Poniżej znajdą Państwo zadania przygotowawcze do kolokwium

Poniżej znajdą Państwo zadania przygotowawcze do kolokwium. Łatwiejsze i trudniejsze, o czym mówi
punktacja. Można się sprawdzić...
Punktacja:
nr zadania 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
2 2 5 2 2 3 3 2 2 2 2 2
2 2
B
3 3 7 4 4
5 4
3 3 3 4 4
C
10
7
4 4 4 7
5
ocena
ndst
dst
+dst
db
+db
bdb
l. punktów <-1,24> (24,32> (32, 41> (41, 50> (50, 59> (59, 68>
BARDZO WAŻNE!!! Z KAŻDEGO ZADANIA ROZWIĄZUJĄ PAŃSTWO ALBO ZADANIE A ALBO
B ALBO C.
Zadanie 1.Oceń wartość logiczną zdania.
A (i jego składowych)
Jeżeli nieprawdą jest, że 5 jest liczbą nieparzystą, to 2 + 4 = 6.
B (zła odpowiedź -1 punkt)
^ ^
n2 + m2 ≥ 1.
n∈N m∈N
Zadanie 2.
A Sprawdź, czy następujące zdanie jest tautologią.
(p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∧ q).
B Alternatywa wykluczająca ⊕ (p ⊕ q "albo p albo q") jest zdefiniowana następująco:
p q p⊕q
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
0
Wyraź ⊕ za pomocą znanych nam spójników logicznych (∨, ∧, ∼, ⇒, ⇔).
Zadanie 3.
A Wyznacz zbiory A ∪ B (1p.), A ∩ B (1p.), A \ B (1p.), B \ A (1p.). Zaznacz w układzie współrzędnych
zbiór A × B(1p.).
A = (−1, 3), B = h0, 4i.
B Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór [(A ∪ B) \ C] × [A0 \ (B ∩ C)], gdzie A = (−1, 3), B = h0, 4i,
C = (2, ∞).
C Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór [(A ∪ B) \ C] × [A0 \ (B ∩ C)], gdzie A = {x ∈ R; |x − 1| < 3},
B = {x ∈ R; x2 − 8x ≥ 0}, C = {x ∈ R; log2 (x + 23 ) > −1}.
Zadanie 4. A ∩ (B ∪ C) = . . . Wybierz właściwą odpowiedź i uzasadnij za pomocą
A diagramów Venna
B praw rachunku zdań.
a) = (A \ B) ∪ (A \ C),
b) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Zadanie 5. Naszkicuj wykres funkcji
A f (x) = 2x+1 , B f (x) = −3 · 2x+1 .
Zadanie 6.A Omów własności funkcji f (x) = ctg x lub f (x) = arc sin x.
Zadanie 7. Wyznacz dziedzinę (B, C)/dziedziny (A) funkcji.
A f (x) =
B f (x) =
√
√
x + 2, g(x) =
2
, h(x) = log2 (−x + 2).
x−1
2
− log2 (−x + 2) + arctg(x + 3).
x−
r1
x2 + 2x − 3
+ log x.
C f (x) =
1−x
x+2+
Zadanie 8.
A Wyznacz wzór funkcji f ◦ g i g ◦ f .
B Wyznacz wzór funkcji f ◦ g i g ◦ f i uzasadnij, że te złożenia istnieją.
f (x) = 2x , g(x) = cos x.
Zadanie 9. A W wyniku złożenia jakich funkcji elementarnych powstała funkcja f (x) = (log2 x)3 − 1.
Zadanie 10. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym
A an =
p
2n2 + 3n − 1
(n + 1)! + n!
, B an =
, C an = 9n2 + 6n + 2 − 3n.
2
3n − n + 1
2 · (n − 1)! − (n + 1)!
Zadanie 11. Oblicz granicę.
n 4n+1 + 3n · sin πn
(−2)n+1 + 3n+2
1
2 −1
.
; B lim
;
C
lim
A lim 2 −
1
n+2 − 3 · 4n
n→∞ 2 · 3n + 4 · ( )n
n→∞
n→∞
3
(−2)
2
Zadanie 12. Oblicz granicę.
A lim
n→∞
√
n
2n + 5n
B lim
n→∞
√
n
3 + n + 2n
C lim
n→∞
p
n
5 + n + 32n + 23n .
Zadanie 13. Oblicz granice ciągów o wyrazie ogólnym an równym
n
n
2n
1
1
1
1
B a) 2 +
, b) − +
, c) 1 +
.
n
3 n
n
2n+1
3n+2
2n−1
3n + 1
1 − 2n
1 − 3n
C a)
, b)
, c)
.
