lista_zad_nr_1 IS 2013

Lista 1. do kursu Fizyka; rok. ak. 2013/14 sem. letni W. Inż. Środ.; kierunek Inż. Środowiska
Tabele
wzorów
matematycznych
(http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/mat-wzory.pdf)
i
fizycznych
(http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf1.pdf; http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf2.pdf) są dostępne także na stronach prowadzących ćwiczenia rachunkowe. Student jest zobowiązany do wydrukowania ww. tabel i przynoszenia na zajęcia.
Lista nr 1 ma za zadanie zdobycie/utrwalenie wiedzy z zakresu metodologii fizyki, podstaw rachunku wektorowego,
różniczkowo-całkowego.
1. Szacowanie wartości wielkości fizycznej. W wielu zagadnieniach interesuje nas przybliżona wartość wielkości fizycznej X.
Może to być spowodowane tym, że wyznaczenie dokładnej wartości trwałoby długo, wymagałoby dodatkowych informacji lub
danych, którymi nie dysponujemy albo są nam niepotrzebne. W innych przypadkach chcemy jedynie mieć grube oszacowanie
wartości wielkości fizycznej z dokładnością, jak mówimy, co do rzędu wielkości. Szacowanie prowadzimy w następujący
sposób: Liczbę x określającą miarę (liczbę jednostek) wielkości X w układzie SI zaokrąglamy do jednej cyfry znaczącej i
zapisujemy ją w systemie dziesiętnym w postaci wykładniczej (scientific notation): M·10n; gdzie M – liczba rzeczywista, n –
wykładnik. Np. jeśli znamy odległość 4243 m, to l ≅ 4,2·103 m, a jeśli znamy liczbę sekund 3641 s, to t ≅ 3,6·103 s.
Następnie na tak otrzymanych liczbach dokonujemy operacji algebraicznych i otrzymany wynik zapisujemy w postaci liczby
wykładniczej o podstawie dziesięć z jedną cyfrą znaczącą. Przykładowo, jeśli szacujemy rząd wartości prędkości v = l/t,
gdzie l = 2 160 128 m i t = 3 641 s, to w szacowaniu przyjmujemy kolejno l ≅ 2·106 m, t ≅ 4·103 s i otrzymujemy v ≅ (2·106
m)/(4·103 s) = 5·102 m/s.
A) Oszacuj grubość d kartki papieru książki, której grubość wynosi 4,4 cm a liczba stron 1515.
B) Średnia odległość Ziemi od Słońca wynosi 149 598 261 km, a prędkość światła 299 792 458 m/s. Oszacuj
w sekundach czas potrzebny światłu na przebycie odległości dzielącej Słońca od Ziemi.
C) Samodzielnie: Oszacuj liczbę: (a) swoich oddechów w ciągu godziny lekcyjnej, (b) uderzeń serca i oddechów w ciągu przeciętnego czasu życia Polki/Polaka, c) atomów miedzi w jednym metrze sześciennym tego
metalu, (d) atomów powietrza w pomieszczeniu, w którym aktualnie przebywasz, e) cząsteczek wody, liczbę
protonów i liczbę neutronów we własnym ciele, zakładając, że ciało składa się w 100% z wody. f) Oszacuj
powierzchnię i objętość swego ciała. Ws-ka: Niezbędne dane postaraj się określić/przyjąć/wyznaczyć
samodzielnie.
2. Podstawy analizy wymiarowej (patrz http://www.foton.if.uj.edu.pl/documents/12579485/1b32a7ad-e4b5-4c58a5f0-eb6300fd742b ). Znak równości w fizyce oznacza równość wartości (liczby jednostek) i wymiarów (jednostek)
wielkości fizycznych znajdujących się po obu stronach znaku. Każda pochodna wielkość fizyczna ma wymiar, który wyraża
się za pomocą (wymiarów) wielkości podstawowych układu SI. Wymiarami podstawowych wielkości fizycznych w SI są na
podstawie definicji: długość – symbol L, czas – symbol T, masa – symbol M, temperatura – symbol K, natężenie prądu –
symbol I, światłość – symbol C. Wymiar wielkości pochodnej X – symbol dim X = [X], jest określany za pomocą definicji
tychże wielkości i jest wyrażany jest w postaci iloczynu lub ilorazu wielkości/wymiarów podstawowych w odpowiednich
potęgach (podniesionych do odpowiednich potęg), wykładniki potęgowe nazywa się wykładnikami wymiarowymi. Jeśli
pochodną wielkością fizyczna jest praca, to dim P = [P]= (dim F)·L=MLT-2L= L2MT-2. Symbole pochodnych wielkości
fizycznych piszemy kursywą, a wymiar X oznaczamy zamiennie symbolami: dim X lub [X]. Analiza wymiarowa traktuje
