW’A
)
)
BŁĘDY ROZWIĄZAŃ UKŁADÓW
RÓWNAŃ LINIOWYCH
Norma macierzy indukowana przez normę wektorową:
A = sup
x≠0
np.
Ax
x
x = max x i ,
A = max a i , j
i
Niech
i,j
Ax = b , ( A + δA )( x + δx ) = b . Wtedy:
δx = − A −1δA( x + δx )
δx ≤ A −1 δA ( x + δx )
δx
δA
≤ A A −1
( x + δx )
A
Niech
Ax = b ,
Wtedy:
A( x + δx ) = b + δb .
Aδ x = δ b
δx ≤ A − 1 δb
i
b ≤ A x
δx
δb
≤ A A −1
x
b
cond ( A ) := A A−1
Wskaźnik uwarunkowania:
nε cond ( A ) ≤ 0.1 - dobre uwarunkowanie.
BŁĘDY ROZWIĄZAŃ UKŁADÓW
RÓWNAŃ LINIOWYCH
OBLICZANIE WEKTORÓW I WARTOŚCI
WŁASNYCH
Równanie charakterystyczne
n
n −1
n −1
s +b
s
det( A − sI ) = 0
+  + b1 s + b0 = 0
Różne wartości własne s1 , , s n
n liniowo niezależnych prawych wektorów własnych
x i ≠ 0 , Ax i = si x i
si =
y T Ax i
,
yT xi
yT xi ≠ 0
w szczególności
x T Ax
si = i T i
xi x i
Przekształcenie przez podobieństwo:
−1
i, i
det P ≠ 0 ,
, i
OBLICZANIE WEKTORÓW I WARTOŚCI
WŁASNYCH
A → P AP s → s x → Pxi
WYZNACZANIE WARTOŚCI WŁASNYCH
Z RÓNANIA CHARAKTERYSTYCZNEGO
Metoda Kryłowa wyznaczania
współczynników wielomianu
charakterystycznego
Z tw. Calley’a-Hamiltona
An + bn − 1 An −1 +  + b1 A + b0 I = 0
⋅y
bn −1 


[ An −1 y An− 2 y Ay y ]  b  == − An y
 1 
 b 
 0 
WYZNACZANIE WARTOŚCI WŁASNYCH
Z RÓNANIA CHARAKTERYSTYCZNEGO
APROKSYMACJA LINIOWA
ŚREDNIOKWADRATOWA
funkcja przybliżana f ( x ),
siatka węzłów x i , i = 0 ,..., m ,
dane:
punkty węzłowe
WIELOMIAN CZYBYSZEWA
Tn ( x ) = cos( n arc cos x )
T0 ( x ) = 1
ϕi ( x )
n = 0 ,1,...
T1 ( x ) = x , Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) n = 1 ,2 ,...
Współczynnik wiodący wielomianu Tn ( x ) jest
równy 2n-1 dla n=1,2,.
Tn ( − x ) = ( −1 )n Tn ( x )
Wielomian Tn+1 ( x ) ma n+1 zer.
( 2k + 1 )π
,
k = 0 ,1,..., n ,
2( n + 1 )
T ( x ),T1 ( x ),...,Tn ( x ) jest
Układ wielomianów 0
x k = cos
n = 0 ,1,....
ortogonalny względem wag w i = 1 i węzłów
x i , które są zerami wielomianu Tn +1 ( x ):
f i = f ( xi )
 0
n + 1
Ti ,T j = 
 2
n + 1
( x i , f i ) i = 0 ,..., m
wi > 0
− 1 ≤ x ≤ 1,
współczynniki wagowe
dla
i≠ j
dla
i= j≠0
dla
i= j=0
i = 0 ,..., m
funkcje bazowe
Zadanie wielomianowej aproksymacji jednostajnej
funkcja przybliżana f ( x ),
siatka węzłów
i = 0 ,..., n
funkcja aproksymująca
n
f * ( x ) = ∑ c iϕ i (
i =0
ci
szukane stałe
x i , i = 0 ,..., m , f i = f ( x i )
x)
dane:
punkty węzłowe
takie by
( x i , f i ) i = 0 ,..., m
m
*
2
∑ ( f ( x i ) − f i ) w i → min
n
i =0
f * ( x ) = ∑ ai x i
Notacja:
funkcja aproksymująca
ma być wielomianem
stopnia co najwyżej n
dla dowolnych funkcji f ( ⋅ ), g( ⋅ ), przy danej
siatce węzłów i wsp. wagowych
a i takie by
szukane stałe
*
max f ( xi ) − f i → min
i
m
f , g := ∑ f ( x i )g ( x i )w i
i =0
f ,g = 0
Jeżeli
to funkcje
ortogonalnymi.
Jeżeli
fi , f j = 0
f ( ⋅ ), g( ⋅ ), nazywamy
Tw. Weierstrassa
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w skończonym przedziale [ a , b] , to
dla każdego ε > 0 istnieje wielomian Pn ( x ) stopnia n, taki że
i ≠ j i f i , f i ≠ 0 to funkcje
dla
f i ( ⋅ ), i = 1,2 ,... układem (rodziną) funkcji ortogonalnych.
dla każdego
x3
Twierdzenie
Jeżeli funkcje bazowe są liniowo niezależne to
zadanie aproksymacji liniowej
średniokwadratowej ma jedyne rozwiązanie.
Rozwiązanie to spełnia układ równań
normalnych;
 ϕ 0 ,ϕ 0
 ϕ ,ϕ
 0 1
 