3n − 1
3n − 1
2n + 1
Zadanie 14. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu
n
5
n
A an = (−1) + 1, B an =
.
n
Zadanie 15. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu
A an =
√
√
−2
, C an = n + 1 − n.
n+1
Punktacja:
nr zadania 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
2 2 5 2 2 3 3 2 2 2 2 2
2 2
B
3 3 7 4 4
5 4
3 3 3 4 4
C
10
7
4 4 4 7
5
ocena
ndst
dst
+dst
db
+db
bdb
l. punktów <-1,24> (24,32> (32, 41> (41, 50> (50, 59> (59, 68>
BARDZO WAŻNE!!! Z KAŻDEGO ZADANIA ROZWIĄZUJĄ PAŃSTWO ALBO ZADANIE A ALBO
B ALBO C.
Zadanie 1.Oceń wartość logiczną zdania.
A (i jego składowych)
2|8 lub nieprawdą jest, że 22 = 4.
B (zła odpowiedź -1 punkt)
^ _
x · y = 5.
x∈R y∈R
Zadanie 2.
A Sprawdź, czy następujące zdanie jest tautologią.
∼ p∨ ∼ q ⇒∼ (p ∨ q).
B Alternatywa wykluczająca ⊕ (p ⊕ q "albo p albo q") jest zdefiniowana następująco:
p q p⊕q
0 0
0
0 1
1
1 0
1
0
1 1
Wyraź ⊕ za pomocą znanych nam spójników logicznych (∨, ∧, ∼, ⇒, ⇔).
Zadanie 3.
A Wyznacz zbiory A ∪ B (1p.), A ∩ B (1p.), A \ B (1p.), B \ A (1p.). Zaznacz w układzie współrzędnych
zbiór A × B (1p.).
A = (−2, 4i, B = (1, 6i.
B Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór [(A ∪ B) \ C] × [A0 \ (B ∩ C)], gdzie A = (−2, 4i, B = (1, 6i,
C = (2, ∞).
C Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór [(A ∪ B) \ C] × [A0 \ (B ∩ C)], gdzie A = {x ∈ R; |x − 2| ≥ 1},
1
B = {x ∈ R; x2 − 6x + 8 < 0}, C = {x ∈ R; 2x+ 2 < 8}.
Zadanie 4. A \ (B ∩ C) = . . . Wybierz właściwą odpowiedź i uzasadnij za pomocą
A diagramów Venna
B praw rachunku zdań.
a) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
b) = (A \ B) ∪ (A \ C).
Zadanie 5. Naszkicuj wykres funkcji
x−1
x−1
1
1
A f (x) =
, B f (x) = 3 ·
+ 1.
2
2
Zadanie 6.A Omów własności funkcji f (x) = tg x lub f (x) = arc cos x.
Zadanie 7. Wyznacz dziedzinę (B, C)/dziedziny (A) funkcji.
A f (x) =
B f (x) =
√
√
x + 1, g(x) =
−1
, h(x) = arc sin(x + 1).
2x + 1
−1
− arc sin(x + 1) + arcctg(x − 3).
2xp
+1
C f (x) = log2 (x2 + 3x + 4) − 1.
x+1+
Zadanie 8.
A Wyznacz wzór funkcji f ◦ g i g ◦ f .
B Wyznacz wzór funkcji f ◦ g i g ◦ f i uzasadnij, że te złożenia istnieją.
f (x) = x2 + 2x + 3, g(x) = log2 x.
Zadanie 9. A W wyniku złożenia jakich funkcji elementarnych powstała funkcja f (x) =
Zadanie 10. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym
A an =
p
4n2 + 3n − 1
(n + 1)! + 3n!
, B an =
, C an = 9n2 + 5n + 3 − 3n.
2
3n − 5n + 1
(n − 1)! − 2(n + 1)!
Zadanie 11. Oblicz granicę.
n 4n−1 + 2n · sin πn
1
(−3)n+1 + 4n+2
3 −1
A lim 3 −
.
; B lim
;
C
lim
1
n+3
n
n
n→∞
n→∞
n→∞
2
(−2)
− 5 · 4n
3 · 4 + 2 · (3)
Zadanie 12. Oblicz granicę.
A lim
n→∞
√
n
3n + 4n
B lim
n→∞
√
n
5 + n + 2n
C lim
n→∞
p
n
6 + n + 32n + 23n .
Zadanie 13. Oblicz granice ciągów o wyrazie ogólnym an równym
n
3n
1
1
1
, b) − +
, c) 1 +
.
2 n
n
2n+3
3n−2
2n+1
3n + 2
1 − 2n
2 − 5n
C a)
, b)
, c)
.
3n − 1
5n − 1
2n + 1
B a)
3+
1
n
n
Zadanie 14. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu
n
n n
1
A an = −
, B an =
.