wymiary jako wielkości algebraiczne, na których można wykonywać podstawowe działania algebraiczne (dodawanie,
odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie). Dwie podstawowe reguły analizy wymiarowej:
R1. Wielkości fizyczne mogą być dodawane lub odejmowane pod warunkiem, że mają ten sam wymiar.
R2. Wymiary strony lewej i prawej poprawnie sformułowanej równości wielkości fizycznych powinny być takie same.
Przykład 1. Czy poprawnym jest wzór s = const at2, określający zależność drogi od czasu w prostoliniowym ruchu
jednostajnie przyspieszonym?
Rozwiązanie: [s] = L, a wymiar prawej strony [at2] = [a][t2] = (LT-2)T2 = L. Odpowiedz: Wzór jest poprawny z
dokładnością do bezwymiarowego czynnika const.
Zastosujemy analizę wymiarową do wyznaczenia postaci zależności funkcyjnej typu iloczynowego między kilkoma
wielkościami fizycznymi.
Przykład 2. Załóżmy, ze hipotetyczna zależność między przyspieszeniem a ciała wykonującego ruch po okręgu o promieniu R
ze stała prędkością v jest postaci a = va ·Rb. Jakie są wartości wykładników wymiarowych a i b?
Rozwiązanie: Skorzystamy z tego, że dim a =[a]= LT-2 i że ten sam wymiar powinna mieć prawa strona wzoru, tj.
dim (va ·Rb)=[ va ·Rb] = (LT-1)a ·Lb = La+bT-a. Aby więc wymiary obu stron wzoru były zgodne winny zachodzić równości a+b
= 1 i –a = –2. Zatem mamy odpowiedź: a = 2 i b = 1, jak powinno być. Uwaga: Powyższą analizę można przeprowadzić
posługując się w miejsce wymiarów jednostkami wielkości fizycznych.
Przypomnijmy wartości i wymiary uniwersalnych stałych przyrody:
– stała grawitacji:G = 6,67·10 -11 L3/(MT2), dim G = [G] = L3M-1T-2,
– stała Diraca: ℏ = h/2π = 1,06·10-34 kg·m2/s, więc dim
– predkość światła: c = 3·108 m/s, dim c = M1T-1.
ℏ = dim h =
1
M1L2T-1,
Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć wielkości i obliczyć wartości:
(1) tP = ℏ acbGc – czas (sekundę) Plancka, (2) lP = ℏ dceGf – długość (metr) Plancka).
O wielkościach i jednostkach Plancka czytaj: http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf lub
http://pl.wikipedia.org/wiki/Jednostki_Plancka. Określają one najmniejszy okres czasu i najmniejszą długość akceptowalną fizycznie i są utożsamiane z czasem i rozmiarami niemowlęcego okresu ekspansji Wszechświat, który nastąpił po
Wielkim Wybuchu. Fizyka póki co nic wiarygodnego nie jest w stanie twierdzić o wcześniejszych etapach i mniejszych
rozmiarach rozszerzającego się Wszechświata.
3. Pokaż z definicji, że iloczyn skalarny dwóch wektorów ma postać w kartezjańskim układzie współrzędnych
postać a ⋅ b
= a x bx + a y by + a z bz .
4. Pokaż z definicji, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów danych w kartezjańskim układzie współrzędnych
ma postać:
5. Samodzielnie zapoznaj się z uzasadnieniami zamieszczonymi na końcu listy, następujących równości:
(
)
(
)
a) a ⋅ b × c = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ a × b , b)
(
)
( )
a × b × c = b (c ⋅ a ) − c a ⋅ b .
Zauważ, że cykliczne przestawianie symboli wektorów znacznie pomaga i ułatwia zapamiętywaniu powyższych wzorów.
6. Dwa wektory a i b mają składowe (w metrach):
ax = 3,2; ay = 1,6; bx = 0,5; by = 4,5.
Znajdź kąt między kierunkami wektorów a i b . Na płaszczyźnie OXY można znaleźć dwa wektory, które są
prostopadłe do wektora a i mają długość równą 5 m. Jeden z nich c ma dodatnią składową x, a drugi d ma
składową x ujemną. Wyznacz składową x i składową y wektora c . Wyznacz składową x i składową y wektora
d .
7. Samodzielnie: Wyznaczyć pochodne następujących funkcji, gdzie x0, A, w są stałymi:
v (t ) =
(
d
x0 + 3t − 6t 2
dt
(
) , a ( t ) = dt ( v ( t ) ) , v (t ) = dt ( A ⋅ sin (ωt ) ) , v (t ) = dt ( A ⋅ sin 2 (ωt ) ) ,
( ))
d
d
d
sin (ω t ) 
( ) ) , v (t ) = ddt (( A ⋅ sin (ω t )) ) , f (t ) = ddt  cos
 ,
( ωt ) 
(
v (t ) =
d
A ⋅ sin ω t 2 ,
dt
f (t ) =
d
( sin (ω t ) ⋅ cos (ω t ) ) , f ( t ) = ddt ω t n , gdzie n jest liczbą całkowitą.
dt
v (t ) =
d
A ⋅ sin ω 2t
dt
(
2