 ϕ 0 ,ϕ n
ϕ 1 ,ϕ 0
ϕ 1 ,ϕ 1




ϕ 1 ,ϕ n

ϕ n ,ϕ n
f ( x ) − P( x ) =
 f ,ϕ 0
 f ,ϕ
1
 =
   
  
  c1   f ,ϕ n






Jeżeli funkcje bazowe są rodziną funkcji ortogonalnych to rozwiązanie
upraszcza się do:
ci =
f ,ϕ i
,
ϕ i ,ϕ i
i = 0 ,..., n
APROKSYMACJA LINIOWA
ŚREDNIOKWADRATOWA
x ∈ [ a , b] , f ( x ) − Pn ( x ) < ε
P0 ,3 ( x )
P3 ( x ) = f 3
Reszta wzoru interpolacyjnego:
Jeżeli funkcja f ( ⋅ ) ma ciągłe pochodne do rzędu n+1 a
wielomianem interpolacyjnym stopnia n, to
ϕ n ,ϕ 0   c 0 
ϕ n ,ϕ 1   c1 

i =0
n
1
f ( n +1 ) ( ξ )∏ ( x − xi )
( n + 1 )!
i=0
P( ⋅ )
gdzie ξ jest pewnym punktem z najmniejszego przedziału
domkniętego zawierającego x , x 0 ,..., x n
WIELOMIAN CZYBYSZEWA
jest
EKSTRAPOLACJA ITEROWANA
RICHARDSONA
Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się
metodę numeryczną z parametrem h.
Wynikiem jej działania jest F(h). wartością
dokładną jest F(0). Trudności obliczeniowe
rosną gdy h maleje.
oszacowanie błędu numerycznego
b
∫ f ( x) dz
obliczenia
f(x)
metoda
trapezów
(b − a ) 3 f ' ' (ξ1 )
12n 2
( b − a )5 f ( 4 ) ( ξ 2 )
metoda
Simpsona
Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia (
przy n+1 obl. wartości
a
180 n 4
p1 < p 2 < p 3 ....)
F ( h ) = a0 + a1 h p1 + a2 h p2 + a3 h p3 ....
Błąd danych wejściowych
Błąd zaokrągleń w czasie obliczeń
Błąd metody (obcięcia)
Błąd wnoszony przez uproszczenia modelu matematycznego
Błąd człowieka
F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku
obliczonych wartości
F(h0), F(q-1h0), F(q-2h0), F(q-3h0)... q>1
Ekstrapolacja iterowana Richardsona
pozwala na utworzenie
a~ jest przybliżeniem wartości dokładnej a
Błąd bezwzględny: ∆ a = a~ − a
F ( h ),F ( h ),F3 ( h ),....,
2
ciągu funkcji 1
którego n-ty wyraz ma
rozwinięcie:
Fn ( h ) = a 0 + a n ,n h + a n ,n + 1 h
pn
pn + 1
+ a n ,n + 2 h
Błąd względny:
pn + 2
....
.
Sposób obliczeń: dana wartość początkowa
h0 i liczba q>1, stosuje się wzór
rekurencyjny:
−m
Am ,0 = F ( q h0 ),m = 0 ,1,2...
Am ,k = Am ,k −1 +
Am ,k −1 − Am −1 ,k −1
q −1
pk
εa =
a~ = a + ∆ a = a + ε a a = ( 1 + ε a )a
∆ a a~ − a a~
=
= − 1, a ≠ 0
a
a
a
εa =
uogólnienie na wartości wektorowe
szacowanie modułów błędów
Przenoszenie się błędów w obliczeniach numerycznych
1. Analiza bezpośrednia krok po kroku:
~y = 4.4
poprawnie zaokrąglona, więc 4.35 < y < 4.45
∆ y < 0.05
,k = 1,2 ,3...,Fn ( h0 ) = An−1 ,n−1 ,n = 2 ,3 ,4....
0.05
= 0.1149
4.35
2.0857 < y < 2.1095
εy <
~
y = 2.0976
Zastosowanie do różniczkowania numerycznego
2
∆
3
h
h
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + hf ' ( x0 ) + f ' ' ( x0 ) + f ( 3 ) ( x0 ) + 
2!
3!
ε
~
x = 10.3
p1 = 1, p2 = 2 , p3 = 3 , ...
∆ x < 0.05