2
6
Zadanie 15. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu
√
n+7
1
.
A an = 2 − , C an = √
n
3 n+5
1 cos x
.
2
Punktacja:
nr zadania 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
2 2 5 2 2 3 3 2 2 2 2 2
2 2
B
3 3 7 4 4
5 4
3 3 3 4 4
C
10
7
4 4 4 7
5
ocena
ndst
dst
+dst
db
+db
bdb
l. punktów <-1,24> (24,32> (32, 41> (41, 50> (50, 59> (59, 68>
BARDZO WAŻNE!!! Z KAŻDEGO ZADANIA ROZWIĄZUJĄ PAŃSTWO ALBO ZADANIE A ALBO
B ALBO C.
Zadanie 1.Oceń wartość logiczną zdania.
A (i jego składowych)
log4 4 = 0 i nieprawdą jest, że 3 jest liczbą pierwszą.
B (zła odpowiedź -1 punkt)
^
jeśli n jest liczbą pierwszą, to 2|(n + 1).
n∈N
Zadanie 2.
A Sprawdź, czy następujące zdanie jest tautologią.
∼ (p ∧ q) ⇒∼ p ∧ ∼ q.
B Alternatywa wykluczająca ⊕ (p ⊕ q "albo p albo q") jest zdefiniowana następująco:
p q p⊕q
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
0
Wyraź ⊕ za pomocą znanych nam spójników logicznych (∨, ∧, ∼, ⇒, ⇔).
Zadanie 3.
A Wyznacz zbiory A ∪ B (1p.), A ∩ B (1p.), A \ B (1p.), B \ A (1p.). Zaznacz w układzie współrzędnych
zbiór A × B(1p.).
A = h−1, 3), B = h0, 5).
B Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór [(A ∪ B) \ C] × [A0 \ (B ∩ C)], gdzie A = h−1, 3), B = h0, 5),
C = (2, ∞).
C Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór [(A ∪ B) \ C] × [A0 \ (B ∩ C)], gdzie A = {x ∈ R; |x + 1| ≥ 3},
B = {x ∈ R; x2 + 2x − 3 < 0}, C = {x ∈ R; log 12 (x) < 0}.
Zadanie 4. (A ∪ B) \ C = . . . Wybierz właściwą odpowiedź i uzasadnij za pomocą
A diagramów Venna
B praw rachunku zdań.
a) = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
b) = (A \ C) ∪ (B \ C).
Zadanie 5. Naszkicuj wykres funkcji
A f (x) = log2 x + 1, B f (x) = −3 · log2 x.
Zadanie 6.A Omów własności funkcji f (x) = cos x lub f (x) = arc tg x.
Zadanie 7. Wyznacz dziedzinę (B, C)/dziedziny (A) funkcji.
A f (x) =
√
x − 1, g(x) =
B f (x) =
√
1
, h(x) = logx+1 2.
x−2
1
− logx+1 2 + 3x+3 .
x−2
1
.
C f (x) =
arc sin(2x − 3)
x−1+
Zadanie 8.
A Wyznacz wzór funkcji f ◦ g i g ◦ f .
B Wyznacz
x wzór funkcji f ◦ g i g ◦ f i uzasadnij, że te złożenia istnieją.
f (x) = 21 , g(x) = sin x.
Zadanie 9. A W wyniku złożenia jakich funkcji elementarnych powstała funkcja f (x) = (log3 x)2 + 2.
Zadanie 10. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym
A an =
p
−n2 + 2n − 1
2 · (n + 1)! + n!
9n2 − 6n + 2 − 3n.
,
B
a
=
,
C
a
=
n
n
3n2 + n + 11
3 · (n − 1)! − (n + 1)!
Zadanie 11. Oblicz granicę.
n 3n−1 + 2n · sin πn
1
(−2)n−2 + 3n+1
4 −1
A lim 5 −
; B lim
;
C
lim
.
1
n+3
n
n
n→∞
n→∞ −2 · 3 + 4 · ( )
n→∞
2
(−2)
− 4 · 3n
5
Zadanie 12. Oblicz granicę.
A lim
n→∞
√
n
7n + 5n
B lim
n→∞
√
n
7 + n + 5n
C lim
n→∞
p
n
7 + n + 52n + 25n .
Zadanie 13. Oblicz granice ciągów o wyrazie ogólnym an równym
n
−n
1
1
1
, b) − +
, c) 1 +
.
2 n
n
3n+1
3n+1
2n+1
1 − 3n
2 − 3n
4n + 1
C a)
, b)
, c)
.
4n − 1
4n − 1
2n + 3
B a)
5+
1
n
n
Zadanie 14. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu
n
6
A an = 2 + (−1)n , B an =
.
n
Zadanie 15. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu
A an = 3n , C an =
√
n+1−
√
n.