)
8. Samodzielnie: Wyznaczyć całki nieoznaczone, gdzie v0 , a, w są stałymi, n jest liczbą całkowitą
n
∫ ( v0 ± a ⋅ t ) dt , ∫ ( ± a ) dt , ∫ sin (ωt ) dt , ∫ cos (ω t ) dt , ∫ ( v0 ± a ⋅ t ) dt
(rozpatrzyć różne przypadki n).
9. Samodzielnie: Wyznaczyć całki oznaczone, gdzie v0 , a, ω są stałymi, n jest liczbą całkowitą
t
∫t ( v0 ± a ⋅ t ) dt ,
2
1
∫t ( ±a ) dt , ∫t
t2
t2
1
1
sin (ωt ) dt ,
t2
∫t
1
cos (ω t ) dt ,
n
∫t ( v0 ± a ⋅ t ) dt , gdzie n jest liczbą całkowitą; rozpatrzyć różne
t2
1
wartości n.
Wrocław, 24 lutego 2014
W. Salejda
2
Pożyteczne materiały dostępne w Internecie
http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki
http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Działania_na_wektorach#Iloczyn_mieszany
Dowód ze strony: http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Działania_na_wektorach#Iloczyn_mieszany
Iloczyn mieszany
Pierwsza równość w (1.23) jest iloczynem skalarnym wektorów c i a × b . Tożsamości (1.24) są następstwem
właściwości wyznacznika z (1.23). Przestawiając pierwszy wiersz kolejno z drugim i trzecim otrzymujemy pierwszą równość
(1.24), tj.
ax
ay
ac
bx
by
bz .
cx
cy
cc
Podobnie przestawiając ostatni wiersz kolejno z drugim i pierwszym dostajemy drugą równość w (1.24), tj.
bx
by
bc
cx
cy
cz .
ax
ay
ac
Poniżej tabele wzorów fizycznych i matematycznych
3
Ruch prostoliniowy (podano wartości)
Grawitacja
v = ∆s ∆t
Prędkość średnia
Wartość siły
grawitacji
v − v0
F (t ) dv
a=
a=
=
t − t0 ;
m
dt
Przyspieszenia: średnie i
chwilowe
Prędkość
Droga
Natężenie pola grawitacyjnego
s = s0 + v0 t + at 2 2
Wartość γ dla planety kulistej
I i II prędkość
kosmiczna
α = α 0 + ω0 t + ε t 2
Hydrostatyka
ast = ε R
ados = v 2 R = ω 2 R
Przyspieszenie dośrodkowe
F = ma;
Druga zasada dynamiki
FT = µ FN
Wartość siły tarcia
∆p
∆t
( (
))
−∆E p = W
( (
))
( ( ))
L = Rp sin ⊲ p, R