1 
h2
h3 ( 3 )
 f ( x0 ) + hf ' ( x0 ) + f '' ( x0 ) + f ( x0 ) +  −
2h 
2!
3!



h2
h3
−  f ( x0 ) − hf ' ( x0 ) + f '' ( x0 ) − f ( 3 ) ( x0 ) +   =
2!
3!


h2
h4
f ( 3 )( x0 ) + f ( 4 ) ( x0 ) + 
3!
5!
p2 = 4 ,
EKSTRAPOLACJA
RICHARDSONA
~y = ln( ~
x + ~y ) = 2.5175 2.5125 < ln( x + y ) < 2.5275
∆ y < 0.005
ε y < 0.0020
~
x1~
x2
x ( 1 + ε 1 ) x2 ( 1 + ε 2 )
−1 = 1
− 1 = ( 1 + ε 1 )( 1 + ε 2 ) − 1 ≈ ε 1 + ε 2
x1 x2
x1 x2
y
=
x
Pierwiastek:
~
x( 1 + ε )
x
1
1
1
εy =
−1 =
− 1 = ( 1 + ε ) − 1 = 1 + ε − ε 2 + ..... − 1 ≈ ε
2
8
2
x
x
x1
y=
x
2
Iloraz:
~
xx
x ( 1 + ε 1 ) x2
( 1 + ε1 )
(ε − ε2 )
ε y = 1~2 − 1 = 1
−1 =
−1 = 1
≈ ε1 − ε 2
xx
x x (1 + ε )
(1 + ε )
(1 + ε )
εy =
f ( x0 + h ) − f ( x0 − h )
=
2h
p1 = 2 ,
0.05
= 0.049
10.25
2. Wykorzystanie podstawowych wzorów
x1 , ~
x1 , ε1 ,
x2 , ~
x2 , ε 2
y
=
x
x
1
2
Iloczyn:
Różnica centralna
= f ' ( x0 ) +
< 0.0057
εx <
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
h2 ( 3 )
DP ( h ) =
= f ' ( x0 ) + f '' ( x0 ) + f ( x0 ) + 
h
2!
3!
=
< 0.0119
y
y
poprawnie zaokrąglona, więc 10.25 < x < 10.35
Różnica progresywna
DC ( h ) =
∆ a a~ − a
=
, a≠0
a
a
p3 = 6 , ...
ITEROWANA
1 2
1 2
2
2
3. Metoda przybliżona
~
x =(~
x1 , ~
x2 ,..., ~
xn )
x = ( x1 , x2 ,..., xn )
∆ y = y( ~
x ) − y( x )
n
∆y ≈ ∑
∂y ~
( x )∆ xi
i =1 ∂xi
∂y ~
( x ) ∆ xi
∂xi
n x ∂y
n x ∂y
∆x
∆y
εy =
≈∑ i
(~
x) i =∑ i
(~
x )ε xi
y i =1 y ∂xi
xi
i =1 y ∂xi
n
∆y < ∑
i =1
n
εy < ∑
i =1
xi ∂y ~
( x ) ε xi
y ∂xi
~y = ln( ~
x + ~y ) = 2.5175
2.5125 < ln( x +
Metody numeryczne (analiza numeryczna)
nauka zajmująca się rozwiązywaniem problemów matematycznych
metodami arytmetycznymi sztuka doboru spośród wielu możliwych
procedur takiej, która jest „najlepiej” dostosowana do rozwiązania
danego zadania
2
y = x1 ± x2
~
x ±~
x2
x ( 1 + ε 1 ) ± x2 ( 1 + ε 2 )
xε
xε
εy = 1
−1 = 1
−1 = 1 1 ± 2 2
x1 ± x2
x1 ± x2
x1 ± x2 x1 ± x2
Suma:
y ) < 2.5275
∆ y < 0.005
ε y < 0.0020
metodą przybliżoną
ε y < 0.0024
y( x ) ,