Punktacja:
nr zadania 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
2 2 5 2 2 3 3 2 2 2 2 2
2 2
B
3 3 7 4 4
5 4
3 3 3 4 4
C
10
7
4 4 4 7
5
ocena
ndst
dst
+dst
db
+db
bdb
l. punktów <-1,24> (24,32> (32, 41> (41, 50> (50, 59> (59, 68>
BARDZO WAŻNE!!! Z KAŻDEGO ZADANIA ROZWIĄZUJĄ PAŃSTWO ALBO ZADANIE A ALBO
B ALBO C.
Zadanie 1.Oceń wartość logiczną zdania.
A
√ (i jego składowych)
2 jest liczbą niewymierną wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawdą jest, że 20 = 1.
B (zła odpowiedź -1 punkt)
^ _
x + y jest liczbą złożoną.
x∈N y∈N
Zadanie 2.
A Sprawdź, czy następujące zdanie jest tautologią.
∼ (p ⇒ q) ⇔ (p∨ ∼ q).
B Alternatywa wykluczająca ⊕ (p ⊕ q "albo p albo q") jest zdefiniowana następująco:
p q p⊕q
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
0
Wyraź ⊕ za pomocą znanych nam spójników logicznych (∨, ∧, ∼, ⇒, ⇔).
Zadanie 3.
A Wyznacz zbiory A ∪ B (1p.), A ∩ B (1p.), A \ B (1p.), B \ A (1p.). Zaznacz w układzie współrzędnych
zbiór A × B (1p.).
A = h−2, 2i, B = (0, 5).
B Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór [(A ∪ B) \ C] × [A0 \ (B ∩ C)], gdzie A = h−2, 2i, B = (0, 5),
C = (1, ∞).
C Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór [(A ∪ B) \ C] × [A0 \ (B ∩ C)], gdzie A = {x ∈ R; |x − 1| ≤ 2},
x
B = {x ∈ R; x2 − 4x > 0}, C = {x ∈ R; 21 > 14 }.
Zadanie 4. (A ∩ B) ∪ C = . . . Wybierz właściwą odpowiedź i uzasadnij za pomocą
A diagramów Venna
B praw rachunku zdań.
a) = (A \ C) ∪ (B \ C),
b) = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Zadanie 5. Naszkicuj wykres funkcji
A f (x) = log 12 x − 1, B f (x) = 2 · log 21 (x + 1) − 1.
Zadanie 6.A Omów własności funkcji f (x) = sin x lub f (x) = arcctg x.
Zadanie 7. Wyznacz dziedzinę (B, C)/dziedziny (A) funkcji.
r
1
1
A f (x) = x − , g(x) =
, h(x) = arc cos(x − 1).
2
1
−
x
r
1
1
− arc cos(x − 1) + 2x−3 .
B f (x) = x − +
2 1−x
C f (x) = logcos(x−1) (x2 + x + 1).
Zadanie 8.
A Wyznacz wzór funkcji f ◦ g i g ◦ f .
B Wyznacz wzór funkcji f ◦ g i g ◦ f i uzasadnij, że te złożenia istnieją.
f (x) = x2 − x + 2, g(x) = log3 x.
Zadanie 9. A W wyniku złożenia jakich funkcji elementarnych powstała funkcja f (x) = sin(2x ).
Zadanie 10. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym
A an =
p
(n + 1)! + 2n!
n2 + 2n − 1
,
B
a
=
,
C
a
=
9n2 + 2n + 4 − 3n.
n
n
3n2 − 2n + 1
(n − 1)! − 3(n + 1)!
Zadanie 11. Oblicz granicę.
n 4n+1 + 2n · sin πn
1
(−3)n+1 + 4n−1
2 −1
A lim 2 −
.
; B lim
;
C
lim
1
n+2 − 3 · 4n
n→∞
n→∞ 2 · 4n + 3 · ( )n
n→∞
3
(−2)
2
Zadanie 12. Oblicz granicę.
A lim
n→∞
√
n
3n + 5n
B lim
n→∞
√
n
3 + n + 5n
C lim
n→∞
p
n
3 + n + 32n + 23n .
Zadanie 13. Oblicz granice ciągów o wyrazie ogólnym an równym
n
n
−2n
1
1
1
1
B a) 7 +
, b) − +
, c) 1 +
.
n
3 n
n
3n+1
3n+2
2n+3
5 − 2n
2 − 7n
2n + 1
, b)
, c)
.
C a)
2n − 1
3n − 1
2n + 1
Zadanie 14. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu
n n
.
A an = (−2)n , B an =
5
Zadanie 15. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu
√
1
n+7
A an =
, C an = √
.
2n
3 n+5