rs r = 

n
∑
i =1
M = Iε ; M =

m i ri 




Ep =
Fwyp = 0;
Drgania nietłumione:
Równanie ruchu,
przemieszczenie
Częstość kołowa
L = r × p; L = I ω
II zas. dyn. dla ruchu obrotowego
F
∆l
=E
= Eε
S
l
∆V
p = −κ
V0
kx 2
2
M wyp = 0
Ruch drgający
I = I ŚM + md 2
Wartość momentu pędu
σ=
Warunki równowagi
i =1
Moment pędu
F = −kx
Energia potencjalna
sprężystości
n
Twierdzenie Steinera
2
Naprężenia objętościowe
I = ∑ mi ri 2
Moment bezwładności
I
∆W
F
σ=
; σ=
∆S
l
Prawo Hooke’a
∆ Ek = W
M = FR sin ⊲ F , R
Wartość momentu siły
( 2)v
v ⋅ S = const.
ρ v2
p + ρ gh +
= const.
2
W = FR cos ⊲ F , R
Twierdzenie o pracy i energii kinetycznej
Twierdzenie o pracy siły potencjalnej i
energii potencjalnej
Dynamika ruchu obrotowego
m
s2
FW = ρ gV
Siła sprężystości
Fdos = mv R = mω R
Praca mechaniczna
= 10
Sprężystość
2
Wartość siły dośrodkowej
p = ρ gh
Napięcie powierzchniowe
Q = mg
Ciężar ciała
Ciśnienie hydrostatyczne
Prawo Bernoulliego
F=
2
RZiemi
F = pS
Równanie ciągłości
p = mv
GmZiemi
Siła parcia i ciśnienie
Wartość siły wyporu
f =1 T
Częstotliwość
Dynamika
Pęd
g0 =
T 2 = 4π 2 r 3 ( Gm )
III prawo Keplera
ωk2 = ω02 + 2ε ⋅ (α k − α 0 )
Przyspieszenie styczne
E pot = −Gm1m2 R
vI = Gm R ; vII =
2
Prędkość i droga kątowa w
ruchu jednostajnie zmiennym
n
∑
i =1
d2 x
= mɺɺ
x = − kx ,
dt 2
x (t ) = A cos(ω0 t + φ )
ma = m
ω0 = 2π T
v(t ) = − Aω0 sin(ω0 t + φ )
Wartość prędkości
∆L
∆t
Okresy wahadeł

mi 

Drgania
tłumione:
Równanie ruchu,
przemieszczenie,
log. dekrement
tłumienia
Praca, energia, moc
Energia kinetyczna ruchu
mv 2
Iω 2
Ek =
; Ek =
postępowego i obrotowego
2
2
Energia potencjalna (małe zmiany wysokości) E p = mgh
Moc
γ = Gm R 2
Wartość przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi
ε = ∆ω ∆t
Droga kątowa
Środek masy
układu n punktów
materialnych
γ = Fg m
Grawitacyjna energia potencjalna
Ruch po okręg (podano wartości)
ω = ∆α ∆t ; v = ω R; ωk = ω p + ε t
Prędkość kątowa
Przyspieszenie kątowe
m1m2
Nm 2
; G = 6.67 ⋅10−11
2
kg 2
R
vk = v0 + a ⋅ t
vk2 = v02 + 2a ⋅ ( sk − s0 )
Prędkość i droga w ruchu
jednostajnie zmiennym
Fg = G
∆W
P=
; P = Fv; P = M ω
∆t
Energia tłumionych i
nietłumionych drgań
4
T = 2π
l
g
ma = m
;
T = 2π
m
I
; T = 2π
k
mgd
d2 x
= mɺɺ
x = −kx − bv,
dt 2
x(t ) = Ae− β t cos {ωt + φ} ; Λ = ln
ω = ω02 − β 2 ; β =
Ec =
kA2
;
2
An
;
A n+1
b
;ω 2 = k m .
2m 0
Ec ≈
kA2 e −2 β t
2
Drgania wymuszone
F (t ) = F0 cos(ω t )
Siła
wymuszająca
x(t ) = A sin(ω t + φ )
Przemieszczenie drgań ustalonych

A = F0  m

(ω
2
Ciepło właściwe,
ciepło przemiany
2
2 
− ω02 ) + ( bω m ) 

∆l = α l0 ∆T
pV κ = constans
∆W = p∆V
(stałe ciśnienie)
δ W = pd V ,
Praca gazu
Zmiana entropii
dS = δ Q / T ,
U = nCV T + U 0
Zmiana entropii
gazu doskonałego
Qużyteczne
Qcalkowite
=
δQ
T
Natężenie
dźwięku
T1 − T0
T1
Funkcja
rozkładu
Maxwella
Prędkość grupowa fali
Mikroskopowe równanie
gazu doskonałego
Entropia BoltzmannaPlancka; kwant entropii
f1 − f 2
dω d
=
c ( k ) ⋅ k  =
dk dk 
d c ( k ) 
dc
=c+k 
= c−λ
dk
dλ
Nm 2
J
; k B = 1,38 ⋅10 −23 ;
2
K
kg
1
J
N A = 6, 02 ⋅10 23
; R = 8,31
mol
mol×K
G = 6, 67 ⋅10 −11
3/ 2
( 2k BT )
v 2 = 3k BT / m0
p = 2 NEk
∆pmax = ( c ρω ) smax
Wybrane stałe fizyczne
 Ej 
= exp  −

