Podstawowe pojęcia i zależności wykładu Algebry Liniowej

Podstawowe pojęcia i zależności wykładu Algebry Liniowej — Semestr I
Liczby zespolone
1. Zapis matematyczny i jego znaczenie; notacja wskaźnikowa; zasada indukcji
2. Najważniejsze systemy liczbowe — liczby naturalne, całkowite, wymierne. Działania wymierne w
systemie liczb rzeczywistych.
3. Liczby zespolone — postać kartezjańska, część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej, działania arytmetyczne w systemie liczb zespolonych, dzielenie liczb zespolonych. Własności działań
— aksjomaty ciała.
4. Sprzężenie liczb zespolonych i jego własności. Potęgi i pierwiastki.
5. Płaszczyzna jako geometryczny model ciała liczb zespolonych.
6. Moduł liczby zespolonej, argument liczby zespolonej, postać trygonometryczna liczby zespolonej.
Zapis mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.
7. Wzory de Moivre’a — potęgowanie i pierwiastkowanie w dziedzinie zespolonej.
8. Wielomiany o współczynnikach zespolonych. Pierwiastki wielomianów.
9. Twierdzenie (podstawowe algebry) o istnieniu zespolonego pierwiastka dowolnego wielomianu o
współczynnikach zespolonych. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe.
Teoria układów równań liniowych
10. Układy jednorodne i niejednorodne, rozwiązanie układu równań, równoważność układów równań
liniowych.
11. Klasyfikacja układów względem liczby rozwiązań (układy sprzeczne, oznaczone i nieoznaczone).
12. Macierz główna układu równań liniowych, macierz rozszerzona układu, zapis układu równań liniowych w postaci macierzowej.
13. Operacje elementarne na wierszach macierzy układu, zastosowanie w procesie eliminacji niewiadomych.
14. Metoda eliminacji Gaussa, współczynniki wiodące macierzy układu — niewiadome wolne i niewiadome główne.
15. Twierdzenie o sprowadzalności macierzy układu przez operacje elementarne do postaci schodkowej.
16. Twierdzenie o niezmienności liczby zerowych wierszy w postaci zredukowanej, pojęcie rzędu (wierszowego) macierzy, z oznaczeniem r(A).
17. Warunek niesprzeczności układu równań liniowych — Twierdzenie Kroneckera–Capelliego.
18. Zbiór rozwiązań układu jednorodnego równań liniowych i jego własności. Związek między rozwiązaniami jednorodnych i niejednorodnych układów równań o tej samej macierzy głównej.
19. Układy kwadratowe — warunki niesprzeczności i oznaczoności.
Macierze i ich algebra
20. Definicja macierzy, wymiary macierzy, struktura macierzy — wiersze i kolumny. Specjalne typy
macierzy (kwadratowe, trójkątne, diagonalne).
21. Działania wektorowe w zbiorze macierzy — dodawanie macierzy tych samych wymiarów, mnożenie
przez liczbę. Kombinacje liniowe macierzy.
22. Wektory kolumnowe i wierszowe. Przestrzeń kartezjańska Rn . Wektory bazy standardowej.
23. Pojęcie przestrzeni liniowej, przestrzeń rozpięta przez układ wektorów.
24. Podprzestrzenie liniowe, przestrzeń kolumnowa i przestrzeń wierszowa macierzy.
25. Przedstawienie wektora w postaci kombinacji liniowej wektorów danego układu. Baza przestrzeni
liniowej, wymiar przestrzeni liniowej.
26. Liniowo zależne i liniowo niezależne układy wektorów;
27. Zbiór rozwiązań układu jednorodnego jako przestrzeń liniowa. Zależność między wymiarem przestrzeni rozwiązań a rzędem macierzy głównej układu. Twierdzenie o równości rzędu wierszowego
i kolumnowego macierzy.
28. Konstrukcja bazy przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego. Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego.
29. Konstrukcja rozwiązania układu niejednorodnego z rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego i rozwiązania ogólnego układu jednrodnego.
30. Parametryzacja zbioru rozwiązań układu niejednorodnego za pomocą bazy przestrzeni rozwiązań
układu jednorodnego.
Mnożenie macierzy i odwzorowania liniowe
31. Określenie iloczynu macierzy prostokątnych — warunki wykonalności mnożenia.
32. Mnożenie macierzy – trzy różne interpretacje
33. Formalne własności mnożenia macierzy — liniowość mnożenia przez ustaloną macierz.
34. Odwzorowania liniowe Rn → Rm , wyrażenie we współrzędnych, zapis w formie iloczynu macierzy
i wektora kolumnowego. Skłądanie odwzorowan liniowych i mnożeni macierzy.
35. Jednoznaczność odwzorowania o danych wartościach na elementach bazy
36. Jądro i obraz odwzorowania, interpretacja w języku teorii układów równań liniowych. Twierdzenie
o wymiarach jądra i obrazu odwzorowania liniowego.
37. Iniekywne i suriektywne odwzorowania liniowe, warunek konieczny i dostateczny iniektywności,
jądro jako przeszkoda w iniektywności. Bijektywne odwzorowania liniowe, liniowość odwzorowania
odwrotnego do liniowej bijekcji.
38. Odwracalność macierzy kwadratowej, definicja macierzy odwrotnej, warunki odwracalności —
liniowa niezależność wierszy (kolumn) macierzy, równość rzędu i stopnia macierzy.
39. Własności układu równań liniowych z kwadratową macierzą współczynników — interpretacja w
języku odwzorowań liniowych.
40. Wyznacznik macierzy kwadratowej — definicja ogólna i wzory dla wyznaczników najniższych
stopni. Formuła Sarrusa. Rozwinięcie Laplace’a względem wiersza (kolumny).
41. Własności wyznacznika jako funkcji wierszy (kolumn) macierzy — antysymetria, liniowość względem jednej kolumny (wiersza), zastosowanie do upraszczania obliczeń.
42. Minory i dopełnienia algebraiczne, ogólne rozwinięcie Laplace’a, macierz dołączona i wzór dla
macierzy odwrotnej.
43. Zastosowanie do rozwiązywania układów równań liniowych — układy Cramera, wzory Cramera.