N0
 k BT 
Nj
v 2 exp  −m0 v 2
∆p = ∆pmax sin ( kx − ωt ) ;
vgr =
dU
CV =
= i⋅R / 2
dT
 m0 
f (v) = 4π 

 2πk BT 
Średnia prędkość kwadratowa
J 
−12
2
 ; J 0 = 10 W/m
J0
Częstotliwość dudnień
Elementy termodynamiki statystycznej
Funkcja rozkładu
Boltzmanna
(κ p / ρ )
β = 10 log 
Pole ciśnienia fali dźwiękowej
s ( x, t ) = smax cos ( kx − ω t )
W = nRT ln (Vkońc Vpocz )
Ciepło molowe gazu idealnego
o i stopniach swobody
2
∆m ⋅ vmax
/2
2
ρ Scvmax
/2
c=
Prędkość dźwięku
dT


V
T
∆S = n  Rln końc. + CV ln końc. 

Vpocz.
Tpocz. 

Praca w przemianie
izotermicznej
ρc
f = f ź ( v ∓ vd ) ( v ± vź )
Efekt Dopplera
∆S ≥ 0
∆S = ∫
∂y
∂x
∂y
v=
∂t
ε=
Średnia intensywność fali sprężystej
2
J = ρ cvmax
/2
(gęstość strumienia energii fali)
Średnia gęstość energii
2
ρ vmax
/2
fali sprężystej
Odległość miedzy węzłami fali stojącej
λ/2
∆W = ∫ p ⋅ dV
δ Q = ∆U + δ W
η=
c = κ / ρL
Średnia moc energii fali sprężystej
I zasada
termodynamiki
Energia wewnętrzna gazu
doskonałego
II zasada termodynamiki
Sprawność
silnika Carnot
Prędkość fali w cieczy
Opór akustyczny ośrodka
Średnia energia mechaniczna fali małego
fragmentu ośrodka o masie ∆m
C p − CV = R; κ = C p CV
Wzór Mayera,
wykładnik adiabaty
Praca gazu
c = N / ρL
Prędkość cząsteczek ośrodka wywołana
ruchem falowym
pV = nRT
Równanie adiabaty
Prędkość fazowa fali
poprzecznej w strunie
Odkształcenie względne ośrodka
wywołane ruchem falowym
c = Q ( m∆T ) ; cprzem. = Qprzem. m
Równanie gazu doskonałego
∂2 y 1 ∂2 y
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
Równanie falowe
Termodynamika fenomenologiczna
Rozszerzalność liniowa
y ( x, t ) = y0 ⋅ sin (ωt − kx )
Równanie fali
ma = − kx − bv + F0 cos(ω t )
Równanie ruchu
Amplituda
Ruch falowy
( 3V )
S = k B ln Ω; k B ln 2
5
Elektrostatyka
Prawo
Coulomba
F = q1q2
Natężenie pola
( 4πε ε r ) = q q ( 4πε r )
2
r 0
2
Stały prąd elektryczny c.d.
1 2
ε
E = F q0
Wektor indukcji pola
elektrycznego
Moment siły
działającej na dipol
p = qd
Siła
SEM = dW d q
elektromotoryczna
Prawo Ohma dla
I = ε SEM ( R+r )
obwodu zamkniętego
Opór układu oporników
R = Ri
połączonych szeregowo

−t 
Ładowanie
q ( t ) = CεSEM 1 − exp  
kondensatora
 RC 

D = ε rε 0Ε = ε Ε
∑
τ = p×E
Energia potencjalna
Ep = −p ⋅ E
dipola
Prawo
ε rε 0 E ⋅ dS = Qwew
Gaussa
Związek
∆ E p = E pk o ń c o w a − E pp o c z ą tk o w a =
pracy z
energią
= −W
potencjalną
Energia
Ep ( r ) = −W∞→ r
potencjalna
Różnica
∆V = Vkonćowy − Vpoczątkowy = −W q
potencjału
Potencjał
Vp ( r ) = −W∞→ r q = Ep q
w punkcie
Związek energii z
Ε = −grad V
potencjałem
Pojemność
C =Q U
elektryczna
Pojemność płaskiego
C = ε rε 0 S d = ε S d
kondensatora
Energia potencjalna
Ep = CU 2 / 2
kondensatora płaskiego
Gęstość energii pola
uE = D ⋅ E / 2 = ε r ε 0 E 2 / 2
elektrostatycznego
Pojemność układu
C = Ci
kondensatorów połączonych
równoległe
Stały prąd elektryczny
I = dq dt
Natężenie prądu
Wektor gęstości
j = nev d
prądu
Rozładowywanie
kondensatora
∫
Magnetostatyka
Opór prostoliniowego
przewodnika
Zależność oporu
właściwego od
temperatury
Moc elektryczna
FL = Q ⋅ V × B
Siła Lorentza
FL = I ⋅ L × B
Prawo Gaussa
∫ B ⋅ dS = 0
Źródła pola magnetycznego
µ µ Id s × r µ Id s × r
Prawo BiotadB = 0 r
=
Savarta
4π
r3
4π r 3
Wektor indukcji pola
B = µ r µ0 H
magnetycznego
Pole magnetycznego
µµI
prostoliniowego
B= 0 r
2πR
przewodnika
Pole magnetycznego
µ µ Iφ
przewodnika w
B= 0 r
4πR
kształcie łuku okręgu
R =U I
Różniczkowe prawo Ohma
Siła Lorentza
Magnetyczny
µ = I ⋅S
moment dipolowy
Moment siły działającej na
τ = µ×B
dipol
Energia potencjalna
E p = −µ ⋅ B
dipola
magnetycznego
Związek pracy ∆E = E końcowa − E początkowa =
p
p
p
z energią
= −W
potencjalną
∑
Prawo Ohma
−t 

 RC 
q ( t ) = q0 exp 
Prawo Ampere’a
j = σE
Pole
solenoidu
R = ρ L S = L (σ S )
Pole toroidu
ρ (T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )]
P =U ⋅I
6
∫ B ⋅ dL = µ µ I
0
r p
B = n µ 0 µ r I = µ 0 µ r IN L = µ IN L
B = µ0 µr IN ( 2πr ) = µ IN ( 2πr )
Indukcja elektromagnetyczna, magnetyzm materii
Φ mag. = ∫ B ⋅ dS
Strumień
magnetyczny
εSEM = − dΦmag.
Prawo Faradaya
Fale elektromagnetyczne c.d.
(
(
L = N Φ mag. / I
Indukcyjność cewki
εSEM = −L dI
SEM samoindukcji
I (t ) =
Ciśnienie fali – pełne
odbicie
Natężenie światła
spolaryzowanego
ε SEM 
 −t ⋅ R 
1 − exp 

R 
 L 
−t ⋅ R 
I ( t ) = I0 ⋅ exp 

 L 
Energia pola
Emag. = LI 2 / 2
magnetycznego cewki
Gęstość energii
pola
umag. = B ⋅ H / 2 = µr µ0 H 2 / 2
magnetycznego
Uogólnione
B ⋅ dL = µ0 µr ε 0ε r dΦ elektr. d t +
prawo
Ampere’a+ µ0 µr I p = µε dΦ elektr. d t + µ I p
Maxwella
Transformatory
− Rt 
 cos ( Ωt + ϕ ) ;
 2L 
0)
n1 sin Θ1 = n2 sin Θ2
spol.
cos 2 Θ
1 1 1 2
+ = =
s s, f r
 1 1 
1 1 1  nsoczewki
+ , = =
− 1 − 
s s
f  notoczenia
  R1 R2 
λ = λ0 / n
Doświadczenie
Younga – interfere- - d ⋅ sin Θ = m ⋅ λ; m = 0, ±1, ±2,....
-ncja konstruktywna
Interferencja
λ
konstruktywna
2d = ( 2m + 1) ; m = 0, ±1, ±2,....
w cienkich
2n
warstwach
Dyfrakcja na
a ⋅ sin Θ = m ⋅ λ ; m = ±1, ±2,....
pojedynczej
szczelinie - minima
Dyfrakcja na
sin Θ = 1, 22 ( λ / d )
okrągłej
szczelinie - minima
Dyfrakcja na siatce
d ⋅ sin Θ = m ⋅ λ ;
dyfrakcyjnej m = 0, ±1, ±2,....
maksima
Dyfrakcja na siatce
d ⋅ cos 90o − Θ = m ⋅ λ ,
krystalograficznej –
maksima, warunek
m = 1, 2,....
Bragga
Ω2 = (1/ LC ) −  R / ( 2L ) 
ε ( t ) = ε max ⋅ sin (ωwym. ⋅ t ) , ε sk. = ε max / 2,
2
RL − RC
,
R
I max = ε max / Z = ε max /  R2 + ( RL − RC )2  ,
RL = ωwym. ⋅ L, RC = 1 / (ωwym. ⋅ C ) , I sk. = I max / 2,
P = I sk.ε sk. cos ϕ.
U w = U p Nw / Np ; I w = I p Np / Nw
Fale elektromagnetyczne
E ( x, t ) = Emax ⋅ sin(kx − ωt ),
Pole fali
B ( x, t ) = Bmax ⋅ sin(kx − ωt )
Prędkość
Prawe załamania
Długość fali w ośrodku
q ( t ) = qmax ⋅ exp 
I ( t ) = I max ⋅ sin (ωwym. ⋅ t − ϕ ) , tgϕ =
I spol. = I (
Cienkie
soczew
ki
{ ( ) }
Obwód
RLC:
wymuszone
drgania
elektry
-czne
I spol. = I niespol. / 2
Prawo Malusa
Zwierciadła sferyczne
Drgania elektromagnetyczne i prąd zmienny
Obwód
q ( t ) = qmax ⋅ cos t / LC  + ϕ
LC
2
p = 2I / c
Zwierciadła i soczewki. Interferencja. Dyfrakcja
∫
Obwód
RLC
)
p = I /c
Ciśnienie fali – pełna absorpcja
(2)
ε SEM
= − M dI1 dt
Szeregowy obwód
RL – włączanie
prądu
Szeregowy obwód RL
– wyłączanie prądu
)
(
dt
(1)
ε SEM
= − M dI 2 dt
Indukcyjność
wzajemna
)
Wektor
S = E × H = E × B / ( µ0 µ r )
Poyntinga
2
Natężenie średnie
I = S = ε 0ε r c Emax / 2
fali
Natężenie w odległości
I ( r ) = Pźródla / 4πr 2
r od źródła fali
d t = ∫ E ⋅ dL
(
c = Emax / Bmax = 1 / µ0 µr ε 0ε r = c0 / n,
Kryterium Rayleigha
c0 = 1 / µ0ε 0 , n = µr ε r
7
)
ΘR = 1, 22 ( λ / D )
Szczególna teoria względności
Transfor
-macje
Lorentza
x , = γ ( x − Vt ) , γ = 1/ 1 − β 2 ,
y , = y , z , = z , t , = γ ( t − Vx / c 2 )
Skrócenie
długości
Vx =
Pęd relatywistyczny
p = γ m0 V
Całkowita energia
relatywistyczna
2
2 2
2
0
kinetyczna
rel.
2
2
σ ( px )σ ( x ) ≥ ℏ / 4;
Pęd fotonu
σ ( p y )σ ( y ) ≥ ℏ / 4;
Zasada nieoznaczoności
dla serii pomiarów
2
m0 c
pęd
kinetyczna
Relatywistyc
E rel.
= ( γ − 1) m0 c 2 =
zna energia
calk.
= E rel.
− m0 c 2
kinetyczna
Fotony i fale materii
Promień
n-tej
orbity
 ε h2 
rn = n2  0 2  = n2 ⋅ 5,3 ⋅10−11 m
modelu
 πm e e 
Bohra
atomu
wodoru
Prędkość elektronu
e2
2,19 ⋅106
na n-tej orbicie
vn =
=
m/s
modelu Bohra
n
2hε 0 n
atomu wodoru
 me e4 
E
Poziomy
En = −  2 2 2  = − 21 =
n
energetyczne
 8h ε 0 n 
elektronu w atomie
13, 6eV
=−
, n = 1, 2,3,...
wodoru
n2
Kwant energii (foton)
E = hυ
Prawo StefanaBoltzmanna
λ = h/ p
Równanie
ℏ2 d ψ ( x )
−
+ U ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x )
Schrödingera
2m dx 2
Funkcja falowa
Ψ ( x ) = ψ ( x ) exp ( −iEt / ℏ )
stanu stacjonarnego
∆p x ∆x ≥ ℏ;
Zasada nieoznaczoności
∆p y ∆y ≥ ℏ;
dla pojedynczego
pomiaru
∆p z ∆z ≥ ℏ
,
kinetyczna
rel.
h
(1 − cos φ )
mc
Emin = 2m0 c 2
Hipoteza de Broglie’a
calk.
E rel.
= γ m0 c 2
( E ) = ( pc ) + ( m c )
( pc ) = ( E
) + 2E
calk. 2
rel.
Minimalna energii kreacji
cząstka-antycząstka
1− β
1+ β
f = f0
∆λ =
Przesunięcie Comptona
Vx' + V
1 + Vx'V / c 2
Relatywistyczny efekt
Dopplera – źródło oddala
się
hυ = Eekin + W
Równanie Einsteina fotoefektu
L0 ⋅ 1 − β 2 = L
Transformacja
prędkości
λmax. ⋅ T = const.
Prawo Wiena
∆t ⋅ 1 − β 2 = ∆t0 , β = V / c
Dylatacja czasu
Relatywi
styczna
energia i
Fotony i fale materii c.d.
σ ( p y )σ ( y ) ≥ ℏ / 4
Zasada nieoznaczoności
dla pojedynczego pomiaru
Zasada nieoznaczoności
dla serii pomiarów
∆E ∆ t ≥ ℏ
σ ( E )σ (t ) ≥ ℏ / 4
T ≈ exp ( −2kL ) ,
Tunelowanie
kwantowe
k=
Długości fal materii cząstki
kwantowej w bardzo
głębokiej studni potencjalnej
Energia cząstki
kwantowej
w bardzo
głębokiej studni
potencjalnej
σ ≈ 6 ⋅10−8 W /(m 2 K 4 )
p = E / c = hυ / c = h / λ
8
ℏ2
λn = 2 L / n;
n = 1, 2,3,...
En = pn2 2m = ( h / λn ) / 2m =
2
 h2
=
2
 8mL
Funkcja falowa cząstki
kwantowej w bardzo
głębokiej studni
potencjalnej
Φ = σT 4;
2m (U 0 − E )
 2
2
 n = E1n , n = 1, 2,3,...

ψ n (x) =
( 2 L ) sin 
n πx 

 L 
Atomy wieloelektronowe
Kwantowanie
Lorb = l ( l + 1)ℏ,
orbitalnego moment
l = 0,1,..., n − 1
pędu Lo elektronu
Kwantowanie
przestrzenne orbiLZorb = mZ ℏ,
talnego moment pędu
mZ = −l , −l + 1,… , l − 1, l
L elektro
-nu - rzut L na
dowolną oś OZ
Orbitalny moment
magnetyczny elektronu
µorb.
e
=−
⋅ Lorb.
2m e
Kwantowanie
e
eℏ
Z
orbitalnego
µorb
=−
⋅ LZorb = −
mZ = − µB mZ ,
2me
2me
momentu
magnetycznego mz = −l , −l + 1,... − 1, 0,1,..., l − 1, l
elektronu
Spin S
S = s ( s + 1)ℏ , s = 1/ 2
elektronu
Kwantowanie spinu
SZ = mS ℏ; mS = ±1/ 2
S elektronu
e
Spinowy moment
µs = −
⋅S
magnetyczny elektronu
me
Kwantowanie spinowego
e
Z
momentu magnetycznego µS = − ⋅ SZ = −2mS µB
me
elektronu
Granica krótkofalowa
λmin = hc / Ee
promieniowania X
2
Prawo
15
f
=
2,
48
⋅
10
Hz
Z
−
1
Moseleya
(
)(
Fizyka jądrowa i energia jądrowa
Promień
jądra
Spin S protonu/neutron
u
Kwantowanie
spinu S
protonu/neutronu
r = r0 A1/ 3 , r0 = 1, 2 fm
S = s ( s + 1)ℏ, s = 1/ 2
SZ = mSℏ; mS = ±1/ 2
µJ =
Jądrowy magneton
e
2m proton
Kwantowanie
momentu
µpZ = ±2, 7928µJ
magnetycznego
protonu
Kwantowanie momentu
µnZ = ±1,9130µJ
magnetycznego neutronu
Prawo rozpadu promieN ( t ) = N0 exp ( −λt )
niotwórczego
Aktywność
R (t ) = λ N (t )
promieniotwórcza
Energia wiąE B = Z ⋅ M H + N ⋅ M H − ZA M c 2
zania jądra
atomowego
Warunek kontrolowanej fuzji
nτ > 10 20 s/m 3
izotopów wodoru
(
)
Energia wiązania jednego nukleon
Defekt masy
reakcji jądrowej
Energia reakcji jądrowej
EB / A
∆M = M początkowa − M końcowa
Q = ( ∆M ) c 2
Rozszerzający się Wszechświat
v = H 0 r ; H 0 ≈ ~ 2, 3 ⋅10 −18 s -1
Prawo Hubble’a
)
Włodzimierz Salejda
9
10
11
12
13